Momento d'inerzia triangolo - Huygen-Steiner
Ciao a tutti
Consideriamo la seguente cornice triangolare equilatera costituita da tre aste saldate, ciascuna di lunghezza $l$ e massa $m$.
Devo calcolare il momento d'inerzia dell'asta $bar(AB)$ rispetto all'asse $z$ uscente dal foglio e passante per il centro di massa $G$ della cerniera triangolare equilatera.
Il modulo di $(G-A)$ è
$|(G-A)|= 1/2 sqrt(3)/2 l= sqrt(3)/4l$
I miei calcoli
Io ho fatto il seguente calcolo:
$I_G^(AB)= 1/12 ml^2 + m ( sqrt(3)/4l)^2 =13/48 ml^2$
Il risultato è tuttavia errato, perché sul libro c'è scritto che:
$I_G^(AB)= 1/12 ml^2 + m ( sqrt(3)/6l)^2 =1/6 ml^2$
Sapreste dirmi cosa ho sbagliato nell'applicazione di Huygen-Steiner?
Consideriamo la seguente cornice triangolare equilatera costituita da tre aste saldate, ciascuna di lunghezza $l$ e massa $m$.
Devo calcolare il momento d'inerzia dell'asta $bar(AB)$ rispetto all'asse $z$ uscente dal foglio e passante per il centro di massa $G$ della cerniera triangolare equilatera.
Il modulo di $(G-A)$ è
$|(G-A)|= 1/2 sqrt(3)/2 l= sqrt(3)/4l$
I miei calcoli
Io ho fatto il seguente calcolo:
$I_G^(AB)= 1/12 ml^2 + m ( sqrt(3)/4l)^2 =13/48 ml^2$
Il risultato è tuttavia errato, perché sul libro c'è scritto che:
$I_G^(AB)= 1/12 ml^2 + m ( sqrt(3)/6l)^2 =1/6 ml^2$
Sapreste dirmi cosa ho sbagliato nell'applicazione di Huygen-Steiner?
Risposte
$ (sqrt3/6)^2=1/(12) $ 
"Capitan Harlock":
$ (sqrt3/6)^2=1/(12) $
Questo è il risultato che ottiene il libro. E' diverso dal risultato che ottengo io.
Parlando della parte di equazione che tu hai giustamente menzionato, io ho $ (sqrt3/4)^2$
in quanto la mediana è uguale a $sqrt3/2l$, ed il centro di massa sta a metà della mediana, per cui:
$(1/2 sqrt3/2l)^2=(sqrt3/4l)^2= 3/16 l^2$
Il centro di massa delle tre aste non sta a metà della mediana. È un triangolo equilatero, concentra le masse di ciascun lato nel rispettivo punto medio. Per ragioni di simmetria, il CM sta nel punto di incontro delle tre mediane, e questo punto dista $(sqrt3)/6l $ da ciascuno dei tre lati.
Puoi vederlo meglio, se metti il triangolo col lato AB sull’asse $x$ , e metti il vertice C nel 1º quadrante. Traccia le tre mediane (ma ne bastano solo due) e hai la posizione del CM. Si ha, in questa configurazione :
$x_G = l/2$
$y_G =(sqrt3)/6l $
quindi il termine di trasporto in HS è $my_G^2$, come dice il libro.
Puoi vederlo meglio, se metti il triangolo col lato AB sull’asse $x$ , e metti il vertice C nel 1º quadrante. Traccia le tre mediane (ma ne bastano solo due) e hai la posizione del CM. Si ha, in questa configurazione :
$x_G = l/2$
$y_G =(sqrt3)/6l $
quindi il termine di trasporto in HS è $my_G^2$, come dice il libro.
"Kanal":
il CM sta nel punto di incontro delle tre mediane, e questo punto dista $(sqrt3)/6l $ da ciascuno dei tre lati.
Dai centri dei lati?
Oppure dai vertici?
Io ho pensato che, dato che le mediane hanno tutte e tre lunghezza uguale a $sqrt3/2 l$, allora la distanza dalla metà della mediana è $sqrt3/4l$
Non riesco a capire come mai $1/6$.
So che sono argomenti da scuole medie e che mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Vi ringrazio già adesso per le vostre future risposte
La mediana parte da un vertice e arriva al punto medio del lato opposto. Bevi il bicchiere d’acqua, non affogarci dentro! Nel triangolo equilatero una mediana è anche altezza e bisettrice dell’angolo al vertice. Trova il CM graficamente o analiticamente come ti ho suggerito, e usa un po’ di trigonometria, dai che non è difficile!
Comunque, la misura della mediana in questo caso è quella che hai scritto, e il CM dista 1/3 dal lato opposto al vertice, e 2/3 dal vertice .
Comunque, la misura della mediana in questo caso è quella che hai scritto, e il CM dista 1/3 dal lato opposto al vertice, e 2/3 dal vertice .
"Kanal":
... il CM dista 1/3 dal lato opposto al vertice, e 2/3 dal vertice .
Ecco cosa sbagliavo...Caspita che tonto! La mia professoressa delle medie mi ucciderebbe, e farebbe bene
Grazie mille Kanal
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