Moti particolari (new version).
Grazie ai vostri consigli ora penso che vada bene.
Il disegno è questo: https://imgur.com/a/s73jF
Testo:
Data la lagrangiana di un sistema olonomo a vincoli perfetti (elemento massa m che gira su una circonferenza fissa con centro sulla parte negativa dell'asse y collegato con una molla al baricentro di un disco di massa M e raggio R che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale x nella parte positiva delle y , angoli $theta$ per l'elemento e $phi$ per il disco a partire dai diametri orizzontali):
$L=3/4MR^2(dotphi)^2+1/2mR^2(dot theta)^2−mgRsintheta−1/2kR^2phi^2−kR^2phicostheta+3kR^2sintheta$
nelle coordinate lagrangiane $phi$ e $theta$ , che porta alle seguenti equazioni di Lagrange:
prima:$ 3/2MR^2ddot phi+kR^2phi+kR^2costheta=0$
seconda: $mR^2ddot theta+mgRcostheta−kR^2phisintheta−3kR^2costheta=0 $,
si richiede di discutere il moto del disco se $theta$ dell'elemento è fissato al valore $pi/2$.
Io ho messo $theta$ = $pi/2$ nelle equazioni di Lagrange ($theta$ costante quindi $dottheta$ e $ddottheta$ = 0) e viene:
prima :$3/2MR^2ddot phi+kR^2phi=0 $
seconda:$−kR^2phi=0$.
Allora verrebbe $phi$ = 0 e $ddotphi$ = 0 da cui il moto del disco è $phi=dotphi(0)⋅t+phi(0)$.
Un po' strano visto che $phi $= 0 e $theta$= $pi/2$ è una posizione di equilibrio (ricavata dalle derivate prime della U).
Se invece metto subito nella lagrangiana L il valore $theta$ = $pi/2$ , viene l'equazione pura: $3/2MR^2ddotphi+kR^2phi=0$ che fornisce un moto armonico ben diverso da quello ricavato sopra e comunque penso che si debbano considerare tutte e due le equaz. di Lagrange, non una sola.
A questo punto non so quale dei due moti sia quello giusto.
Potreste aiutarmi?
Vi ringrazio moltissimo.
Bye.
Il disegno è questo: https://imgur.com/a/s73jF
Testo:
Data la lagrangiana di un sistema olonomo a vincoli perfetti (elemento massa m che gira su una circonferenza fissa con centro sulla parte negativa dell'asse y collegato con una molla al baricentro di un disco di massa M e raggio R che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale x nella parte positiva delle y , angoli $theta$ per l'elemento e $phi$ per il disco a partire dai diametri orizzontali):
$L=3/4MR^2(dotphi)^2+1/2mR^2(dot theta)^2−mgRsintheta−1/2kR^2phi^2−kR^2phicostheta+3kR^2sintheta$
nelle coordinate lagrangiane $phi$ e $theta$ , che porta alle seguenti equazioni di Lagrange:
prima:$ 3/2MR^2ddot phi+kR^2phi+kR^2costheta=0$
seconda: $mR^2ddot theta+mgRcostheta−kR^2phisintheta−3kR^2costheta=0 $,
si richiede di discutere il moto del disco se $theta$ dell'elemento è fissato al valore $pi/2$.
Io ho messo $theta$ = $pi/2$ nelle equazioni di Lagrange ($theta$ costante quindi $dottheta$ e $ddottheta$ = 0) e viene:
prima :$3/2MR^2ddot phi+kR^2phi=0 $
seconda:$−kR^2phi=0$.
Allora verrebbe $phi$ = 0 e $ddotphi$ = 0 da cui il moto del disco è $phi=dotphi(0)⋅t+phi(0)$.
Un po' strano visto che $phi $= 0 e $theta$= $pi/2$ è una posizione di equilibrio (ricavata dalle derivate prime della U).
Se invece metto subito nella lagrangiana L il valore $theta$ = $pi/2$ , viene l'equazione pura: $3/2MR^2ddotphi+kR^2phi=0$ che fornisce un moto armonico ben diverso da quello ricavato sopra e comunque penso che si debbano considerare tutte e due le equaz. di Lagrange, non una sola.
A questo punto non so quale dei due moti sia quello giusto.
Potreste aiutarmi?
Vi ringrazio moltissimo.
Bye.
Risposte
Ho provato a editare le formule (anche se si potrebbe far meglio, lo so,scusate l'inesperienza), il punto della derivata rispetto al tempo lo indica con "punfreccia" e il teta con la t più la eta greca.
Se vuoi mettere il punto sopra una variabile $x$ , per indicare che la derivi rispetto al tempo , devi scrivere : dotx , racchiuso tra i dollari : $dotx$ .
La variabile theta devi scriverla con "h" , come ho fatto io : $theta$ , sempre tra i dollari .
Meglio, ma ancora non capisco com'e' la configurazione. Un disegno aiuterebbe. Il testo non riesco a interpretarlo
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