Moti particolari, versione definitiva (forse).

[PILLOS1]

Grazie ai vostri consigli ora penso che vada bene fornendo anche il disegno.

Il disegno è questo: https://imgur.com/a/s73jF
Testo:
Data la lagrangiana di un sistema olonomo a vincoli perfetti (elemento massa m che gira su una circonferenza fissa con centro sulla parte negativa dell'asse y collegato con una molla al baricentro di un disco di massa M e raggio R che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale x nella parte positiva delle y , angoli θ per l'elemento e ϕ per il disco a partire dai diametri orizzontali):
$L=3/4MR^2(dotphi)^2+1/2mR^2(dot theta)^2−mgRsinθ−1/2kR^2ϕ^2−kR^2ϕ cosθ+3kR^2sinθ$
nelle coordinate lagrangiane ϕ e θ , che porta alle seguenti equazioni di Lagrange:
$3/2MR^2ddot phi+kR^2ϕ+kR^2cosθ=0$
seconda: $mR^2ddottheta+mgRcosθ−kR^2ϕsinθ−3kR^2cosθ=0$,
si richiede di discutere il moto del disco se θ dell'elemento è fissato al valore $pi/2$.

Io ho messo θ = π/2 nelle equazioni di Lagrange (θ costante quindi $dottheta$ e $ddot theta$ = 0) e viene:
prima :$3/2MR^2ddotphi+kR^2ϕ=0$
seconda:$−kR^2ϕ=0$.
Allora verrebbe ϕ = 0 e $ddotphi$ = 0 da cui il moto del disco è ϕ=$dotphi$(0)⋅t+ϕ(0).
Un po' strano visto che ϕ= 0 e θ= π/2 è una posizione di equilibrio (ricavata dalle derivate prime della U).
Se invece metto subito nella lagrangiana L il valore θ = $pi/2$ , viene l'unica equazione pura: $3/2MR^2ddotphi+kR^2ϕ=0$ che fornisce un moto armonico ben diverso da quello ricavato sopra.
Io penso che si debbano considerare tutte e due le equaz. di Lagrange, non una sola, quindi dovrebbe andare bene il primo tipo di moto, ma "a occhio guardando la figura" tornerebbe più quello armonico cioè il secondo.

A questo punto non so quale dei due moti sia quello giusto.
Potreste aiutarmi?
Vi ringrazio moltissimo.

Bye.

[Studente Anonimo]

"PILLOS":
A questo punto non so quale dei due moti sia quello giusto.

Certamente non il moto per cui:

$[dot\theta(t)=0] ^^ [dot\phi(t)=Cne0] rarr [ddot\phi(t)=0]$

Infatti, dopo aver ricavato la Lagrangiana (del tutto equivalente alla tua) e le equazioni del moto adottando gli angoli sottostanti, misurati a partire dalla verticale in senso orario

$[L=1/2mR^2dot\theta^2+3/4MR^2dot\phi^2+R(3kR-mg)cos\theta-1/2kR^2\phi^2+kR^2\phisin\theta] rarr$

$rarr [ddot\theta+((3k)/m-g/R)sin\theta-k/m\phicos\theta=0] ^^ [ddot\phi+(2k)/(3M)(\phi-sin\theta)=0]$

dovresti osservare che:

$[ddot\phi(t)+(2k)/(3M)[\phi(t)-sin\theta(t)]=0] ^^ [ddot\phi(t)=0] ^^ [dot\theta(t)=0] rarr$

$rarr [\phi(t)-sin\theta(t)=0] ^^ [dot\theta(t)=0] rarr$

$rarr [dot\phi(t)-dot\theta(t)cos\theta(t)=0] ^^ [dot\theta(t)=0] rarr$

$rarr [dot\phi(t)=0]$

Ad ogni modo, meglio sostituire $[\theta(t)=0]$ nella Lagrangiana e procedere con un solo grado di libertà.

[PILLOS1]

Ti ringrazio moltissimo per la risposta.
In effetti il moto armonico ci sta di più anche a vedere fisicamente il sistema.
Avevo pensato anche io a sostituire direttamente il teta nella lagrangiana , come ho scritto nel messaggio, però avevo visto sul libro un problema che finiva con questa lagrangiana :
$L= 1/2 (M+m) (dotx)^2+1/2m(R^2(dottheta)^2-2Rsin theta dotx dottheta)-mgrsintheta-1/2kx^2-kRxcostheta$
che porta alle equazioni col disegno allegato:
https://imgur.com/a/RAeDC
$(M+m)ddotx-mRsintheta ddottheta-Rcostheta (dottheta)^2+kx+kRcos theta=0$
$-mRsintheta ddotx+mR^2ddottheta-kRsintheta x+mgRcostheta=0$
L'esercizio chiede se sono possibili moti a x=cost e allora se io pongo x= cost nella Lagrangiana direttamente, poi mi viene l'unica l'equazione di Lagrange:
$mR^2ddottheta+mgRcostheta-k'Rsintheta=0$ dove in k' ho inglobato i termini con x costante.
Ora non so quale sia la soluzione di questa equazione, ma una soluzione ci sarà, quindi io concluderei che sono possibili moti con x costante.
Invece la soluzione del libro riporta che non sono possibili moti a x costante.
Vedo poi che per risolvere questa tipologia di domande il libro non sostituisce mai il valore costante nella lagrangiana ma procede a risolvere tutte le equazioni di Lagrange che escono sostituendo lì il valore costante dato.
Allora come si deve procedere? Si sostituisce il valore costante alla lagrangiana e si vede il risultato, o si sostituisce il valore costante alle equazioni di Lagrange, risolvendole insieme, come sistema? O dovrebbe venire uguale come penso?

[Studente Anonimo]

"PILLOS":
Allora come si deve procedere?

Io distinguerei due casi piuttosto diversi tra loro.

"PILLOS":
... si richiede di discutere il moto del disco se $\theta$ dell'elemento è fissato al valore $pi/2$ ...

Nel primo esercizio si chiede di determinare il moto del disco nel caso in cui $\theta$ dell'elemento è fissato al valore $pi/2$, cioè, il punto è vincolato a rimanere fermo sulla guida circolare. Questa richiesta modifica sostanzialmente il sistema di partenza, togliendo un grado di libertà o, equivalentemente, modificando la natura della reazione vincolare che la guida è in grado di esercitare sul punto, potendo quest'ultima sviluppare una componente anche tangenziale della reazione vincolare medesima. In sintesi, si tratta di risolvere un sistema diverso e, se non si vuole ripartire dall'inizio, sostituire $\theta=pi/2$ nella Lagrangiana del sistema iniziale.

"PILLOS":
L'esercizio chiede se sono possibili moti a $x_G$ costante ...

Nel secondo esercizio si chiede di determinare se sono possibili moti a $x_G$ costante, cioè, $x_G$ deve essere costante senza introdurre un'ulteriore reazione vincolare in grado di sopprimere un grado di libertà (il sistema in esame non cambia e i gradi di libertà restano due) e, per soddisfare la richiesta, è necessario sostituire la legge nelle equazioni del moto e verificare che non sorga una qualche contraddizione (probabilmente la parte più impegnativa).

[PILLOS1]

Adesso mi è tutto più chiaro, ti ringrazio moltissimo.

Una sola altra domanda, se posso permettermi: mettendo x costante come vedi mi viene un'equazione differenziale con teta che , a mio avviso, qualche soluzione l'avrà.
Allora sembrerebbero possibili moti a x costante, invece la soluzione riportata nel testo dice di no.
Dove sbaglio?

[Studente Anonimo]

Sei sicuro di dover soddisfare la richiesta mediante considerazioni di carattere esclusivamente matematico? Fisicamente, se $x_G(t)$ fosse una funzione costante, la somma delle componenti orizzontali delle forze agenti sul disco dovrebbe essere nulla. Tuttavia, l'unica forza che, salvo casi eccezionali, sviluppa senz'altro una componente lungo l'orizzontale è la reazione vincolare interna diretta lungo il raggio del disco. Ad ogni modo, se proprio vuoi procedere matematicamente, per quanto riguarda la forza peso, devi aver sbagliato un segno nella Lagrangiana:

$L=1/2(M+m)dotx_G^2+1/2mR^2dot\theta^2-mRdotx_Gdot\thetasin\theta+mgRsin\theta-1/2kx_G^2-kRx_Gcos\theta$

Inoltre, devi aver dimenticato un fattore $m$ nel terzo addendo della prima equazione:

Equazione 1. $(M+m)ddotx_G-mRddot\thetasin\theta-mRdot\theta^2cos\theta+kx_G+kRcos\theta=0$

Equazione 2. $mRddot\theta-mddotx_Gsin\theta-mgcos\theta-kx_Gsin\theta=0$

Infine, se $[x_G(t)=C]$, ho pensato di procedere così, anche se non escludo l'esistenza di procedimenti più semplici:

Equazione 1. $-mRddot\thetasin\theta-mRdot\theta^2cos\theta+kC+kRcos\theta=0$

Equazione 2. $mRddot\theta-mgcos\theta-kCsin\theta=0$

$[mRddot\theta=mgcos\theta+kCsin\theta] rarr$

$rarr [-mgcos\thetasin\theta-kCsin^2\theta-mRdot\theta^2cos\theta+kC+kRcos\theta=0] rarr$

$rarr [-mgcos\thetasin\theta+kCcos^2\theta-mRdot\theta^2cos\theta+kRcos\theta=0] rarr$

$rarr [-mgsin\theta+kCcos\theta-mRdot\theta^2+kR=0] ^^ [cos\theta ne 0] rarr$

$rarr [-mgdot\thetacos\theta-kCdot\thetasin\theta-2mRdot\thetaddot\theta=0] ^^ [cos\theta ne 0] rarr$

$rarr [-mgcos\theta-kCsin\theta-2mRddot\theta=0] ^^ [cos\theta ne 0] ^^ [dot\theta ne 0] rarr$

$rarr [mRddot\theta=-1/2(mgcos\theta+kCsin\theta)] ^^ [cos\theta ne 0] ^^ [dot\theta ne 0] rarr$

$rarr [mgcos\theta+kCsin\theta=-1/2(mgcos\theta+kCsin\theta)] ^^ [cos\theta ne 0] ^^ [dot\theta ne 0] rarr$

$rarr [mgcos\theta+kCsin\theta=0] ^^ [cos\theta ne 0] ^^ [dot\theta ne 0] rarr$

$rarr [theta=-arctg((mg)/(kC))] ^^ [cos\theta ne 0] ^^ [dot\theta ne 0] rarr$

$rarr [dot\theta=0] ^^ [cos\theta ne 0] ^^ [dot\theta ne 0]$

cioè, una contraddizione.

[zeteol]

Caspiterina!
Io non ci sarei mai arrivato.

Ti ringrazio moltissimo.
Buon anno!