Momento d'inerzia Lamina piana forata
Ciao!
Non riesco a svolgere questo esercizio, o meglio, ottengo un risultato sbagliato:
Devo calcolare $I_L$, ovvero il momento d'inerzia della lamina (un quarto di disco forato) rispetto all'asse $z$.
La massa della lamina forata ( la parte tratteggiata) è $m$.
Il foro è assimilabile ad un semi-disco di raggio $a$, la lamina integra senza il foro sarebbe un quarto di disco di raggio $2a$.
Se non ci fosse il foro, la massa della lamina integra (un quarto di disco di raggio $2a$) sarebbe $2m$.
Io ho calcolato il momento d'inerzia del quarto di disco $I_D$ e del foro $I_F$, e dopodiché ho scritto:
$I_L= I_D - I_F$
Nei seguenti passaggi ci sono degli errori ma non capisco dove:
Per il quarto di disco
$I_D = 1/4 (1/4 2m (2a)^2)= 1/2 m a^2$
Ho moltiplicato tutto per $1/4$ in quanto ho solo un quarto di cerchio.
Per il foro (ho utilizzato anche Huygen-Steiner)
$I_F= 1/2 (1/4 ma^2 + ma^2)= 5/8 ma^2$
Ho moltiplicato tutto per $1/2$ perché il foro è assimilabile ad un semi-disco.
Adesso posso calcolare il momento d'inerzia della lamina forata
$I_L= I_D - I_F= 1/2 m a^2- 5/8 ma^2= - 1/8ma^2$
Il risultato è OVVIAMENTE sbagliato, in quanto il momento d'inerzia è negativo.
Dalle soluzioni leggo scritto:
$I_D= 2ma^2$
$I_F= 5/4 ma^2$
$I_L= I_D - I_F= 3/4 ma^2$
Qualcuno sarebbe in grado di capire dove ho sbagliato?
Non riesco a svolgere questo esercizio, o meglio, ottengo un risultato sbagliato:
L'esercizio
Devo calcolare $I_L$, ovvero il momento d'inerzia della lamina (un quarto di disco forato) rispetto all'asse $z$.
La massa della lamina forata ( la parte tratteggiata) è $m$.
Il foro è assimilabile ad un semi-disco di raggio $a$, la lamina integra senza il foro sarebbe un quarto di disco di raggio $2a$.
Se non ci fosse il foro, la massa della lamina integra (un quarto di disco di raggio $2a$) sarebbe $2m$.
Io ho calcolato il momento d'inerzia del quarto di disco $I_D$ e del foro $I_F$, e dopodiché ho scritto:
$I_L= I_D - I_F$
Nei seguenti passaggi ci sono degli errori ma non capisco dove:
Per il quarto di disco
$I_D = 1/4 (1/4 2m (2a)^2)= 1/2 m a^2$
Ho moltiplicato tutto per $1/4$ in quanto ho solo un quarto di cerchio.
Per il foro (ho utilizzato anche Huygen-Steiner)
$I_F= 1/2 (1/4 ma^2 + ma^2)= 5/8 ma^2$
Ho moltiplicato tutto per $1/2$ perché il foro è assimilabile ad un semi-disco.
Adesso posso calcolare il momento d'inerzia della lamina forata
$I_L= I_D - I_F= 1/2 m a^2- 5/8 ma^2= - 1/8ma^2$
Il risultato è OVVIAMENTE sbagliato, in quanto il momento d'inerzia è negativo.
Dalle soluzioni leggo scritto:
$I_D= 2ma^2$
$I_F= 5/4 ma^2$
$I_L= I_D - I_F= 3/4 ma^2$
Qualcuno sarebbe in grado di capire dove ho sbagliato?
Risposte
L'errore principale sta nella definizione di momento di inerzia.
Esso misura quanto mediamente la massa sia lontana dall'asse di rotazione, per cui, rispetto all'asse z, un mezzo disco o un quarto di disco hanno lo stesso momento di inerzia di un disco, l'unica cosa a cambiare è la massa. Ad esempio un disco completo non forato avrebbe massa $8m$.
Da ciò chiaramente puoi intuire che $I_D = 2ma^2$ e $I_F = \frac{5}{4}ma^2 $
A questo punto, considerata la massa del foro negativa, puoi concludere che:
$I_L = I_D + I_F$
Esso misura quanto mediamente la massa sia lontana dall'asse di rotazione, per cui, rispetto all'asse z, un mezzo disco o un quarto di disco hanno lo stesso momento di inerzia di un disco, l'unica cosa a cambiare è la massa. Ad esempio un disco completo non forato avrebbe massa $8m$.
Da ciò chiaramente puoi intuire che $I_D = 2ma^2$ e $I_F = \frac{5}{4}ma^2 $
A questo punto, considerata la massa del foro negativa, puoi concludere che:
$I_L = I_D + I_F$
"Dracmaleontes":
Esso misura quanto mediamente la massa sia lontana dall'asse di rotazione, per cui, rispetto all'asse z, un mezzo disco o un quarto di disco hanno lo stesso momento di inerzia di un disco
Questo non mi risulta affatto intuitivo
Infatti non è vero.
Perchè non sarebbe vero scusami?
$I=\sum_{i=1}^n m_i \rho^2$
La formula stessa non ti da l'idea che in un certo senso la massa sia pesata per la distanza dall'asse?
$I=\sum_{i=1}^n m_i \rho^2$
La formula stessa non ti da l'idea che in un certo senso la massa sia pesata per la distanza dall'asse?
Il “ non è vero “ si riferisce a quanto hai detto circa i momenti di inerzia del disco, il mezzo disco, il quarto di disco.
Si, anche se effettivamente i momenti di inerzia non sono gli stessi, essendo le masse dei metà e un quarto di disco metà ed un quarto della massa originaria, alla fine il momento d'inerzia si riconduce alla stessa formula, ciò dimostra che la "distribuzione di massa" è la stessa. Era questo quello che volevo dire, chiedo scusa se non sono stato chiaro
Ho capito dove avevo sbagliato, tuttavia non sono ancora sicuro di alcune cose. Ho fatto un altro post molto più dettagliato e specifico sui dubbi che ancora mi attanagliano. Dategli un occhio se vi va.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=210154
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=210154
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