Momento di inerzia
Qual è il momento di inerzia di una sfera cava? (una specie di mappamondo, in pratica)
Grazie
Manuk
Grazie
Manuk
Risposte
$I=2/3mr^2$
Grazie, ma come ci si arriva?
integra i momenti dei vari anellini del "mappamondo" che si trovano ad una distanza diversa dall'asse di rotazione
insomma devi integrare i momenti infinitesimi
dI = r^2 dM
scrivi una sempilce relazione tra la densità e la massa e prosegui
insomma devi integrare i momenti infinitesimi
dI = r^2 dM
scrivi una sempilce relazione tra la densità e la massa e prosegui
Grazie, chiedo troppo se vi domando di scrivermi l'integrale da impostare??
grazieeeee
grazieeeee
intanto quando parli di momento d'inerzia di un corpo dovresti specificare l'asse rispetto al quale lo vuoi calcolare. Ti rispondo ipotizzando che lo vuoi rispetto ad un asse baricentrale della sfera.
Considera una terna di riferimento ortonormane di assi $X,Y,Z$, con origine nel centro della sfera, e calcoliamo il momento d'inerzia rispetto, per esempio, all'asse $Z$.
Il momento di inerzia sarà: $I_Z=int_Vrho(x^2+y^2)dV$.
Possiamo, in questo caso, sfruttare la simmetria della sfera per dire che: $I_X=I_Y=I_Z=I$. E' facile verificare, e fallo per esercizio, che $I_X+I_Y+I_Z=3I=2int_Vrho(x^2+y^2+z^2)dV$ da cui:
$I=2/3rhoint_V(x^2+y^2+z^2)dV$. Se consideriamo ora il raggio $r$ possiamo dire che $r^2=x^2+y^2+z^2$, e sostituirlo nell'integrale, ottenendo:
$I=2/3rhoint_Vr^2dV$, che è davvero semplice.
Calcoliamoci per esempio il momento d'inerzia nel caso di un corpo sferico omogeneo (geometricamente una palla). Data la simmetria, potremo dire che $r^2dV=r^2*4pir^2dr=4pir^4dr$, quindi:
$I=2/3rhoint_0^R4pir^4dr=8/3pirhoint_0^Rr^4dr=8/15pirhoR^5$.
Ma sappiamo anche che la massa del corpo è $M=rho*4/3piR^3$, quindi che:
$I=2/5MR^2$.
Se il tuo corpo è un guscio sferico di raggio interno $R_1$ ed esterno $R_2$, il momento d'inerzia lo potrai ottenere come:
$I=2/5(M_2R_2^2-M_1R_1^2)$, oppure come $I=8/15pirho(R_2^5-R_1^5).
Lascio a te come esercizio il calcolo del momento d'inerzia nel caso in cui il guscio sia sottile (spessore piccolo rispetto ai raggi), che mi pare essere l'ipotesi assunta implicitamente nel tuo post e nelle risposte successive.
Considera una terna di riferimento ortonormane di assi $X,Y,Z$, con origine nel centro della sfera, e calcoliamo il momento d'inerzia rispetto, per esempio, all'asse $Z$.
Il momento di inerzia sarà: $I_Z=int_Vrho(x^2+y^2)dV$.
Possiamo, in questo caso, sfruttare la simmetria della sfera per dire che: $I_X=I_Y=I_Z=I$. E' facile verificare, e fallo per esercizio, che $I_X+I_Y+I_Z=3I=2int_Vrho(x^2+y^2+z^2)dV$ da cui:
$I=2/3rhoint_V(x^2+y^2+z^2)dV$. Se consideriamo ora il raggio $r$ possiamo dire che $r^2=x^2+y^2+z^2$, e sostituirlo nell'integrale, ottenendo:
$I=2/3rhoint_Vr^2dV$, che è davvero semplice.
Calcoliamoci per esempio il momento d'inerzia nel caso di un corpo sferico omogeneo (geometricamente una palla). Data la simmetria, potremo dire che $r^2dV=r^2*4pir^2dr=4pir^4dr$, quindi:
$I=2/3rhoint_0^R4pir^4dr=8/3pirhoint_0^Rr^4dr=8/15pirhoR^5$.
Ma sappiamo anche che la massa del corpo è $M=rho*4/3piR^3$, quindi che:
$I=2/5MR^2$.
Se il tuo corpo è un guscio sferico di raggio interno $R_1$ ed esterno $R_2$, il momento d'inerzia lo potrai ottenere come:
$I=2/5(M_2R_2^2-M_1R_1^2)$, oppure come $I=8/15pirho(R_2^5-R_1^5).
Lascio a te come esercizio il calcolo del momento d'inerzia nel caso in cui il guscio sia sottile (spessore piccolo rispetto ai raggi), che mi pare essere l'ipotesi assunta implicitamente nel tuo post e nelle risposte successive.
Grazie mille Kinder,
in realtà il problema era di un mio amico al quale girerò la tua esaustiva risposta!
Ciao
in realtà il problema era di un mio amico al quale girerò la tua esaustiva risposta!
Ciao
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