Momento d'inerzia guscio sferico
Come da titolo, sto cercando di ricavare il momento d'inerzia di un guscio sferico vuoto con massa omogeneamente distribuita sulla superficie rispetto a un asse passante per il suo centro. Il risultato è $2mR^2/3$ con R raggio del gusco, e ciò che vorrei capire è cosa c'é di sbagliato nel mio ragionamento piuttosto che ricevere metodi alternativi che funzionano, che già ho disponibili.
Chiamando $M$ la massa totale del guscio, e considerando che il momento d'inerzia di un anello omogeneo attorno al proprio centro è $mr^2$ con r il raggio, ho considerato il guscio come formato da "cilindri vuoti" di altezza infinitesima assimilabili quindi ad anelli su cui applicare il risultato di cui sopra. Su una generica fetta di guscio di questo tipo, con centro ad altezza h rispetto al centro del guscio, ho una massa $dm = M/(4\piR^2)* 2\pir(h)dh = 2\pir(h)dh* \sigma$ dove $\sigma$ è la densità superficiale e $r(h)$ è il raggio dell'anello a distanza $h$ dal centro del guscio, che vale $r(h) = sqrt(R^2 - h^2)$. Segue che ho per ogni anello $dI = dm [r(h)]^2 = 2\pi\sigma* [r(h)]^3 dh = 2\pi\sigma*(R^2-h^2)^(3/2) dh$ e integrando $I = 4\pi\sigma int_0^R (R^2-h^2)^(3/2) dh$ dove ho considerato la simmetria della funzione moltiplicando per due considerando l'integrale solo tra $0$ ed $R$. Il problema è che risolvendo questo integrale ottengo il risultato $I = 3/4\pi^2\sigmaR^4 = 3/16\pi MR^2$ chiaramente diverso dal risultato... dove sbaglio??
Chiamando $M$ la massa totale del guscio, e considerando che il momento d'inerzia di un anello omogeneo attorno al proprio centro è $mr^2$ con r il raggio, ho considerato il guscio come formato da "cilindri vuoti" di altezza infinitesima assimilabili quindi ad anelli su cui applicare il risultato di cui sopra. Su una generica fetta di guscio di questo tipo, con centro ad altezza h rispetto al centro del guscio, ho una massa $dm = M/(4\piR^2)* 2\pir(h)dh = 2\pir(h)dh* \sigma$ dove $\sigma$ è la densità superficiale e $r(h)$ è il raggio dell'anello a distanza $h$ dal centro del guscio, che vale $r(h) = sqrt(R^2 - h^2)$. Segue che ho per ogni anello $dI = dm [r(h)]^2 = 2\pi\sigma* [r(h)]^3 dh = 2\pi\sigma*(R^2-h^2)^(3/2) dh$ e integrando $I = 4\pi\sigma int_0^R (R^2-h^2)^(3/2) dh$ dove ho considerato la simmetria della funzione moltiplicando per due considerando l'integrale solo tra $0$ ed $R$. Il problema è che risolvendo questo integrale ottengo il risultato $I = 3/4\pi^2\sigmaR^4 = 3/16\pi MR^2$ chiaramente diverso dal risultato... dove sbaglio??
Risposte
"Pdirac":
Su una generica fetta di guscio di questo tipo, con centro ad altezza h rispetto al centro del guscio, ho una massa $dm = M/(4\piR^2)* 2\pir(h)dh = 2\pir(h)dh* \sigma$ dove $\sigma$ è la densità superficiale e $r(h)$ è il raggio dell'anello a distanza $h$ dal centro del guscio, che vale $r(h) = sqrt(R^2 - h^2)$. ... dove sbaglio??
non ho voglia di imbarcarmi in integrali. Però, l'approssimazione che fai con gli anelli cilindrici di altezza infinitesima ti porta a sbagliare sistematicamente la massa, con un errore che è nullo sull'equatore, ed infinito ai poli (mi riferisco al rapporto tra la massa di una sezione di altezza infinitesima della sfera e quella dell'associato annello che consideri tu). Prova ad integrare la $dm$ che hai ottenuto e verifica se riottieni la massa. Mi sa proprio di no.
Considera che il rapporto tra la superficie della sezione di sfera di altezza infinitesima $dh$ e quello del corrispondente anello cilindrico è$1/cos theta$, dove $theta$ è l'$arccos (r/R)$.
Capito... approssimazione troppo rozza! Il metodo che conosco per calcolare il momento di inerzia sfrutta le simmetrie del problema e il fatto che gli assi principali di inerzia siano uguali, il che fornisce immediatamente il risultato, mi chiedevo però, in un modo più "classico", cioè sezionando in qualche modo il guscio e integrando, che tipo di approssimazione si potrebbe usare?
EDIT: Bè, ho trovato un modo, che mi suona anche di molto carino (non mi aspettavo che funzionasse!): partendo dal risultato del momento di inerzia di una sfera piena $2/5 m R^2$ ho considerato il guscio di raggio $R$ come dotato di spessore infinitesimo $dh$ con densità volumica $\rho$, e ho in pratica sottratto il momento di inerzia di una sfera piena di raggio $R$ e quello di un'analoga sfera di medesima densità di massa e di raggio $R- dh$. Trascurando i termini infinitesimi di ordine superiore al primo si ottiene il risultato giusto. Sarei comunque curioso di conoscere se c'é qualche altro metodo per fare questo calcolo..
EDIT: Bè, ho trovato un modo, che mi suona anche di molto carino (non mi aspettavo che funzionasse!): partendo dal risultato del momento di inerzia di una sfera piena $2/5 m R^2$ ho considerato il guscio di raggio $R$ come dotato di spessore infinitesimo $dh$ con densità volumica $\rho$, e ho in pratica sottratto il momento di inerzia di una sfera piena di raggio $R$ e quello di un'analoga sfera di medesima densità di massa e di raggio $R- dh$. Trascurando i termini infinitesimi di ordine superiore al primo si ottiene il risultato giusto. Sarei comunque curioso di conoscere se c'é qualche altro metodo per fare questo calcolo..
"Pdirac":
Sarei comunque curioso di conoscere se c'é qualche altro metodo per fare questo calcolo..
Beh...basta cambiare di poco il tuo tentativo eliminando l'errore. Ciò che devi considerare è la massa elementare $dm=sigma*2pir*Rd theta$ con $r=R*cos theta$. Quindi $dm=sigma*2piR^2 cos theta d theta$. Ovviamente $theta$ è l'angolo che R forma col piano equatoriale.
Tornando al tuo metoto, avresti potuto verificare che se ponevi $sigma=1$, integrando la massa dovevi ritrovarti la superficie della sfera. Se provi vedi che non ti torna.
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