Momento di inerzia asta non omogenea
Ciao a tutti, volevo sottoporvi il seguente esercizio di meccanica razionale che mi sta creando non pochi problemi.
"Determinare il momento d’inerzia rispetto ad una retta perpendicolare all’asta $ AB $ passante per il baricentro, se $ AB $ ha lunghezza $ L $ e densità in un suo generico punto $ P $, data da:
$ ρ(P) = (3m)/L^3 |MP|^2 $ con $ M $ punto medio dell’asta."
Dovrebbe venire $ I = (3mL^2)/160 $
Io ho pensato di procedere in questo modo:
Ho dapprima calcolato la massa dell'asta tramite l'integrale da $ -L/2 $ a $ L/2 $ della densità $ ρ(P) $, poi sono passato al calcolo della posizione $ x_G $ del centro di massa applicando la sua definizione e mi viene che essa coincide con un estremo dell'asta.
Infine ho calcolato il momento di inerzia integrando ancora da $ -L/2 $ a $ L/2 $ la densità $ ρ(P) $ moltiplicata per il quadrato della distanza $ r $ tra il generico punto $ P $ ed il centro di massa $ G $, che ho posto pari a $ r = x + L/2 $, ma il risultato non torna.
Non riesco a capire se sia un errore di impostazione del problema o di calcolo. Vi ringrazio già da ora per ogni possibile aiuto!
"Determinare il momento d’inerzia rispetto ad una retta perpendicolare all’asta $ AB $ passante per il baricentro, se $ AB $ ha lunghezza $ L $ e densità in un suo generico punto $ P $, data da:
$ ρ(P) = (3m)/L^3 |MP|^2 $ con $ M $ punto medio dell’asta."
Dovrebbe venire $ I = (3mL^2)/160 $
Io ho pensato di procedere in questo modo:
Ho dapprima calcolato la massa dell'asta tramite l'integrale da $ -L/2 $ a $ L/2 $ della densità $ ρ(P) $, poi sono passato al calcolo della posizione $ x_G $ del centro di massa applicando la sua definizione e mi viene che essa coincide con un estremo dell'asta.
Infine ho calcolato il momento di inerzia integrando ancora da $ -L/2 $ a $ L/2 $ la densità $ ρ(P) $ moltiplicata per il quadrato della distanza $ r $ tra il generico punto $ P $ ed il centro di massa $ G $, che ho posto pari a $ r = x + L/2 $, ma il risultato non torna.
Non riesco a capire se sia un errore di impostazione del problema o di calcolo. Vi ringrazio già da ora per ogni possibile aiuto!
Risposte
Come fa il centro di massa a trovarsi nell'estremo dell'asta?
"Vulplasir":
Come fa il centro di massa a trovarsi nell'estremo dell'asta?
Mi si annulla l'integrale che ti allego nell'immagine.
Ma se la densità dipende solo dalla distanza dal punto medio, il baricentro è il punto medio, no? Questo prima di fare qualsiasi integrale.
E anche facendo l'integrale, bisogna sapere cosa si sta integrando e cosa rappresentano gli estremi di integrazione...il risultato ottenuto è giusto...$x_G=0$, quindi?
Quindi $ x_G $ rappresenta la distanza del centro di massa dal punto medio, non dall'estremo dell'asta in quanto la sua densità dipende proprio da $ |MP| $, corretto? Grazie mille ad entrambi intanto.
Il resto del ragionamento ha senso? Noto che il centro di massa coincide con il punto medio, se pongo $ r = x $ e lo sostituisco nell'integrale per calcolare $ I_G $ sbaglio?
Il resto del ragionamento ha senso? Noto che il centro di massa coincide con il punto medio, se pongo $ r = x $ e lo sostituisco nell'integrale per calcolare $ I_G $ sbaglio?
Quindi xG rappresenta la distanza del centro di massa dal punto medio, non dall'estremo dell'asta in quanto la sua densità dipende proprio da |MP|, corretto?
No, $x_G$ rappresenta la distanza del centro di massa dal punto medio perché hai scritto l'integrale scegliendo come zero il punto medio, potevi scrivere l'integrale scegliendo come zero un estremo dell'asta, in quel caso $x_G$ sarebbe stata la distanza del cdm dall'estremo dell'asta, e chiaramente sarebbero cambiati gli estremi di integrazione, e chiaramente l'espressione della densità non sarebbe stata proporzionale a $x^2$, ma sarebbe dovuta essere cambiata opportunamente...
Il resto del ragionamento ha senso?
Non c'è da fare nessun ragionamento, devi applicare le definizioni, se non ti sono chiare le definizioni allora, come nel caso del centro di massa, rischi di fare integrali a caso.
La definizione che devo usare è quella del momento di inerzia per corpi rigidi, cioè \( \int ρ(P)r^2\ \text{d} m \)
Noto che $ r $ rappresenta la distanza di $ P $ dall'asse di rotazione e (dal testo) che l'asse di rotazione passa per $ G = M $, posso porre $ r = x $ e integrare in $ dx $ tra $ -L/2 $ e $ L/2 $ (scegliendo come zero $ M $)?
Perchè è quello che ho cercato di fare ma non mi torna il risultato.
Noto che $ r $ rappresenta la distanza di $ P $ dall'asse di rotazione e (dal testo) che l'asse di rotazione passa per $ G = M $, posso porre $ r = x $ e integrare in $ dx $ tra $ -L/2 $ e $ L/2 $ (scegliendo come zero $ M $)?
Perchè è quello che ho cercato di fare ma non mi torna il risultato.
Non è quella la formula per il momento di inerzia, ma:
$intr^2dm$
nel tuo caso hai $dm=rho(x)dx$
$intr^2dm$
nel tuo caso hai $dm=rho(x)dx$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo