Momento di inerzia
Ho delle difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:"Determinare il momento di inerzia di un semidisco piano omogeneo rispetto ad un asse ortogonale al piano del semidisco e passante per un estremo del suo diametro".Ho pensato ad una situazione del genere:
La formula per il calcolo del momento di inerzia credo sia $I=int int_(D)^() (mu)(x^2+y^2) dxdy$.Data la geometria del sistema credo che sia utile utilizzare le coordinate polari;fatto ciò l'integrale precedente dovrebbe diventare $I=int int_(K)^() (mu)(rho)^3 d(rho)d(theta)$ ma ho dei forti dubbi su come sia fatto il dominio di integrazione $K$.Potete aiutarmi?
La formula per il calcolo del momento di inerzia credo sia $I=int int_(D)^() (mu)(x^2+y^2) dxdy$.Data la geometria del sistema credo che sia utile utilizzare le coordinate polari;fatto ciò l'integrale precedente dovrebbe diventare $I=int int_(K)^() (mu)(rho)^3 d(rho)d(theta)$ ma ho dei forti dubbi su come sia fatto il dominio di integrazione $K$.Potete aiutarmi?
Risposte
Non è più semplice mettere il centro della la circonferenza nell'origine, calcolare I del semidisco e successivamente ricalcolare I tramite il teorema del momento d'inerzia per gli assi paralleli?
Rileggendo con più attenzione il problema,forse è più utile impostare il seguente sistema:
Qui però sopraggiunge un'altro problema:come calcolo la generica distanza piano-retta indispensabile nel calcolare il momento di inerzia assiale in questo caso particolare?
Qui però sopraggiunge un'altro problema:come calcolo la generica distanza piano-retta indispensabile nel calcolare il momento di inerzia assiale in questo caso particolare?
Non ho capito la domanda.
Comunque probabilmente questa strada che ti ho consigliato non è agevole, perché ho scritto un'inesattezza: il momento d'inerzia lo dovresti calcolare in prima battuta lungo un asse che passa per il centro di massa, poi con il teorema degli assi paralleli lo sposti su un un asse parallelo.
Credo che il procedimento per calcolare il momento d'inerzia nel suo centro di massa sia più complicato che calcolarlo direttamente dove te lo chiede il problema...
Comunque probabilmente questa strada che ti ho consigliato non è agevole, perché ho scritto un'inesattezza: il momento d'inerzia lo dovresti calcolare in prima battuta lungo un asse che passa per il centro di massa, poi con il teorema degli assi paralleli lo sposti su un un asse parallelo.
Credo che il procedimento per calcolare il momento d'inerzia nel suo centro di massa sia più complicato che calcolarlo direttamente dove te lo chiede il problema...
Sì, la formula
per il momento di inerzia è quella;
e non è complicato definire il dominio di integrazione: nota
che, con il primo riferimento considerato,
$\rho$ va da zero a -la lunghezza
di un cateto di triangolo rettangolo con ipotenusa il diametro $2R$ del semidisco.
$0<=\rho<=2Rsin\theta$, $0<=\theta<=\pi/2$
per il momento di inerzia è quella;
e non è complicato definire il dominio di integrazione: nota
che, con il primo riferimento considerato,
$\rho$ va da zero a -la lunghezza
di un cateto di triangolo rettangolo con ipotenusa il diametro $2R$ del semidisco.
$0<=\rho<=2Rsin\theta$, $0<=\theta<=\pi/2$
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