Momento d'inerzia - Chi mi spiega questo procedimento?
http://i45.tinypic.com/2u3vznp.png
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Non mi è chiaro questo procedimento, e a cosa si riferiscono i simboli $I_T$, $I_V$, $m_V$ ...
Risposte
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Il problema in sé è semplice, ma non capisco nulla della soluzione... Cosa sarebbe poi $m_2$? Mi spiace, ma non so aiutarti.
Se ho ben capito il testo, che è poco chiaro, l'anello "pieno" è in realtà una corona circolare, di massa $m_a$ (che poi inspiegabilmente diventa $m_2$ nella soluzione !!!) di raggio interno $r$ e raggio esterno $ R= 6r$, calettata sul cilindro cavo di raggio $r$.
Premesso quanto sopra, consideriamo prima un disco realmente pieno di raggio $R$ : esso avrebbe una massa totale $m = m_v + m_a$ , dove $m_v$ dovrebbe essere la parte di massa contenuta nel raggio $r$, e $m_a$ la parte di massa corrispondente alla detta corona circolare (l'anello). Il pedice "$v$" potrebbe significare, nella testa malata di chi ha proposto il problema, : vuoto.
Il momento di inerzia totale di tale disco sarebbe :
$I_T = 1/2mR^2 = 1/2 (m_v + m_a)R^2$ ----------(1)
Perciò il momento di inerzia assiale della corona circolare data (i momenti di inerzia sono additivi) è :
$I_a = 1/2(m_v + m_a)R^2 - 1/2m_v*r^2 = 1/2m_v(R^2-r^2) + 1/2m_aR^2$-------(2)
ORa, considera che l'area di una corona circolare di raggi $r$ ed $R$ è data da : $ A_a = \pi*(R^2-r^2)$-------(3)
mentre l'area del disco di raggio $r$ è : $A_v = \pi*r^2$-------(4)
Se fai il rapporto tra (4) e (3), hai : $ A_v/A_a = r^2/(R^2-r^2)$ --------(5)
e questo rapporto è uguale al rapporto tra le rispettive masse, poiché il fattore densità si cancella. In altri termini si può scrivere :
$ m_v/m_a = r^2/(R^2-r^2)$ --------(6) , da cui ti ricavi :
$ m_v = r^2/(R^2-r^2)*m_a$ --------(7)
Sostituisci la (7) nella (2), e dopo qualche facile passaggio ottieni : $I_a = 1/2*m_a*(r^2 + R^2)$ -------(8)
che è la formula finale del momento di inerzia assiale della corona circolare di massa $m_a$, riportata dalla tua soluzione.
Sarebbe stato molto più facile calcolare direttamente tale momento mediante integrazione, te lo assicuro.
Considerazione : io non sono affatto d'accordo con certi professori e certi libri, che propongono esercizi e sbattono giù soluzioni senza un minimo di chiarezza e di spiegazione. Amano complicare le cose semplici, eppure non ci vorrebbe molto per far capire certi concetti agli studenti. Bah!!!
Ora però devi andare avanti nell'esercizio.
Premesso quanto sopra, consideriamo prima un disco realmente pieno di raggio $R$ : esso avrebbe una massa totale $m = m_v + m_a$ , dove $m_v$ dovrebbe essere la parte di massa contenuta nel raggio $r$, e $m_a$ la parte di massa corrispondente alla detta corona circolare (l'anello). Il pedice "$v$" potrebbe significare, nella testa malata di chi ha proposto il problema, : vuoto.
Il momento di inerzia totale di tale disco sarebbe :
$I_T = 1/2mR^2 = 1/2 (m_v + m_a)R^2$ ----------(1)
Perciò il momento di inerzia assiale della corona circolare data (i momenti di inerzia sono additivi) è :
$I_a = 1/2(m_v + m_a)R^2 - 1/2m_v*r^2 = 1/2m_v(R^2-r^2) + 1/2m_aR^2$-------(2)
ORa, considera che l'area di una corona circolare di raggi $r$ ed $R$ è data da : $ A_a = \pi*(R^2-r^2)$-------(3)
mentre l'area del disco di raggio $r$ è : $A_v = \pi*r^2$-------(4)
Se fai il rapporto tra (4) e (3), hai : $ A_v/A_a = r^2/(R^2-r^2)$ --------(5)
e questo rapporto è uguale al rapporto tra le rispettive masse, poiché il fattore densità si cancella. In altri termini si può scrivere :
$ m_v/m_a = r^2/(R^2-r^2)$ --------(6) , da cui ti ricavi :
$ m_v = r^2/(R^2-r^2)*m_a$ --------(7)
Sostituisci la (7) nella (2), e dopo qualche facile passaggio ottieni : $I_a = 1/2*m_a*(r^2 + R^2)$ -------(8)
che è la formula finale del momento di inerzia assiale della corona circolare di massa $m_a$, riportata dalla tua soluzione.
Sarebbe stato molto più facile calcolare direttamente tale momento mediante integrazione, te lo assicuro.
Considerazione : io non sono affatto d'accordo con certi professori e certi libri, che propongono esercizi e sbattono giù soluzioni senza un minimo di chiarezza e di spiegazione. Amano complicare le cose semplici, eppure non ci vorrebbe molto per far capire certi concetti agli studenti. Bah!!!
Ora però devi andare avanti nell'esercizio.
Un attimo. Ma nella (2), perché non è $R=7r$ ??? Non bisogna considerare il raggio totale del disco "se gli assegni tutta la massa"?
"navigatore":
Considerazione : io non sono affatto d'accordo con certi professori e certi libri, che propongono esercizi e sbattono giù soluzioni senza un minimo di chiarezza e di spiegazione. Amano complicare le cose semplici, eppure non ci vorrebbe molto per far capire certi concetti agli studenti. Bah!!!
D'accordo (con te) al 100%!
"kniv7s":
Un attimo. Ma nella (2), perché non è $R=7r$ ??? Non bisogna considerare il raggio totale del disco "se gli assegni tutta la massa"?
Perchè dovrebbe essere $R = 7r$ ? Il testo dice che il raggio esterno è $R = 6r$. Non confondere la forma geometrica di questo disco forato con la sua massa. Il problema assegna la massa $m_a$ della corona circolare, che quindi è uniformemente distribuita su un volume il quale è dato da un certo spessore, non noto ( ma non interessa) per l'area della corona stessa.
Riconsidera attentamente la (2).
Sono partito da questa ipotesi, che cerco di spiegare in modo più chiaro: prendiamo un disco pieno, di raggio $R = 6r$, che ha una certa massa $m$, e pratichiamo in questo disco un foro centrale, di raggio $r$. La massa che togliamo la chiamiamo $m_v$, la massa che rimane è $m_a$.
Il momento di inerzia assiale del disco, prima di praticare il foro, è: $I_T = 1/2mR^2 = 1/2(m_v + m_a)*R^2$
Il momento di inerzia assiale del pezzo che abbiamo tolto è: $I_v = 1/2m_v*r^2$
Per cui, il momento di inerzia assiale della massa $m_a$ che rimane è la differenza tra i due. E di qui ho proseguito.
È più chiaro ora? Insomma, il problemone del quesito a) del tuo esercizio è il calcolo del momento di inerzia assiale di una corona circolare: una formuletta che si trova in tutti i manuali e i libri di Fisica...
Grazie Faussone per la solidarietà.
Scusami, non è tanto il procedimento, quanto forse un mio modo sbagliato di visualizzare la cosa.
Io immagino così il corpo cilindro-disco.
Con il disco che ha un raggio esterno $R=6r$ (esterno nel senso che parte dove il cilindro termina). Quindi il disco fittizio formato anche dalla parte interna dovrebbe avere raggio $7r$.
E' sbagliato?
Quando parli di raggio esterno di una corona circolare, devi intendere proprio il raggio della circonferenza esterna, a partire dal centro, non " quello che sporge oltre il raggio interno".
Così viene fuori la formula del momento di inerzia che è riportata per ultima nella soluzione del tuo esercizio, quella in rosso. Come vedi, nella parentesi c'é $(6r)^2 + r^2$, e il primo non è altro che il raggio esterno $R = 6r$.
Comunque, hai tutta la mia comprensione: un testo contorto, quantità che vengono espresse con un simbolo nel testo e un altro nella soluzione, pedici di cui non si capisce il significato...E ti ripeto, bastava che fosse scritto: sul cilindro cavo è montata una corona circolare...
Così viene fuori la formula del momento di inerzia che è riportata per ultima nella soluzione del tuo esercizio, quella in rosso. Come vedi, nella parentesi c'é $(6r)^2 + r^2$, e il primo non è altro che il raggio esterno $R = 6r$.
Comunque, hai tutta la mia comprensione: un testo contorto, quantità che vengono espresse con un simbolo nel testo e un altro nella soluzione, pedici di cui non si capisce il significato...E ti ripeto, bastava che fosse scritto: sul cilindro cavo è montata una corona circolare...
Perfetto, tutto chiaro.
In effetti questo corso rappresenta abbastanza l'esasperazione della complicatezza sopra la semplicità. Non è un caso che sia tra gli esami con le più basse percentuali di superamento.
Grazie mille per i contributi!!
In effetti questo corso rappresenta abbastanza l'esasperazione della complicatezza sopra la semplicità. Non è un caso che sia tra gli esami con le più basse percentuali di superamento.
Grazie mille per i contributi!!
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