Moto 2D
Sia dato un oggetto puntiforme che si muove secondo la legge oraria $r(t) = (2+e-at )i + (3-k t0.5 )j$.
Varianti:
i)
determinare $k$ in modo che l’oggetto passi per l’origine
ii)
determinare l’unità di misura di $k$ e di $ a$.
iii)
determinare la velocità massima in modulo
Per determinare $k$ bisogna porre le due componenti uguali a zero e poi metterle a sistema, giusto?
Per determinare l'unità di misura di $k$ $a$ non so cosa fare!?
Per determinare la velocità massima bisogna porre la derivata della velocità $=0$ in modo da determinare il tempo e sostituirlo nella velocità stessa.
Varianti:
i)
determinare $k$ in modo che l’oggetto passi per l’origine
ii)
determinare l’unità di misura di $k$ e di $ a$.
iii)
determinare la velocità massima in modulo
Per determinare $k$ bisogna porre le due componenti uguali a zero e poi metterle a sistema, giusto?
Per determinare l'unità di misura di $k$ $a$ non so cosa fare!?
Per determinare la velocità massima bisogna porre la derivata della velocità $=0$ in modo da determinare il tempo e sostituirlo nella velocità stessa.
Risposte
I coefficienti di i, J devono essere delle lunghezze, allora se t è in secondi ...
Derivando poi i coefficienti si ha la velocità. Quindi trovare il massimo del modulo.
Derivando poi i coefficienti si ha la velocità. Quindi trovare il massimo del modulo.
Innanzitutto derivando il raggio vettore ricaviamo il vettore velocità e derivando il vettore velocità ricaviamo il vettore accelerazione
\[\vec{r}(t)=(2+e-at)\vec{i}+(3-0.5kt)\vec{j}\]
\[\vec{v}(t)=(-a)\vec{i}+(-0.5k)\vec{j}\hspace{2 cm}\]
\[\vec{a}(t)=\vec{0}\hspace{5.3 cm}\]
Quindi possiamo vedere subito che il corpo non è accelerato in nessuna direzione, ovvero la velocità è costante (in modulo verso e direzione in quanto è un vettore), ovvero ancora il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.
Rispondiamo ora alle domande
\(i\)) Ricaviamo la traiettoria (che sappiamo gia essere una retta dalle precedenti considerazioni) dalle componenti del raggio vettore e imponiamo la condizione \(x=0, y=0\). Quindi ricaviamo \(k\).
\(ii\)) Ogni componente della velocità deve essere una velocità. Quindi le unità di misura sono ovvie.
\(iii\)) Il moto è rettilineo uniforme quindi la velocità è costante e dipende dai valori di \(a\) e \(k\).
\[\vec{r}(t)=(2+e-at)\vec{i}+(3-0.5kt)\vec{j}\]
\[\vec{v}(t)=(-a)\vec{i}+(-0.5k)\vec{j}\hspace{2 cm}\]
\[\vec{a}(t)=\vec{0}\hspace{5.3 cm}\]
Quindi possiamo vedere subito che il corpo non è accelerato in nessuna direzione, ovvero la velocità è costante (in modulo verso e direzione in quanto è un vettore), ovvero ancora il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.
Rispondiamo ora alle domande
\(i\)) Ricaviamo la traiettoria (che sappiamo gia essere una retta dalle precedenti considerazioni) dalle componenti del raggio vettore e imponiamo la condizione \(x=0, y=0\). Quindi ricaviamo \(k\).
\(ii\)) Ogni componente della velocità deve essere una velocità. Quindi le unità di misura sono ovvie.
\(iii\)) Il moto è rettilineo uniforme quindi la velocità è costante e dipende dai valori di \(a\) e \(k\).
Dho ho sbagliato a scrivere l'equazione quella esatta è questa, $r(t) = (2+e^(-at))i + (3-k t^(0.5))j$.
Come primo procedimento bisogna sempre derivare quindi: $v(t) = (-a*e^(-at))i + (k*0.5*t^(-0.5))j$
$a(t) = (a^2*e^(-at))i + (-k*0.25*t^(-1.5))j$
Poi pongo $x=0$ $y=0$ : notando che è impossibile perché si trova il logaritmo di un numero negativo, quindi non passa mai per il centro.
Per trovare l'unita di misura non mi è chiaro il passaggio, cioè devo porre le componenti $=m/s$ ????
Edit: Quindi deduco che $a=m/s$ e $k=m/s$
3) basta porre l'accelerazione =0 e verificare che sia un massimo per la velocità giusto?
Come primo procedimento bisogna sempre derivare quindi: $v(t) = (-a*e^(-at))i + (k*0.5*t^(-0.5))j$
$a(t) = (a^2*e^(-at))i + (-k*0.25*t^(-1.5))j$
Poi pongo $x=0$ $y=0$ : notando che è impossibile perché si trova il logaritmo di un numero negativo, quindi non passa mai per il centro.
Per trovare l'unita di misura non mi è chiaro il passaggio, cioè devo porre le componenti $=m/s$ ????
Edit: Quindi deduco che $a=m/s$ e $k=m/s$
3) basta porre l'accelerazione =0 e verificare che sia un massimo per la velocità giusto?
Per trovare le unità di misura è molto semplice (si fà l'analisi dimensionale).
Ad esempio prendiamo l'esponenziale, tu sai che la variabile dell'esponenziale che chiamiamo \(s\) deve essere adimensionale cioè deve essere un numero puro
\[s=at\]
quindi ricordando che \(t\) ha le dimensioni di un tempo \([T]\) abbiamo
\[[1]=[a][T]\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}[a]=\frac{[1]}{[T]}=[T]^{-1}\]
A questo punto possiamo dire che essendo la dimensione di \(a\) l'inverso di un tempo \(a\) verrà misurata in \(s^{-1}\)
Ora applica l'analisi dimensionale a \(k\).
Per la velocità invece potresti ricavarti il modulo della velocità dalle componenti del vettore velocità, e poi studi la funzione modulo e cerchi il massimo assoluto.
Ad esempio prendiamo l'esponenziale, tu sai che la variabile dell'esponenziale che chiamiamo \(s\) deve essere adimensionale cioè deve essere un numero puro
\[s=at\]
quindi ricordando che \(t\) ha le dimensioni di un tempo \([T]\) abbiamo
\[[1]=[a][T]\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}[a]=\frac{[1]}{[T]}=[T]^{-1}\]
A questo punto possiamo dire che essendo la dimensione di \(a\) l'inverso di un tempo \(a\) verrà misurata in \(s^{-1}\)
Ora applica l'analisi dimensionale a \(k\).
Per la velocità invece potresti ricavarti il modulo della velocità dalle componenti del vettore velocità, e poi studi la funzione modulo e cerchi il massimo assoluto.
Mi trovo $k=m/s^0.5$ e $a=ln(m/s)$ giusto?
No... cosa vuol dire tutto questo?
Tu hai \(e^{-at}\), e sai che l'argomento dell'esponenziale è un numero puro quindi il prodotto \(at\) è adimensionale. Ma se il tempo lo misuri in \(s\) questo vuol dire che \(a\) verrà misurato in \(s^{-1}\); infatti
\[a\frac{1}{s}ts=at\]
"CriDDJ":
Mi trovo $ k=m/s^0.5 $ e $ a=ln(m/s) $ giusto?
Tu hai \(e^{-at}\), e sai che l'argomento dell'esponenziale è un numero puro quindi il prodotto \(at\) è adimensionale. Ma se il tempo lo misuri in \(s\) questo vuol dire che \(a\) verrà misurato in \(s^{-1}\); infatti
\[a\frac{1}{s}ts=at\]
Non martellarmi xD
Però per k mi trovo $1/sqrt(s)$ in modo che la componente j risulti adimensionale.
Però per k mi trovo $1/sqrt(s)$ in modo che la componente j risulti adimensionale.
No, se dici ste cose devo martellarti! Se consideriamo il raggio vettore, cioè il vettore che indica la posizione, allora le sue componenti devono essere delle lunghezze che verranno quindi misurate in metri.
Quindi dovendo essere la componente del raggio vettore lungo \(\vec{j}\)
\[y=3-kt^{\frac{1}{2}}\]
una lunghezza, significa che il primo termine è misurato in metri (ovvero \(3\ m\)) così anche il secondo.
Quindi dovendo essere la componente del raggio vettore lungo \(\vec{j}\)
\[y=3-kt^{\frac{1}{2}}\]
una lunghezza, significa che il primo termine è misurato in metri (ovvero \(3\ m\)) così anche il secondo.
Ora credo che mi sia chiaro, quindi la componente $(2+e^(-at))i$ deve essere in metri quindi $2$ è una misura in metri
mentre $e^(-at)$ deve essere adimensionale quindi $at$ è un numero puro da cui si ricava che $a=1/s$
Mentre la componente $(3-kt^0.5)j$ presenta $3m$ e poi un fattore $kt^0.5$ che deve essere in metri quindi $k=m/s$
Poi $0.5$ indica solo la relazione che c'è.
mentre $e^(-at)$ deve essere adimensionale quindi $at$ è un numero puro da cui si ricava che $a=1/s$
Mentre la componente $(3-kt^0.5)j$ presenta $3m$ e poi un fattore $kt^0.5$ che deve essere in metri quindi $k=m/s$
Poi $0.5$ indica solo la relazione che c'è.
Quasi, l'argomento dell'esponenziale deve essere adimensionale per ragioni che non ti sto a spiegare ora ma che vedrai piu avanti, e quindi questo non lo potevi sapere. Osserva che comunque il numero che "esce" calcolando l'esponenziale deve essere considerato in metri; in quanto poi sommi tale numero con il numero 3 che è a sua volta misurato in metri (non si possono sommare mele con pere).
Per il tempo no, la radice non richiede l'adimensionalità del radicando quindi opera normalmente.
Per il tempo no, la radice non richiede l'adimensionalità del radicando quindi opera normalmente.
Ok allora così va bene, Grazie ancora!
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