Momento di inerzia assiale

[Mrs92]

Un disco omogeneo di massa $M=8 kg$ e raggio $R=20 cm$ può ruotare attorno al suo asse
baricentrale orizzontale. Attorno al disco è avvolta una corda sottile, inestensibile e di massa
trascurabile, che aderisce perfettamente al disco e reca all'estremità che pende una massa $m=2 kg$.
All'inizio il sistema è tenuto in quiete con il corpo a quota $h=2 m$ dal pavimento. Ad un certo
istante il sistema è lasciato libero ed il corpo comincia a cadere. Sapendo che la velocità del corpo
quando tocca il pavimento è $v= 2.5 m/s$, a) calcolare il momento degli attriti che agiscono sull'asse
del disco; b) la tensione della corda durante la caduta del corpo. Momento d'inerzia del disco
rispetto all'asse baricentrale: $I= (MR^2)/2$.

ho questo esercizio che ho risolto quasi tutto, l'unica cosa che mi serve sapere è se il momento di inerzia è pari a:

$ I = (MR^2)/2 + mR^2$ ?

il dubbio c'è l'ho solo sulle masse in questione

[Faussone]

"Mrs92":
ho questo esercizio che ho risolto quasi tutto, l'unica cosa che mi serve sapere è se il momento di inerzia è pari a:

$ I = (MR^2)/2 + mR^2$ ?

Dipende.. Momento di inerzia rispetto a quale asse?

[Mrs92]

sto usando la formula

$ I*alpha = TR- Ma $ con Ma momento delle forze d'attrito

[Faussone]

Se il momento di inerzia è quello del cilindro rispetto al proprio asse, e $T$ è la tensione della corda (che non è uguale al peso della massa $m$, infatti $mg-T=ma \equiv m alpha R$) allora $I=1/2MR^2$

[Mrs92]

quindi va considerato sempre Come $Ic$ nella formula $M=I*alpha$ ?

[Faussone]

"Mrs92":quindi va considerato sempre Come $Ic$ nella formula $M=I*alpha$ ?

Sì.
Credo che il tuo dubbio nasca dal fatto che il problema è anche risolvibile immediatamente guardando il sistema massa più cilindro come un tutt'uno e scrivendo

$(1/2 M R^2 + m R^2) alpha=mg-M_a$

pertanto il momento di inerzia è in tal caso $1/2 M R^2+mR^2$, osserva che quello però è il momento di inerzia del cilindro più la massa e non del solo cilindro, inoltre la forza considerata è direttamente la forza esterna al sistema, cioè il peso della massa $m$, e non appare la tensione $T$.

[Mrs92]

no, quest'ultima parte non mi è chiara. I problemi non li ho mai risolti così. Potresti spiegarmela?

[Mrs92]

UP

[Faussone]

"Faussone": il problema è anche risolvibile immediatamente guardando il sistema massa più cilindro come un tutt'uno e scrivendo

$(1/2 M R^2 + m R^2) alpha=mg-M_a$

pertanto il momento di inerzia è in tal caso $1/2 M R^2+mR^2$, osserva che quello però è il momento di inerzia del cilindro più la massa e non del solo cilindro, inoltre la forza considerata è direttamente la forza esterna al sistema, cioè il peso della massa $m$, e non appare la tensione $T$.

Cosa non ti è chiaro?

[Mrs92]

$(1/2 M R^2 + m R^2) alpha=mg-M_a$

non dovrebbe esserci R vicino a mg'?

[Faussone]

"Mrs92":$(1/2 M R^2 + m R^2) alpha=mg-M_a$

non dovrebbe esserci R vicino a mg'?

Ah quello!
Certo che sì, mi era rimasto nella tastiera , altrimenti non tornerebbe neanche dimensionalmente.

[Mrs92]

se ho un disco che ruota senza strisciare a cui è applicata una forza al c.d.m con angolo $lambda$ rispetto all'orizzontale ho:

$I alpha =Fcos(lambda)$

I è uguale a....?

[Faussone]

cosa vuol dire? cosa c'entra col problema posto qui?

[Mrs92]

Sempre per il discorso di quale sia il momento di inerzia da usare...

[Faussone]

"Mrs92":se ho un disco che ruota senza strisciare a cui è applicata una forza al c.d.m con angolo $lambda$ rispetto all'orizzontale ho:

$I alpha =Fcos(lambda)$

I è uguale a....?

Quale è il dubbio che hai? Mi viene da risponderti solo con ovvietà: se vuoi scrivere l'equazione per il momento angolare rispetto ad un dato asse, allora $I$ è il momento di inerzia del disco rispetto a quel determinato asse.