Momento d'inerzia

wackos1
Buongiorno a tutti...

io ho un esercizio in cui dovrei applicare la II equazione cardinale per la dinamica. Nel mio caso sarebbe $M_(Pdisco) = I_D ddot(theta) $. Il problema nasce sul calcolo di $I_D$

[geogebra][/geogebra]

La figura non è il massimo ma ho provato a fare del mio meglio... in ogni caso... il raggio della guida lo chiamo $R$ e il raggio del disco $r$, con $alpha$ variabile. Ora:
$I_D = 1/2mr^2+mr^2=3/2mr^2$ o sbaglio io qualcosa? il professore introduce anche $R$ e non capisco perchè...

ringrazio tutti in anticipo

Risposte
Sk_Anonymous
Devi chiarire dove e come il professore "introduce" anche $R$.

Come pretendi che uno ti risponda, se non scrivi dapprima tu la domanda in termini chiari ?

Se il momento di inerzia del disco va calcolato rispetto al punto di tangenza, è giusto quello che hai scritto tu.
Ma se, come sospetto, il momento di inerzia va calcolato rispetto al centro della guida, il termine di trasporto è $m(R+r)^2$.

wackos1
Scusa non ho messo quanto scritto dal prof perché mi interessava più avere una conferma di quanto ho scritto io perché se no significava che non avevo capito niente... Comunque ora ti spiego...

Il prof scrive la II equazione cardinale rispetto al polo D. La scrive però nel seguente modo $M_(Pdisco) = I_D ddot(theta) $ e fin qui nessun problema.. È quello che ho scritto anche io... Va ora a calcolare $ I_D $ e scrive $ I_D = -r (r+ R)M -1/2 r (r+R) m = -3/2 r (r+ R) m $ ora mi chiedo... Se doveva calcolare $I_D$ perché l'ha trasportato sino al centro della guida???

C'è qualcosa di sbagliato in quello che scrive... Forse non devo calcolare $I_D $ ma il momento di inerzia rispetto al centro della guida? In quel caso però cambia anche il momento della forza peso... Che lui ha scritto rispetto al punto D.

A me più che altro interessa capire rispetto a che punto devo scrivere la II eq cardinale.. Perché momenti d'inerzia e momenti li so calcolare :)

Grazie mille ancora :)

Sk_Anonymous
Sarebbe meglio se postassi il testo esatto dell'esercizio proposto. Francamente non mi sono chiare le formule che hai scritto. Allora forse col testo si può capire di più.

La 2° eq. della dinamica si scrive assumendo lo stesso polo, in genere fisso o coincidente col cdm, sia per i momenti delle forze esterne sia per il momento angolare, che varia appunto a causa dei momenti delle forze esterne.

wackos1
Non ho il testo... Ho solo l'esercizio svolto... Ma non posso postare foto... Quell'equazione la devo usare per il calcolo di $ ddot(theta) $ che in alcuni casi per errore ho scritto come $alpha$ Ma solo perché geometra gli ha dato quel nome...

Sk_Anonymous
Allora mi dispiace, non so che dirti. Quello scritto per me non ha senso. E poi, il momento di inerzia è una quantità positiva. Che c'entra quel segno negativo?
No, qui c'è qualcosa di poco chiaro.

wackos1
Non posso proprio postare una foto vero?? Mi basterebbe fare meglio il disegno a mano :(

Sk_Anonymous
Penso che per una volta sola non sia un grave peccato, anche se è contro il regolamento...cerca di fare un disegno fatto bene, però se non hai il testo non so quanto sia utile solo un disegno.

wackos1


Il problema è il seguente:

il disco si trova nella posizione iniziale (tratteggiata) e si muove lungo la guida come indicato in figura. I dati sono $theta (0) = 0 $ e $dot(theta) (0) < < 1$ e ho che al distacco del disco dalla guida la componente normale della reazione vincolare $ R_H$ si annulla. Devo calcolare $ ddot(theta) $ per calcolare poi altre cose.. per fare ciò il professore scrive:

II equazione cardinale rispetto al polo H:

$M_P = I_H ddot(theta)$
$-rmg sen theta = -3/2mr (r+R) ddot(theta) $
$ddot(theta) = (2g sen theta)/(3(r+R))$

è proprio in questo passaggio che credo ci sia qualcosa che non funzioni...

io lo scrivo in questo modo:
$M_P = I_H ddot(theta)$
$-rmg sen theta = -3/2mr^2 ddot(theta) $
$ddot(theta) = (2g sen theta)/(3r)$

indipendentemente da quello che devo calcolare... l'equazione scritta dal professore non è errata?

grazie mille ancora e scusatemi se sto facendo confusione :(

Faussone
"wackos":

[....]
indipendentemente da quello che devo calcolare... l'equazione scritta dal professore non è errata?


Direi di sì, sono d'accordo con quanto da te scritto.

Sk_Anonymous
Ecco, infatti, la conferma dal disegno, come mi aspettavo, e dal commento di Faussone.
Il momento della qdm e il momento della forza, che causa la variazione del primo, si devono calcolare rispetto allo stesso polo. Come ti dicevo, il polo si assume in genere fisso o coincidente col baricentro. In questo caso, il punto $H$ è "istantaneamente fisso" , essendo centro di istantanea rotazione per il disco che rotola senza strisciare sulla guida.

Se avessi voluto calcolare il momento della forza peso rispetto al centro della guida, avresti dovuto scrivere (a parte il segno "$-$ " , che si può anche omettere se si assumono positive le rotazioni orarie ) :

$M_P = mg(r+R)sen\theta$

ma a questo punto, il momento di inerzia rispetto al centro della guida sarebbe dato da :

$I = 1/2mr^2 + m(r+R)^2$

wackos1
In quel caso però cambia anche il valore di $ddot (theta)$ o sbaglio? come faccio a capire il polo corretto? :)

Sk_Anonymous
Giusta osservazione, quella relativa all'accelerazione angolare del disco che rotola sulla guida! Ma non è questione di polo.

Siamo proprio sicuri che l'accelerazione angolare del disco è uguale a $ddot\theta$ ?

Se con $\theta$ indichi l'angolo che il raggio vettore congiungente il centro della guida fissa col centro del disco forma con l'asse verticale, io dico di no…
E si spiega anche perché c'è di mezzo quella somma di raggi $(R + r)$.

Il fatto è che, per scrivere il momento angolare del disco rispetto al polo $H$ , punto di contatto tra disco e guida, devi stabilire bene quanto vale la velocità angolare istantanea del disco.
Se $dot\theta = (d\theta)/(dt)$ è la velocità angolare (variabile) con cui ruota il raggio vettore detto, la velocità angolare del disco è amplificata rispetto a tale valore, nel rapporto $(R+r)/r$ . Dovresti capire per quale motivo.
Tieni presente che il disco rotola senza strisciare sulla guida, quindi un arco $R\theta$ descritto sulla guida deve essere uguale al corrispondente arco descritto sulla circonferenza del disco.

Perciò, la velocità angolare (variabile) del disco vale : $\omega = (R+r)/r*\dot\theta$

E quindi l'accelerazione angolare del disco vale : $dot\omega = (R+r)/r*\ddot\theta$

Perciò, il momento angolare del disco rispetto al punto di contatto vale :

$L = I\omega = (mr^2 + 1/2mr^2)*(R+r)/r*\dot\theta$

E quindi ora puoi applicare il teorema del momento angolare : $ M_e = (dL)/(dt)$ , cioè :

$mgr sen\theta = 3/2*mr^2(R+r)/r*\ddot\theta ===> gsen\theta = 3/2(R+r)ddot\theta$

che mi pare proprio la formula del prof, se non abbiamo le traveggole! Ma il punto non era sul momento di inerzia, era sul calcolo dell'accelerazione angolare.

E in definitiva quello che interessa è l'accelerazione angolare del raggio vettore congiungente i due centri, cioè proprio $ddot\theta$ , perché immagino che dovrai calcolare in che punto il disco abbandona la guida.

wackos1
Ho capito il concetto ma non riesco a capire come ricavare quel rapporto $ (r+R)/r $
il discorso è vero non ci avevo pensato... per percorrere lo stesso spazio sulla guida la velocità angolare del disco rispetto a quella della congiungente dev'essere maggiore in quanto il raggio è inferiore..
però senza aver il rapporto gia "pronto" non sarei mai stato in grado di calcolarmelo :/

comunque si .. devo calcolare $ theta $ in cui il disco abbandona la guida

Sk_Anonymous
Te lo spiego.
Considera il raggio vettore che congiunge il centro della guida al centro del disco: tale raggio è lungo $(R+r)$.
LA velocità angolare (variabile) del raggio vettore è : $dot\theta = (d\theta)/(dt)$
Perciò la velocità tangenziale del centro del disco, rispetto al centro della guida, è : $v = (R + r)dot\theta$.

Il disco deve rotolare senza strisciare sulla guida. Quindi il punto di contatto $H$ deve essere "centro di istantanea rotazione", non ci deve essere velocità relativa tra disco e guida in questo punto (la stessa cosa succede per un disco che rotola su un piano).
Allora la velocità angolare "propria" del disco deve essere uguale a: $\omega = v/r = (R+r)/rdot\theta$ .

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Un giochetto simpatico, che lascia di stucco molte persone : prendi due monete da 1 euro, mettile sul tavolo a contatto una con l'altra. Segna con un pennarello il punto di contatto su entrambe.
Poi tieni ferma una delle due bloccandola sul tavolo con un dito, e fa' rotolare l'altra attorno a quella ferma: la moneta, per fare un giro completo e tornare al punto di contatto iniziale, ruota due volte su se stessa.

Infatti : $(R + R)/R = 2 $ . Il punto di tangenza percorre $2\piR$ sulla moneta fissa, e si sposta di $2*2\piR$ sulla mobile nello stesso tempo, perché la velocità angolare della mobile è doppia rispetto alla velocità angolare del raggio vettore.

Faussone
@wackos
Non avevo notato che avevi usato $theta$ per scrivere il momento angolare, mi scuso per la distrazione, avevo risposto sulla questione del momento di inerzia come da te indicato e mi era sfuggito quel dettaglio importante. navigatore ha chiarito benissimo.

A quello che ti ha detto navigatore aggiungo quale secondo me è il modo più semplice per risolvere il problema.

Si può osservare che l'energia meccanica si conserva (perché non ci sono forze che compiono lavoro, oltre la gravità), quindi per calcolare la velocità di rotazione del disco in funzione di $theta$ si può scrivere che la variazione di energia cinetica del disco deve eguagliare la variazione di energia potenziale.

L'equazione non la scrivo, ma è semplice: per scrivere l'energia cinetica del disco basta osservare che esso ruota a velocità $omega$ attorno al punto di contatto con la guida ($omega$ è la velocità angolare di rotazione del disco), oppure in maniera equivalente si può applicare il teorema di Konig per cui l'energia cinetica del disco rotante è pari a quella del suo centro di massa più quella osservata dal centro di massa.

Nota la $omega$ in funzione di $theta$ la condizione di distacco si ha quando la forza centripeta che deve agire sul disco per far seguire al suo centro la traiettoria circolare, è pari esattamente alla componente radiale alla guida della forza peso, questo in un'ottica di sistema di riferimento assoluto; in un'ottica relativa cioè in un riferimento che vedesse il centro del disco fermo si può esprimere lo stesso concetto dicendo che la forza centrifuga agente sul disco eguaglia la componente radiale della forza peso.

Quindi $m (omega r)^2/(r+R) =m g cos theta$

c'è da osservare che la velocità del centro del disco è, per quanto detto prima, $omega r$ mentre il raggio della traiettoria circolare percorsa dal centro del disco è $R+r$. Osservando questo non è neanche necessario scrivere la corrispondenza tra $ theta$ e $omega$, anche se è bene certo ragionarci su per avere un quadro d'insieme completo.

Sk_Anonymous
Ottima soluzione, Faussone, col principio di conservazione dell'energia.

Con questo principio (lo ricordiamo a wackos) spesso si arriva più facilmente laddove non si riesce con le equazioni del moto.

Ti dirò che alla prima lettura del primo messaggio anch'io non avevo fatto caso che il riferimento all'accelerazione angolare del raggio vettore $ddot\theta$ non andava bene, per scrivere il teorema del momento angolare; è stato wackos a farmici pensare con la sua osservazione.

Tutto è bene quel che finisce bene !

wackos1
Scusate il ritardo... ho dovuto ripassare alcune cose prima di procedere bene perchè non mi erano molto chiare.. ora provo a rifare l'esercizio..

grazie comunque a entrambi! siete stati gentilissimi e chiedo ancora scusa per l'immagine che ho dovuto postare.. se non altro son stato contento che è servita a chiarire il problema :)

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