Momento d'inerzia
Potreste illustrarmi i passaggi per trovare il momento d'inerzia di un cilindro di raggio r e altezza h rispetto a un asse passante per i centri delle basi?
Grazie
Grazie
Risposte
Ciao!
La formula generale del momento d'inerzia è int( r^2 dm) dove r è la distanza dell'elemento generico dm dall'asse. Il sistema standard sarebbe l'integrale di volume ( se vuoi ti faccio vedere, ma nell'esempio è inutile); invece prendiamo un elemento infinitesimo che ha per base una corona circolare spessa dr e altezza h. Il generico elemento infinitesimo dm allora ha dm = s * (2pi * h * r dr )
Se s è costante l'integrale diventa :
2pi*h*s* int(r^3 dr ), dove l'integrale è esteso tra 0 e R( raggio del cilindro). Cioè pi*h*s*(R^4)/2. Dato che poi pi*h*R^2*s = M, cioè la massa del cilindro, si ha 1/2 * M*R^2.
Ciao!
Marco
La formula generale del momento d'inerzia è int( r^2 dm) dove r è la distanza dell'elemento generico dm dall'asse. Il sistema standard sarebbe l'integrale di volume ( se vuoi ti faccio vedere, ma nell'esempio è inutile); invece prendiamo un elemento infinitesimo che ha per base una corona circolare spessa dr e altezza h. Il generico elemento infinitesimo dm allora ha dm = s * (2pi * h * r dr )
Se s è costante l'integrale diventa :
2pi*h*s* int(r^3 dr ), dove l'integrale è esteso tra 0 e R( raggio del cilindro). Cioè pi*h*s*(R^4)/2. Dato che poi pi*h*R^2*s = M, cioè la massa del cilindro, si ha 1/2 * M*R^2.
Ciao!
Marco
Scusami se sono un po' pedante, ma sono davvero nel buio completo...
Potresti farmi un esempio, anche di un'altra figura, in cui il momento d'inerzia si calcola attraverso l'integrale di volume?
Grazie
Potresti farmi un esempio, anche di un'altra figura, in cui il momento d'inerzia si calcola attraverso l'integrale di volume?
Grazie
in generale, sia z (o x od y) l'asse rispetto al quale vuoi determinare il valore del momento d'inerzia centrifugo, che è un momento statico del 2 ordine, stabilito un sistema cartesiano x y z, ed essendo nota la densità del corpo rho(x,y,z) si ha che Ic=int(rho(x,y,z)*r^2*dV) dove r=sqrt(x^2+y^2) e quindi R^2=x^2+y^2, allora Ic=int(rho(x,y,z)*(x^2+y^2)dV )
Postilla giutamente Asdf pone l'integrale come integrale in dm, ma si ha che rho(x,y,z)=dm/dV allora dm=rho(x,y,z)dV
Inoltre se l'asse rispetto a cui vuoi calcolare il momento centrifugo non è un asse passante per il baricentro devi usare il teorema del trasporto
pardon, momento polare
ho ancora le idee un po' confuse...
trovo difficoltà nel determinare dv
vediamo se riesco a spiegarmi
torniamo all'esempio del cilindro: dm/dv=rho
rho=M/v in quanto si suppone che la massa sia distribuita uniformemente
rho=M/pi*r^2*h
dm=rho dv
per determinare dv immagino di "stirare" il cilindro, ottenendo una sorta di rettangolo che ha volume infinitesimo (detto molto male, ma cercate di capirmi), rettangolo che ha come altezza h, base 2pir e come profondità dr, appunto infinitesimo
l'integrale viene r^2 rho 2pi*r^h dr integrato fra 0 e r
porto fuori rho e h e il tutto torna
ma quando ad esempio considero una sfera piena come faccio a determinare dv?
dm=rho dv
rho = M/(4/3 pi r^3)
ma non so determinare dv!!!
non capisco proprio come si arrivi a dire che il momento d'inerzia di una sfera piena è 2/5 Mr^2
spero che possiate essermi d'aiuto
Grazie
trovo difficoltà nel determinare dv
vediamo se riesco a spiegarmi
torniamo all'esempio del cilindro: dm/dv=rho
rho=M/v in quanto si suppone che la massa sia distribuita uniformemente
rho=M/pi*r^2*h
dm=rho dv
per determinare dv immagino di "stirare" il cilindro, ottenendo una sorta di rettangolo che ha volume infinitesimo (detto molto male, ma cercate di capirmi), rettangolo che ha come altezza h, base 2pir e come profondità dr, appunto infinitesimo
l'integrale viene r^2 rho 2pi*r^h dr integrato fra 0 e r
porto fuori rho e h e il tutto torna
ma quando ad esempio considero una sfera piena come faccio a determinare dv?
dm=rho dv
rho = M/(4/3 pi r^3)
ma non so determinare dv!!!
non capisco proprio come si arrivi a dire che il momento d'inerzia di una sfera piena è 2/5 Mr^2
spero che possiate essermi d'aiuto
Grazie
Scusa ma i tuoi ragionamendi sono un po strani...E' tutto molto semplice: 1) Determini un sistema di riferimento cartesiono o polare che in questo caso mi sembra più appropriato, scrivi la parametrizzazione del tuo cilindro e dV=||J||drdphidteta
E' analisi 2....
E' analisi 2....
Giovanni, hai ragione ma nella fattispecie lascia perdere il determinante della Jacobiana; in genere per Fisica 1 non si hanno ancora le basi per gli integrali di volume come vorresti proporre tu. Allora conviene scegliere gli elementi infinitesimi in modo "comodo" per semplificare un po' i conti.
Marco
Marco
Sono nel marasma più totale, non perché voi non vi sappiate spiegare, ma perché ho una gran testa dure (e l'argomento non è dei miei preferiti).
Potete provare a farmi vedere come si calcola il momento della sfera, chissà se a forza di esempi ne cavo le gambe...
Grazie per la pazienza
Potete provare a farmi vedere come si calcola il momento della sfera, chissà se a forza di esempi ne cavo le gambe...
Grazie per la pazienza
vorrei farvi anche un'altra domanda
se io ho una cornice quadrata, quindi fatta da 4 barrette omogenee, per calcolare il momento d'inerzia della cornice rispetto ad un punto, va bene se calcolo il momento di ogni barretta rispetto a quel punto e poi li sommo?
Grazie
se io ho una cornice quadrata, quindi fatta da 4 barrette omogenee, per calcolare il momento d'inerzia della cornice rispetto ad un punto, va bene se calcolo il momento di ogni barretta rispetto a quel punto e poi li sommo?
Grazie
Certo, il momento d'inerzia è additivo.
Marco
Marco
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