Momento d'Inerzia
Salve,
provando a risolvere un esercizio mi è sorto un dubbio riguardo il momento d'inerzia.
Il sistema in questione è un sistema asta+corpo, ovvero un'asta di lunghezza L=4m e massa M=6kg, vincolata ad una cerniera in un estremo e con un corpo puntiforme di massa m=3kg fissato sull'altro estremo. Per intenderci, questo:
------------------------------------------------------O
Provando a calcolare il momento d'inerzia di questo sistema, ho prima trovato il centro di massa:
$r_{cm} = \frac{Ml/2+ml}{M+m} = \frac{2}{3}l$ , $(M=2m)$
A questo punto ho ragionato come se il sistema asta+corpo fosse un'asta di lunghezza $2*\frac{2}{3}l=\frac{4}{3}l$ e massa $M+m=3m$ e, sapendo che il momento d'inerzia di un asta rispetto ad un asse ortogonale e passante per il centro è $I_c=1/12 mL^2$, ho applicato il teorema degli assi paralleli:
$I=I_c+ma^2 => I=1/12 3m(4/3 L)^2+3m(2/3 L)^2=4/9 mL^2+4/3 mL^2=16/9mL^2 = 85.3$
Guardando nelle soluzioni, invece, il conto che fa il mio professore è:
$I=\frac{ML^2}{3}+mL^2 = \frac{5mL^2}{3} = 80$
Non riesco a capire né che procedimento abbia usato, né dove abbia sbagliato io.
Grazie.
provando a risolvere un esercizio mi è sorto un dubbio riguardo il momento d'inerzia.
Il sistema in questione è un sistema asta+corpo, ovvero un'asta di lunghezza L=4m e massa M=6kg, vincolata ad una cerniera in un estremo e con un corpo puntiforme di massa m=3kg fissato sull'altro estremo. Per intenderci, questo:
------------------------------------------------------O
Provando a calcolare il momento d'inerzia di questo sistema, ho prima trovato il centro di massa:
$r_{cm} = \frac{Ml/2+ml}{M+m} = \frac{2}{3}l$ , $(M=2m)$
A questo punto ho ragionato come se il sistema asta+corpo fosse un'asta di lunghezza $2*\frac{2}{3}l=\frac{4}{3}l$ e massa $M+m=3m$ e, sapendo che il momento d'inerzia di un asta rispetto ad un asse ortogonale e passante per il centro è $I_c=1/12 mL^2$, ho applicato il teorema degli assi paralleli:
$I=I_c+ma^2 => I=1/12 3m(4/3 L)^2+3m(2/3 L)^2=4/9 mL^2+4/3 mL^2=16/9mL^2 = 85.3$
Guardando nelle soluzioni, invece, il conto che fa il mio professore è:
$I=\frac{ML^2}{3}+mL^2 = \frac{5mL^2}{3} = 80$
Non riesco a capire né che procedimento abbia usato, né dove abbia sbagliato io.
Grazie.
Risposte
Innanzitutto, non ha senso dire : "Calcolo il momento di inerzia di un sistema". Devi precisare rispetto a quale asse o a quale punto vuoi calcolare il momento di inerzia.
Se guardi quello che ha scritto il prof, noti che il primo termine $ML^2/3$ è il momento di inerzia dell'asta rispetto ad un asse perpendicolare all'asta passante per un estremo, che io immagino essere l'estremo sinistro, dove dovrebbe essere la cerniera, giusto? E me lo fa supporre il secondo termine $mL^2$ , che è il momento di inerzia della massa puntiforme $m$ rispetto allo stesso asse.
Non occorre passare per il baricentro, anche se ovviamente si può fare, ma ti complichi la vita.
Se guardi quello che ha scritto il prof, noti che il primo termine $ML^2/3$ è il momento di inerzia dell'asta rispetto ad un asse perpendicolare all'asta passante per un estremo, che io immagino essere l'estremo sinistro, dove dovrebbe essere la cerniera, giusto? E me lo fa supporre il secondo termine $mL^2$ , che è il momento di inerzia della massa puntiforme $m$ rispetto allo stesso asse.
Non occorre passare per il baricentro, anche se ovviamente si può fare, ma ti complichi la vita.
Intanto grazie per la risposta così veloce.
Ho dato per scontato che l'asse passasse per la cerniera e non l'ho specificato.
Per quanto riguarda la soluzione del prof, avevo capito che quel $ML^2 /3$ si riferiva al momento rispetto all'asse passante per un estremo, ma non mi era chiaro perchè $mL^2$ è il momento d'inerzia del punto rispetto allo stesso asse. Inoltre, un altro dubbio è che: se ho un sistema di due corpi che ruotano intorno allo stesso asse, il momento d'inerzia totale è la somma dei momenti dei due corpi?
Se il mio procedimento è giusto, poi, perchè i risultati vengono diversi?
Ho dato per scontato che l'asse passasse per la cerniera e non l'ho specificato.
Per quanto riguarda la soluzione del prof, avevo capito che quel $ML^2 /3$ si riferiva al momento rispetto all'asse passante per un estremo, ma non mi era chiaro perchè $mL^2$ è il momento d'inerzia del punto rispetto allo stesso asse. Inoltre, un altro dubbio è che: se ho un sistema di due corpi che ruotano intorno allo stesso asse, il momento d'inerzia totale è la somma dei momenti dei due corpi?
Se il mio procedimento è giusto, poi, perchè i risultati vengono diversi?
Il fatto è che il tuo procedimento non è giusto. Non devi immaginare che il sistema dato "asta + massa concentrata" sia equivalente ad una unica asta di massa $M + m$ "spalmata" su tutta la lunghezza di un'asta immaginaria lunga $4/3l $ !!!
Il momento di inerzia di un sistema rispetto a un asse dipende strettamente da "come" le masse del sistema sono posizionate nel sistema stesso. Se cambi la disposizione delle masse, pur lasciando invariata la massa totale, viene fuori un momento di inerzia diverso da quello effettivo.
Il momento di inerzia è additivo, certo, e il termine $mL^2$ è il m.i. della massa puntiforme posta a destra rispetto all'asse posto a Sn a distanza $L$. Essendo puntiforme, non ha un momento di inerzia proprio.
Se avessi voluto procedere (con enorme e inutile moltiplicazione di calcoli) attraverso il calcolo del m.i. del sistema prima rispetto all'asse baricentrico parallelo, avresti dovuto:
-trovare il baricentro
-trovare il momento d' inerzia risp. all'asse baricentrico sia della massa puntiforme che dell'asta: per questo, dovevi tener conto anche del momento di inerzia proprio dell'asta (teor. degli assi paralleli applicato all'asta, dal "suo" cdm al cdm del sistema)
-applicare infine il teorema degli assi paralleli, passando dal m.i. baricentrico del sistema a m.i. rispetto all'estremo sinistro
un lavoraccio lungo e inutile : meglio considerare i singoli pezzi, due nel tuo caso, e per ciascuno di essi calcolare direttamente il m.i. rispetto all'estremo sinistro, ti sembra? È quello che ha fatto il prof, ed è quello che fa sbagliare di meno.
Il momento di inerzia di un sistema rispetto a un asse dipende strettamente da "come" le masse del sistema sono posizionate nel sistema stesso. Se cambi la disposizione delle masse, pur lasciando invariata la massa totale, viene fuori un momento di inerzia diverso da quello effettivo.
Il momento di inerzia è additivo, certo, e il termine $mL^2$ è il m.i. della massa puntiforme posta a destra rispetto all'asse posto a Sn a distanza $L$. Essendo puntiforme, non ha un momento di inerzia proprio.
Se avessi voluto procedere (con enorme e inutile moltiplicazione di calcoli) attraverso il calcolo del m.i. del sistema prima rispetto all'asse baricentrico parallelo, avresti dovuto:
-trovare il baricentro
-trovare il momento d' inerzia risp. all'asse baricentrico sia della massa puntiforme che dell'asta: per questo, dovevi tener conto anche del momento di inerzia proprio dell'asta (teor. degli assi paralleli applicato all'asta, dal "suo" cdm al cdm del sistema)
-applicare infine il teorema degli assi paralleli, passando dal m.i. baricentrico del sistema a m.i. rispetto all'estremo sinistro
un lavoraccio lungo e inutile : meglio considerare i singoli pezzi, due nel tuo caso, e per ciascuno di essi calcolare direttamente il m.i. rispetto all'estremo sinistro, ti sembra? È quello che ha fatto il prof, ed è quello che fa sbagliare di meno.
Quindi il mio ragionamento era sbagliato dall'inizio.
Per quanto riguarda $mL^2$ è il momento d'inerzia di un corpo puntiforme per definizione o c'è un calcolo dietro?
Mi spiego meglio: il momento d'inerzia di un asse rispetto ad un asse perpendicolare passante per il centro è $1/12 mL^2$ perchè, posto $dm=\rho dx$:
$\int_{-L/2}^{L/2} x^2\rho dx = \rho(L^3 /24 + L^3 /24) = L^2 /12 \rho L = 1/12 mL^2$
per un corpo puntiforme si può fare lo stesso ragionamento, oppure lavoriamo nel discreto e non nel continuo? se lavoriamo nel discreto, il momento d'inerzia sarà sempre $mL^2$ per qualsiasi corpo?
Grazie mille per l'aiuto.
Per quanto riguarda $mL^2$ è il momento d'inerzia di un corpo puntiforme per definizione o c'è un calcolo dietro?
Mi spiego meglio: il momento d'inerzia di un asse rispetto ad un asse perpendicolare passante per il centro è $1/12 mL^2$ perchè, posto $dm=\rho dx$:
$\int_{-L/2}^{L/2} x^2\rho dx = \rho(L^3 /24 + L^3 /24) = L^2 /12 \rho L = 1/12 mL^2$
per un corpo puntiforme si può fare lo stesso ragionamento, oppure lavoriamo nel discreto e non nel continuo? se lavoriamo nel discreto, il momento d'inerzia sarà sempre $mL^2$ per qualsiasi corpo?
Grazie mille per l'aiuto.
La massa m è puntiforme.
Grazie di tutto, ora è più chiaro.
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