Momento magnetico di una sfera
Buongiorno,
Ho incontrato un esercizio che mi chiede di calcolare il momento magnetico di una sfera che ha velocità angolare $omega$.
Il mio tentativo è stato questo
Sapendo che il momento magnetico di un disco di raggio $R$ è
$m=(omegaqR^2)/4$
Allora posso pensare che il momento magnetico di una sfera sia la somma di infiniti momenti magnetici di unfiniti dischi di raggio $r=Rcostheta$ dove $theta$ è l'angolo formato da un raggio orizzontale e dal raggio che indica la posizione del disco infinitesimo.
Quindi
$dm=(omegar^2)/4dq=>dm=(omega(Rcostheta)^2)/4*dq$
Il problema dice che la carica è uniformemente distribuita quindi
$q/(4/3piR^3)=(dq)/(pir^(2)Rd\theta)=(dq)/(pi(Rcos\theta)^(2)Rd\theta)$
Dove $pi(Rcos\theta)^(2)Rd\theta$ è il volume di un disco di spessore infinitesimo
Ricavo quindi che
$dq=q/(4/3piR^3)*pi(Rcos\theta)^(2)Rd\theta=3/4qcos^(2)\thetad\theta$
Sostituendo
$dm=(omega(Rcostheta)^2)/4*3/4qcos^(2)\thetad\theta=3/16qomegaR^(2)cos^(4)\thetad\theta$
Integrando ottengo
$m=2\int_0^(pi/2) 3/16qomegaR^(2)cos^(4)\thetad\theta=3/8qomegaR^(2)\int_0^(pi/2) cos^(4)\thetad\theta=3/8qomegaR^(2)[3/8theta+1/4sin2\theta+1/32sin4\theta]_0^(pi/2)=3/8qomegaR^(2)*3/8pi/2$
In conclusione
$m=9/128piqomegaR^(2)$
Il ragionamento non mi sembra sbagliato ma il risultato è $m=(omegaqR^2)/5$
Non riesco a capire perchè il risultato sia diverso. So come viene calcolato il risultato del libro. Non riesco a capire perchè il mio procedimento sia sbagliato nonostante lo steso libro ne usi uno analogo per il calcolo del campo elettrostatico al centro della base di una semisfera carica cava.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Ho incontrato un esercizio che mi chiede di calcolare il momento magnetico di una sfera che ha velocità angolare $omega$.
Il mio tentativo è stato questo
Sapendo che il momento magnetico di un disco di raggio $R$ è
$m=(omegaqR^2)/4$
Allora posso pensare che il momento magnetico di una sfera sia la somma di infiniti momenti magnetici di unfiniti dischi di raggio $r=Rcostheta$ dove $theta$ è l'angolo formato da un raggio orizzontale e dal raggio che indica la posizione del disco infinitesimo.
Quindi
$dm=(omegar^2)/4dq=>dm=(omega(Rcostheta)^2)/4*dq$
Il problema dice che la carica è uniformemente distribuita quindi
$q/(4/3piR^3)=(dq)/(pir^(2)Rd\theta)=(dq)/(pi(Rcos\theta)^(2)Rd\theta)$
Dove $pi(Rcos\theta)^(2)Rd\theta$ è il volume di un disco di spessore infinitesimo
Ricavo quindi che
$dq=q/(4/3piR^3)*pi(Rcos\theta)^(2)Rd\theta=3/4qcos^(2)\thetad\theta$
Sostituendo
$dm=(omega(Rcostheta)^2)/4*3/4qcos^(2)\thetad\theta=3/16qomegaR^(2)cos^(4)\thetad\theta$
Integrando ottengo
$m=2\int_0^(pi/2) 3/16qomegaR^(2)cos^(4)\thetad\theta=3/8qomegaR^(2)\int_0^(pi/2) cos^(4)\thetad\theta=3/8qomegaR^(2)[3/8theta+1/4sin2\theta+1/32sin4\theta]_0^(pi/2)=3/8qomegaR^(2)*3/8pi/2$
In conclusione
$m=9/128piqomegaR^(2)$
Il ragionamento non mi sembra sbagliato ma il risultato è $m=(omegaqR^2)/5$
Non riesco a capire perchè il risultato sia diverso. So come viene calcolato il risultato del libro. Non riesco a capire perchè il mio procedimento sia sbagliato nonostante lo steso libro ne usi uno analogo per il calcolo del campo elettrostatico al centro della base di una semisfera carica cava.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Tanto per cominciare vedo un errore nel volume del disco infinitesimo. 
Lo spessore del disco infinitesimo non è $R\text{d}\theta$, bensì ...
Lo spessore del disco infinitesimo non è $R\text{d}\theta$, bensì ...
Dovrebbe essere $pi(R^2-x^2)dx$? Ma essendo lo spessore infinitesimo non dovrebbero essere uguali i due volumi infinitesimi? Alla fine entrambi sono approssimazioni. Perchè uno sarebbe giusta e l'altra no?
Io direi che lo spessore dovrebbe essere
$\text{d}(R \sin\theta)$
non credi?
Via via che $\theta$ cresce da zero a \( \pi/2\), lo spessore decresce da $R\text{d} \theta $ a zero, quindi devi usare il differenziale della distanza $R\sin \theta$ del disco dal centro della sfera e non, come hai fatto, la lunghezza dell'arco sotteso a $\text{d} \theta $.
$\text{d}(R \sin\theta)$
non credi?
Via via che $\theta$ cresce da zero a \( \pi/2\), lo spessore decresce da $R\text{d} \theta $ a zero, quindi devi usare il differenziale della distanza $R\sin \theta$ del disco dal centro della sfera e non, come hai fatto, la lunghezza dell'arco sotteso a $\text{d} \theta $.
Grazie mille
Effettivamente usando come altezza infinitesima del disco $d(Rsin\theta)$ il risultato è quello del libro. Però non riesco a capire ancora perchè lo spessore non possa anche essere $Rd\theta$.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ro#p306266
In questa discussione viene posta una domanda relativa al calcolo del campo elettrico nel centro della base di una semisfera. Viene suggerito di usare come spessore infinitesimo $Rd\theta$. Un simile esercizio è presente anche nel mio libro e il procedimento usato prevede l'uso di $Rd\theta$ come spessore infinitesimo . Non capisco cosa cambi.
Effettivamente usando come altezza infinitesima del disco $d(Rsin\theta)$ il risultato è quello del libro. Però non riesco a capire ancora perchè lo spessore non possa anche essere $Rd\theta$.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ro#p306266
In questa discussione viene posta una domanda relativa al calcolo del campo elettrico nel centro della base di una semisfera. Viene suggerito di usare come spessore infinitesimo $Rd\theta$. Un simile esercizio è presente anche nel mio libro e il procedimento usato prevede l'uso di $Rd\theta$ come spessore infinitesimo . Non capisco cosa cambi.
"Damiano77":
... Però non riesco a capire ancora perchè lo spessore non possa anche essere $Rd\theta$.
Ma leggi quello che scrivo? Te l'ho spiegato nel mio precedente post; quello non è lo spessore in quanto è la misura dell'arco infinitesimo (associato ad una variazione infinitesima $\text{d}\theta$), che non è perpendicolare alle basi del disco infinitesimo e quindi deve essere proiettato su detta normale.
Per ottenere questa proiezione devi semplicemente moltiplicarlo per il $\cos\theta$ oppure, equivalentemente, considerare (come ti dicevo) il differenziale della distanza $R \sin\theta$ del disco dal centro della sfera.
"Damiano77":
... In questa discussione viene posta una domanda relativa al calcolo del campo elettrico nel centro della base di una semisfera. Viene suggerito di usare come spessore infinitesimo $Rd\theta$. Un simile esercizio è presente anche nel mio libro e il procedimento usato prevede l'uso di $Rd\theta$ come spessore infinitesimo . Non capisco cosa cambi.
Cambia tutto; in quel caso stiamo determinando la superficie della corona sferica infinitesima, e in quel caso $R\ \text{d}\theta$ rappresenta la sua dimensione trasversale.
"RenzoDF":
Via via che θ cresce da zero a π/2, lo spessore decresce da Rdθ a zero
Scusami non avevo capito questa parte quando me lo avevi spiegato. Ora mi è più chiaro. Grazie mille: mi hai davvero aiutato tanto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo