Momento d'inerzia anello di raggi r1 e r2

[Crisso1]

ho un anello (figura piana) con r1 raggio interno e r2 raggio esterno
io so che il suo momento d'inerzia vale $ I=1/2m(r1^2+r2^2) $
nel provare ad arrivare a questa conclusione tramite l'integrale $ I=int_()^() r^2dm $ ho riscontrato delle difficoltà
allora se consideriamo l'anello omogeneo la sua densità superficiale è $ sigma=(dm)/(ds) $
se sostituisco $ dm $ con $ sigmads $ ottengo $ I=int_()^() r^2sigmads=int_(r1)^(r2) r^2sigmapi(r1^2-r2^2)dr $
è chiaro che ho sbagliato qualcosa...il risutato torna se non sostituisco $ ds $ con $ (r1^2-r2^2) $ ...ma per passare da ds in dr moltiplico solo per $ pi $
è cosi che devo fare...???

[chiaraotta1]

Mi sembra che sbagli $dS$ .... $dS = 2 pi r dr$
Dovrebbe essere così:
$I = \int_(r1)^(r2)r^2 dm = \int_(r1)^(r2)r^2 sigma dS = \int_(r1)^(r2)r^2 sigma 2 pi r dr = 2 pi sigma int_(r1)^(r2)r^3 dr = 2 pi m/(pi(r_2^2 -r_1^2)) [1/4 r^4]_(r_1) ^(r_2) = 2 pi m/(pi(r_2^2 - r_1^2)) 1/4 (r_2^4 - r_1^4) = 2 pi m/(pi(r_2^2 - r_1^2)) 1/4 (r_2^2 - r_1^2) (r_2^2 + r_1^2) = 1/2 m (r_2^2 + r_1^2)$

[Crisso1]

si hai perfettamente ragione...mi sono accorto del grave errore cercando di risolvere con l'integrale il momento d'inerzia di un disco...
cmq grazie mille lo stesso per la risposta