Moto armonico
Salve, torno a chiedervi aiuto in merito a questo esercizio che non riesco a risolvere.
Il testo è il seguente : "Un filo di lunghezza d=1m è teso con una tensione T=100N. Al centro del filo è connessa una massa m=0.10kg,che viene spostata di una piccola distanza dalla posizione di equilibrio,e lasciata oscillare in un piano orizzontale senza attrito. Dimostrare che il moto è armonico, e calcolarne il periodo."
Io sono partita dall'equazione caratteristica di un moto armonico, ossia d^2(x)/d(t^2)+w^2(x)= 0, ma non riesco a capire come poter procedere per dimostrare che si tratti di un moto di questo tipo.
Mi sareste di grande aiuto
grazie in anticipo!
Il testo è il seguente : "Un filo di lunghezza d=1m è teso con una tensione T=100N. Al centro del filo è connessa una massa m=0.10kg,che viene spostata di una piccola distanza dalla posizione di equilibrio,e lasciata oscillare in un piano orizzontale senza attrito. Dimostrare che il moto è armonico, e calcolarne il periodo."
Io sono partita dall'equazione caratteristica di un moto armonico, ossia d^2(x)/d(t^2)+w^2(x)= 0, ma non riesco a capire come poter procedere per dimostrare che si tratti di un moto di questo tipo.
Mi sareste di grande aiuto
grazie in anticipo!
Risposte
Sei partita dalla fine ...
Il problema non è banale. Occorrono conoscenze di calcolo vettoriale, meccanica, come approssimare ... e, ovviamente, come risolvere un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti ...
Da quello che scrivi deduco, scusa se mi permetto, che sei ad un livello molto iniziale.
Come aiutarti in modo che tu possa imparare ? Magari, comincia col fare un disegno della situazione ...
Il problema non è banale. Occorrono conoscenze di calcolo vettoriale, meccanica, come approssimare ... e, ovviamente, come risolvere un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti ...
Da quello che scrivi deduco, scusa se mi permetto, che sei ad un livello molto iniziale.
Come aiutarti in modo che tu possa imparare ? Magari, comincia col fare un disegno della situazione ...
Si, hai ragione..purtroppo le mie conoscenze sono piuttosto scarse,ma ce la sto mettendo tutta.
Il disegno l'ho fatto, chiamando thetha l'angolo formato una volta allontanata la massa m dalla posizione di equilibrio, e denotando con "x" la distanza della massa dalla posizione di equilibrio appunto.
Da dove devo partire a questo punto? Vorrei capire quantomeno il ragionamento da fare; ti ringrazio!
Il disegno l'ho fatto, chiamando thetha l'angolo formato una volta allontanata la massa m dalla posizione di equilibrio, e denotando con "x" la distanza della massa dalla posizione di equilibrio appunto.
Da dove devo partire a questo punto? Vorrei capire quantomeno il ragionamento da fare; ti ringrazio!
Io veramente dubiterei persino che sia un moto armonico...lo è solo a meno di o-piccoli...un pò come il pendolo...
Detto a noi, detta x la coordinata orizzontale della massettina (nel senso del moto) la seconda equazione della dinamica ci dice che
$mx''= \sum_x F_{ext}$
Sulla massettina agiscono due forze, le cui componenti lungo la verticale si annullano reciprocamente (perchè?) mentre le componenti lungo x (che sono quelle che ci interessano) si sommano. Se le oscillazioni sono piccole possiamo trascurare le variazioni in modulo di $T$. La forza a cui è sottoposta in orizzontale la mia pallina è
$2T\cos\theta$, con $\cos\theta=x/(l/2) = x/(2l)$. Quello che ottengo è l'equazione
$mx'' = 4Tx/l$, ovvero $mx'' = 400 x$
P.S. Voglio fare le derivate fighe coi puntini come Newton! Come si fa?!;)
$mx''= \sum_x F_{ext}$
Sulla massettina agiscono due forze, le cui componenti lungo la verticale si annullano reciprocamente (perchè?) mentre le componenti lungo x (che sono quelle che ci interessano) si sommano. Se le oscillazioni sono piccole possiamo trascurare le variazioni in modulo di $T$. La forza a cui è sottoposta in orizzontale la mia pallina è
$2T\cos\theta$, con $\cos\theta=x/(l/2) = x/(2l)$. Quello che ottengo è l'equazione
$mx'' = 4Tx/l$, ovvero $mx'' = 400 x$
P.S. Voglio fare le derivate fighe coi puntini come Newton! Come si fa?!;)
Grazie mille, non potevi essere più chiaro! Ora mi torna tutto: avevo iniziato anch'io in tal modo, ma una volta trovata la forza non mi si era accesa la lampadina nello scrivere il seno dell'angolo in funzione di x.
Credo ci sia solo un piccolo errorino nell'ultima parte: a me viene sinθ=x/y (cioè invertito rispetto a quanto scritto sopra), ma l'importante era il ragionamento.
Ripeto, non so come ringraziarti!
Credo ci sia solo un piccolo errorino nell'ultima parte: a me viene sinθ=x/y (cioè invertito rispetto a quanto scritto sopra), ma l'importante era il ragionamento.
Ripeto, non so come ringraziarti!
... attenti al segno ...
$ x$ e $\cos\theta$ hanno lo stesso segno, che intendi? (anche se a ben vedere quella è un equazione esplosive, non un moto armonico!)
Forse ho capito...è la tensione che ha segno opposto al coseno...in realtà è $T_x=-2T\cos\theta$...
P.S. Ma le derivate fighe coi puntini?
Forse ho capito...è la tensione che ha segno opposto al coseno...in realtà è $T_x=-2T\cos\theta$...
P.S. Ma le derivate fighe coi puntini?
... non è il coseno, bensì il seno ... se teta è l'angolo in alto (acuto).
Per un puntino dot x, per due puntini ddot x.
Per un puntino dot x, per due puntini ddot x.
Si esatto, il segno è negativo considerando l'asse x orientato verso l'alto..e questo è importante per dimostrare poi che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento,con segno negativo appunto.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
"anonymous_af8479":
... non è il coseno, bensì il seno ... se teta è l'angolo in alto (acuto).
Per un puntino dot x, per due puntini ddot x.
Giusto anche questo, nel mio procedimento avevo scritto seno infatti! Grazie.
Comunque, vorrei farvi notare che il problema è passibile anche di una interpretazione molto più complessa, a parte la questione del piano orizzontale che proprio non la capisco (sarà per non considerare la forza di gravità).
La massa potrebbe essere messa in movimento perpendicolarmente al filo oppure longitudinalmente o con un certo angolo. Il filo, allora, dovrebbe essere considerato come una molla elastica.
Visto che non danno il coefficiente di elasticità, suppongo che il problema vada interpretato nel modo più semplice, con la massa che oscilla (in assenza di gravità) perpendicolarmente al filo.
Chissà ...
La massa potrebbe essere messa in movimento perpendicolarmente al filo oppure longitudinalmente o con un certo angolo. Il filo, allora, dovrebbe essere considerato come una molla elastica.
Visto che non danno il coefficiente di elasticità, suppongo che il problema vada interpretato nel modo più semplice, con la massa che oscilla (in assenza di gravità) perpendicolarmente al filo.
Chissà ...
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