Momento di inerzia rispetto ad un punto
Salve, dovrei calcolare il momento di inerzia rispetto al punto A di questo sistema:
La lamina è omogenea, di massa $ 2m $, e di lati $a$ e $b$. L'asta AB ha lunghezza pari a $ l $, mentre ha una densità che varia con la legge $ mu(P)=(abs(AP)m)/l^2 $ .
Allora, per prima cosa mi sono calcolato la massa dell'asta AB, che corrisponde a $ m_(AB)= int_Lmu(P)ds=int_0^l(m)/l^2sds=m/2 $ . Successivamente mi sono calcolato la distanza da A con il baricentro dell'asta AB: $ G_(AB)=(int_Lmu(P)sds)/(int_Lmu(P)ds)=(int_0^l(m)/l^2s^2ds)/(int_0^l(m)/l^2sds)=2/3l $.
Il primo punto del problema mi chiedeva di calcolare i momenti di inerzia della lamina e dell'asta rispetto alla guida orizzontale $ r $. Nessun problema: per il teorema di Huygens-Steiner, il momento di inerzia della lamina è uguale a $ I_L^r=1/12*2ma^2+2md^2(G_L,r)=(ma^2)/6+2ma^2/4=2/3ma^2 $; mentre il momento di inerzia dell'asta AB l'ho calcolato tramite la definizione, ovvero $ I_(AB)^r=int_0^lm/l^2s*s^2sen^2theta=m/l^2*l^4/4*sen^2theta=(ml^2)/4*1/2=(ml^2)/8 $ , considerando l'angolo $theta$ che forma l'asta con la guida orizzontale $theta=pi/4$.
Come mi devo comportare invece per calcolare i momenti di inerzia rispetto al punto A? Che formule o integrali dovrei utilizzare? Ho il vuoto più totale.
La lamina è omogenea, di massa $ 2m $, e di lati $a$ e $b$. L'asta AB ha lunghezza pari a $ l $, mentre ha una densità che varia con la legge $ mu(P)=(abs(AP)m)/l^2 $ .
Allora, per prima cosa mi sono calcolato la massa dell'asta AB, che corrisponde a $ m_(AB)= int_Lmu(P)ds=int_0^l(m)/l^2sds=m/2 $ . Successivamente mi sono calcolato la distanza da A con il baricentro dell'asta AB: $ G_(AB)=(int_Lmu(P)sds)/(int_Lmu(P)ds)=(int_0^l(m)/l^2s^2ds)/(int_0^l(m)/l^2sds)=2/3l $.
Il primo punto del problema mi chiedeva di calcolare i momenti di inerzia della lamina e dell'asta rispetto alla guida orizzontale $ r $. Nessun problema: per il teorema di Huygens-Steiner, il momento di inerzia della lamina è uguale a $ I_L^r=1/12*2ma^2+2md^2(G_L,r)=(ma^2)/6+2ma^2/4=2/3ma^2 $; mentre il momento di inerzia dell'asta AB l'ho calcolato tramite la definizione, ovvero $ I_(AB)^r=int_0^lm/l^2s*s^2sen^2theta=m/l^2*l^4/4*sen^2theta=(ml^2)/4*1/2=(ml^2)/8 $ , considerando l'angolo $theta$ che forma l'asta con la guida orizzontale $theta=pi/4$.
Come mi devo comportare invece per calcolare i momenti di inerzia rispetto al punto A? Che formule o integrali dovrei utilizzare? Ho il vuoto più totale.
Risposte
La lamina è un sistema piano di massa distribuita. Se in A aggiungi un asse $y$ perpendicolare all'asse $x=r$ , il momento di inerzia polare della lamina rispetto ad A è uguale alla somma : $I_A = I_x+I_y$ .
l primo lo hai già calcolato (ma non ho verificato il calcolo, scusa) , devi calcolare $I_y$ , e sommare . Il momento di inerzia $I_A$ è un momento principale di inerzia relativo ad $A$ , essendo uguale al m.i. rispetto all'asse $z$ perpendicolare al piano in A.
Per quanto riguarda l'asta, puoi fare alla stessa maniera: calcolare $I_y$ e a sommarlo a $I_r = I_x$.
Oppure puoi usare una coordinata radiale sull'asta , a partire da $A$ : è in sostanza la stessa cosa .
l primo lo hai già calcolato (ma non ho verificato il calcolo, scusa) , devi calcolare $I_y$ , e sommare . Il momento di inerzia $I_A$ è un momento principale di inerzia relativo ad $A$ , essendo uguale al m.i. rispetto all'asse $z$ perpendicolare al piano in A.
Per quanto riguarda l'asta, puoi fare alla stessa maniera: calcolare $I_y$ e a sommarlo a $I_r = I_x$.
Oppure puoi usare una coordinata radiale sull'asta , a partire da $A$ : è in sostanza la stessa cosa .
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