Momento di inerzia pendolo forato
Buonasera, sto trovando difficoltà a calcolare il momento di inerzia di un pendolo forato con le seguenti caratteristiche:
"un pendolo forato è costituito da un disco di raggio $R$ a cui è stato praticato un foro di raggio $R/3$. L'oggetto, di massa $M$, è appeso per il punto P ed è libero di ruotare in un piano verticale".
Se vi può essere di aiuto, ho già calcolato il centro di massa vedendo la parte forata come una massa "da sottrarre", con questo procedimento: $(MR - (M/9)(R/3))/(M-M/9))$ (si verifica facilmente, supponendo il pendolo omogeneo, che la massa del foro sia un nono di quella totale). Il centro di massa è quindi $-(13/12)R$ sotto il punto P. Il momento inerziale dovrebbe invece venire di $(5/3)MR^2$, qualcuno ha qualche idea? Vi allego un'immagine con il disegno del pendolo
http://i59.tinypic.com/eqt2dj.jpg
"un pendolo forato è costituito da un disco di raggio $R$ a cui è stato praticato un foro di raggio $R/3$. L'oggetto, di massa $M$, è appeso per il punto P ed è libero di ruotare in un piano verticale".
Se vi può essere di aiuto, ho già calcolato il centro di massa vedendo la parte forata come una massa "da sottrarre", con questo procedimento: $(MR - (M/9)(R/3))/(M-M/9))$ (si verifica facilmente, supponendo il pendolo omogeneo, che la massa del foro sia un nono di quella totale). Il centro di massa è quindi $-(13/12)R$ sotto il punto P. Il momento inerziale dovrebbe invece venire di $(5/3)MR^2$, qualcuno ha qualche idea? Vi allego un'immagine con il disegno del pendolo
http://i59.tinypic.com/eqt2dj.jpg
Risposte
Per il calcolo del momento di inerzia del disco forato rispetto a P, puoi fare come hai fatto per trovarti il CM : considerare la massa del foro come una massa negativa.
Il momento di inerzia è additivo, perciò una volta trovato quello del disco pieno ci togli quello della massa negativa (=foro), entrambi si intende rispetto a P . E hai trovato quello che cerchi.
Devi soltanto fare un po' di attenzione nel computo delle masse . LA massa dell'oggetto, cioè del disco già forato, è $M$ . Se chiami $m$ la massa che avrebbe il pezzo corrispondente al foro se fosse lasciato in posto, avresti che il disco pieno ha massa :$M' = M+m$ . Ovviamente la massa $m$ , il cui raggio è $r=1/3R$ , vale $ m = 1/9M' $ .
Perciò :
$M' = M + m = M +1/9M' \rightarrow 8/9M' = M \rightarrow M' = 9/8M \rightarrow m = 1/9*9/8M = 1/8M$ .
Devi ora trovare i momenti di inerzia , rispetto a $P$ , del disco di massa $M'$ e di massa $m$ , e sottrarre il secondo dal primo.
Il risultato finale mi torna esattamente.
Il momento di inerzia è additivo, perciò una volta trovato quello del disco pieno ci togli quello della massa negativa (=foro), entrambi si intende rispetto a P . E hai trovato quello che cerchi.
Devi soltanto fare un po' di attenzione nel computo delle masse . LA massa dell'oggetto, cioè del disco già forato, è $M$ . Se chiami $m$ la massa che avrebbe il pezzo corrispondente al foro se fosse lasciato in posto, avresti che il disco pieno ha massa :$M' = M+m$ . Ovviamente la massa $m$ , il cui raggio è $r=1/3R$ , vale $ m = 1/9M' $ .
Perciò :
$M' = M + m = M +1/9M' \rightarrow 8/9M' = M \rightarrow M' = 9/8M \rightarrow m = 1/9*9/8M = 1/8M$ .
Devi ora trovare i momenti di inerzia , rispetto a $P$ , del disco di massa $M'$ e di massa $m$ , e sottrarre il secondo dal primo.
Il risultato finale mi torna esattamente.
Ci ho provato, ma non arrivo a quel risultato esatto: mi trovo $1/2MR^2 +MR^2 -M/8R^2/9 -M/16R^2/9$ calcolati come dischi a cui ho aggiunto il contributo di Huygens-Steiner...
Riprova, hai sbagliato qualcosa nei calcoli. Tieni presente, senza scervellarti molto con Huygens e il suo compare Steiner, che il mom. di in. di un disco di massa qualunque $m_0$ e raggio $r$ , rispetto a un punto della circonferenza, è uguale a $3/2m_0r^2$ . Non c'è bisogno di passare dal baricentro...
Il risultato è giusto. Se non ci riesci , ti metto i passaggi.
Il risultato è giusto. Se non ci riesci , ti metto i passaggi.
Adesso ottengo $3/2MR^2 -MR^2/48$... Non è possibile, dove sbaglio? Illuminami
Abbiamo detto che il disco pieno avrebbe massa : $M' = M + m $ , e che conosciamo $M$ , la massa del disco forato, ok ?
Poi, abbiamo capito che : $M' = 9/8M$ , e che : $m = 1/8M$ . Ci sei ?
Calcoliamo il m.i. del disco pieno rispetto a $P$ :
$I_1 = 3/2M'R^2 = 3/2*9/8MR^2 = (27)/(16) MR^2$
Calcoliamo il m.i. del disco "vuoto" rispetto a $P$ :
$I_2 = 3/2mr^2 = 3/2*1/8MR^2/9 = 1/(48)MR^2$
come vedi ho espresso i due m.i. in funzione della massa nota $M$ .
Sottraggo : $I_1 - I_2 = ((27)/(16) - 1/(48) ) MR^2 = (81-1)/(48)MR^2 = (80)/(48)MR^2 = 5/3 MR^2$ .
Poi, abbiamo capito che : $M' = 9/8M$ , e che : $m = 1/8M$ . Ci sei ?
Calcoliamo il m.i. del disco pieno rispetto a $P$ :
$I_1 = 3/2M'R^2 = 3/2*9/8MR^2 = (27)/(16) MR^2$
Calcoliamo il m.i. del disco "vuoto" rispetto a $P$ :
$I_2 = 3/2mr^2 = 3/2*1/8MR^2/9 = 1/(48)MR^2$
come vedi ho espresso i due m.i. in funzione della massa nota $M$ .
Sottraggo : $I_1 - I_2 = ((27)/(16) - 1/(48) ) MR^2 = (81-1)/(48)MR^2 = (80)/(48)MR^2 = 5/3 MR^2$ .
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