MOTI ARMONICI

[*jaskate]

salve gente. fisica 1, meccanica classica: avrei alcuni dilemmi generali sullo studio generico dei moti armonici. dunque: un corpo di massa m trascurabile, attaccato ad una molla da un suo lato, scivola lungo la superfice di un piano inclinato con attrito trascurabile. le forze del corpo libero e le rispettive proiezioni sugli assi sono:

$\sum \vec F=\vec P+\vec N rarr \{(sum \vec Fx=mgsen\theta),(sum \vec Fy=N-mgcos\theta):}$

adesso il testo chiede di DIMOSTRARE ke si tratta di un moto armonico semplice e di trovare conseguentemente la fase, l'ampiezza massima e la pulsazione. ahimé, il moto armonico rimane tuttora un mio tenebroso incubo. attendo risposte. grazie mille.

[*pizzaf40]

La massa non può essere trascurabile, altrimenti non ci sarebbe l'inerzia che permette il mantenimeto del moto armonico (per una molla ideale come quella di questo caso).

Inoltre quelle proiezione sugli assi non sono corrette se come assi chiami quelli cartesiano orizzontale e verticale...infatti la forza peso è completamente verticale, quindi non potrebbe esserci il termine $costheta$ nella seconda (e non dovrebbe essere presente $mg*sintheta$ nella prima).

Secondo me ti conviene valutare che il bilancio di forze perpendicolare al piano inclinato non concorre al moto parallelo allo stesso (tantomeno se non c'è attrito). Quindi il sistema è equivalente a quello di una molla orizzontale (o verticalen con una posizione di equilibrio diversa) fissata ad un estremo, e attaccata all'altro estremo con una massa $mg*sintheta$.

A questo punto, le forze in gioco sono solo l'inerzia della massa e la forza della molla:

$Ma+Kx=0$

e devi verificare che un moto armonico $x=Asin(omegat+phi)$ sia possibile come soluzione (ricorda infatti che $a=(d^2x)/(dt^2)=-A omega^2 sin(omegat+phi)$):

$-MA omega^2 sin(omegat+phi)+KAsin(omegat+phi)=0$

ed è evidente che questo è possibile! Infatti sviluppando:

$MAomega^2=KA$
$omega^2=K/M$
$omega=sqrt(K/M)$

e questo risultato si chiama pulsazione naturale, cioè la "velocità" con cui il sistema vibra. Nota che se aumenti K (molla più rigida) il sistema vibra più velocemente e viceversa. Discorso opposto vale per la massa...più è pesante e più questa oscilla lentamente attorno alla posizione di equilibrio.

Per comprendere meglio il significato di $omega$, devi sapere che questa ha le dimensioni $[(rad)/s]$...quindi se la dividi per $2pi$ (nota che $2pi$ è un giro) ottieni una dimensione $[1/s]$ che caratterizza la frequenza ($f=omega/(2pi)$)...la frequenza indica quanti cicli fa il sistema in un secondo...il sistema è quello detto prima, e il ciclo consiste nell'andare da una posizione (a tua scelta) fino alla stessa posizione dopo aver fatto un'oscilazione. Inoltre $T=1/f$ si chiama periodo, cioè quanti secondi ci mette il sistema a fare un ciclo.

Per esempio, hai una massa di 4kg e una K di 2000[N/m]. Il tutto è a riposo...ora tira la massa nella posizione iniziale con la molla tesa, e lascia tutto il sistema libero di oscillare. Il tutto oscillerà con pulsazione $sqrt(K/M)=22,36[(rad)/s]$, frequenza $f=omega/(2pi)=3,56[1/s]$ e periodo $T=1/f=0,281$....questo significa che la massa tornerà nella posizione iniziale ogni 0,281 secondi e in un secondo ci passerà per 3,56 volte.

Nota infine che trovando l'espressione di $omega$ l'ampiezza dell'oscillazione $A$ si era semplificata, e il risultato non dipende da quella....questa significa che il sistema risponde con le stesse caratteristiche temporali viste prima indipendentemente dal punto dal quale fai partire la massa!


Spero di averti fatto un po' di chiarezza sui moti armonici...

[*pizzaf40]

Ah, dimenticavo una cosa importante se ti può interessare...immagina che al sistema ora sia applicata una forza oscillante con la stessa pulsazione del sistema...la forza dunque avrà un'espressione $F=F_0 sin(sqrt(K/M)t+phi)$.
Il bilancio dunque sarà:

$Ma+kx-F=0$
$-MA(sqrt(K/M))^2sin(sqrt(K/M)t+phi)+KAsin(sqrt(K/M)t+phi)-F_0 sin(sqrt(K/M)t+phi)=0$
$-MAK/M+KA=F_0
$-KA+KA=F_0$
$F_0=0$

Ma come??? Perchè l'unica soluzione possibile è che la forza sia nulla???
La risposta è che se tu applichi ad un sistema una forza qualunque diversa da zero che oscilla con la stessa pulsazione naturale del sistema stesso, il sistema con le caratteristiche della sua elasticità non è capace di opporsi alla forza, quindi questa farà aumentare lo spostamento del sistema durante la vibrazione (cioè l'ampiezza) fino a che non si spacca tutto!! ...e, come dice la soluzione appena trovata, l'unica possibilità di avere equilibrio in questo caso è che la forza non ci sia per niente Forte no?!?