Momento di Inerzia CONO
Si calcoli il momento di inerzia di un cono di altezza $h$ e raggio della base $R=h$ rispetto all’asse di simmetria di rotazione.
Vedo il cono come una sommatoria di circonferenze infinitamente piccole che partono dall'origine (quindi il vertice) fino a raggiungere la base del cono dove hanno raggio e altezza $r$
Il momento di inerzia è
$\intR^2dm$
densità superficiale $\rho_s=(dm)/(dS)$
la massa infinitesima è: $dm=\rho_s2piR^2dR$
mentre la densità superficiale da sostituire nell'equazione della massa infinitesima è:
$\rho_s=m/(1/3pir^2*h)$ ma visto che il raggio coincide con l'altezza avremo che $\rho_s=(3m)/(pir^3)$
Nell'integrale quindi avremo che $\intR^2dm$
$\int_0^R(R^2mpiR^2)/(3piR^3)$
da cui il momento di inerzia che è uguale a $3/2mR^2$
è corretto oppure ho sbagliato qualche passaggio?
Vedo il cono come una sommatoria di circonferenze infinitamente piccole che partono dall'origine (quindi il vertice) fino a raggiungere la base del cono dove hanno raggio e altezza $r$
Il momento di inerzia è
$\intR^2dm$
densità superficiale $\rho_s=(dm)/(dS)$
la massa infinitesima è: $dm=\rho_s2piR^2dR$
mentre la densità superficiale da sostituire nell'equazione della massa infinitesima è:
$\rho_s=m/(1/3pir^2*h)$ ma visto che il raggio coincide con l'altezza avremo che $\rho_s=(3m)/(pir^3)$
Nell'integrale quindi avremo che $\intR^2dm$
$\int_0^R(R^2mpiR^2)/(3piR^3)$
da cui il momento di inerzia che è uguale a $3/2mR^2$
è corretto oppure ho sbagliato qualche passaggio?
Risposte
E' un cono pieno o cavo?
non ci dice nulla del cono, la traccia è quella li...
Hai fatto gli integrali doppi? Se è un cono cavo bisogna usare gli integrali doppi, altrimenti se è un cono pieno si risolve anche senza.
Nel caso di cono pieno si considerano dei dischi di raggio $r=z$ e spessore $dz$ che hanno volume $dV=piz^2dz$, il momento di inerzia di tali dischetti è $dI=1/2dmz^2=1/2rhodVz^2=1/2rhopiz^4dz$, e quindi si integra tra $z=0$ e $z=R$
Nel caso di cono pieno si considerano dei dischi di raggio $r=z$ e spessore $dz$ che hanno volume $dV=piz^2dz$, il momento di inerzia di tali dischetti è $dI=1/2dmz^2=1/2rhodVz^2=1/2rhopiz^4dz$, e quindi si integra tra $z=0$ e $z=R$
"Vulplasir":
Hai fatto gli integrali doppi? Se è un cono cavo bisogna usare gli integrali doppi, altrimenti se è un cono pieno si risolve anche senza.
Nel caso di cono pieno si considerano dei dischi di raggio $r=z$ e spessore $dz$ che hanno volume $dV=piz^2dz$, il momento di inerzia di tali dischetti è $dI=1/2dmz^2=1/2rhodVz^2=1/2rhopiz^4dz$, e quindi si integra tra $z=0$ e $z=R$
e la densità superficiale che hai richiamato tu nella penultima equazione (prima di integrare) è uguale a quella che ho trovato io?
No, non è una densità superficiale, è una densità volumica perché il cono è pieno
"Vulplasir":
No, non è una densità superficiale, è una densità volumica perché il cono è pieno
$\rho_s=(3m)/(pir^3)$ questa è la densità superficiale... e per la densità volumica potresti darmi una mano..?
La densità volumica è il rapporto tra la massa e il volume del cono
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