Momento di inerzia?

[Fab996]

Come calcolo il momento di inerzia di un guscio sferico sottile ? Il risultato del libro è $2/3mR^(2)$, da quanto ho capito per calcolare il momento di inerzia bisogna calcolare l'integrale definito dall'estremo finale all'estremo iniziale moltiplicato per la densità $M/L$ se essa è omogenea, per esempio il momento di simmetria di un sbarra che è incernierata su una parete quindi distanza dal polo (0-L) risulta essere $IZ=int_{0}^{L}x^(2)dx$ che viene $ML^(2)/3$; però non riesco a capire quali siano gli estremi di integrazione della sfera...

[Fab996]

"TeM":Dunque, dato l'arco di curva \[ \gamma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : y = z = 0, \; 0 \le x \le L \; ;
\; L > 0 \right\} \] parametrizzabile in maniera naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(t) = \left( t, \; 0, \; 0 \right), \; \; \; \text{per} \; t \in I := [0,\,L]\,, \] la propria misura risulta pari a \[ |\gamma| := \int\limits_{\gamma} 1\,\text{d}s = \int\limits_I 1\,\left| \gamma'(t) \right|\text{d}t = \int_0^L 1\,\text{d}t = L \; . \] A questo punto, assumendo che \(\gamma\) sia omogeneo, detta \(M>0\) la propria massa, la densità lineare risulta \[ \lambda(x,\,y,\,z) := \frac{M}{L} \] e quindi il momento di inerzia di \(\gamma\) rispetto l'asse \(z\) risulta essere pari a \[\begin{aligned} I_z & := \int\limits_{\gamma} \left(x^2+y^2\right)\lambda(x,\,y,\,z)\,\text{d}s \\ & = \int\limits_I t^2 \, \frac{M}{L} \, \left|\gamma'(t) \right|\text{d}t \\ & = \frac{M}{L} \int_0^L t^2\,\text{d}t \\ & = \frac{1}{3}\,M\,L^2 \; . \end{aligned} \]
Analogamente, data la superficie \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2 = R^2 \; ;
\; R > 0 \right\} \] parametrizzabile in maniera naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\varphi,\,\theta) = \left( R\,\sin\varphi\,\cos\theta, \; R\,\sin\varphi\,\sin\theta, \; R\,\cos\varphi \right), \; \; \; \text{per} \; (\varphi,\,\theta) \in A := [0,\,\pi] \times [0,\,2\pi)\,, \] la propria misura risulta pari a \[ |\Sigma| := \iint\limits_{\Sigma} 1\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A 1\,\left| \mathbf{r}_{\varphi}(\varphi,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\varphi,\,\theta) \right|\text{d}\varphi\,\text{d}\theta = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{\pi} R^2\,\sin\varphi\,\text{d}\varphi = 4\,\pi\,R^2 \; . \] A questo punto, assumendo che \(\Sigma\) sia omogenea, detta \(M>0\) la propria massa, la densità superficiale risulta \[ \sigma(x,\,y,\,z) := \frac{M}{4\,\pi\,R^2} \] e quindi il momento di inerzia di \(\Sigma\) rispetto l'asse \(z\) risulta essere pari a \[\begin{aligned} I_z & := \iint\limits_{\Sigma} \left(x^2+y^2\right)\sigma(x,\,y,\,z)\,\text{d}\sigma \\ & = \iint\limits_A \left(R^2\,\sin^2\varphi\right) \frac{M}{4\,\pi\,R^2} \, \left| \mathbf{r}_{\varphi}(\varphi,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\varphi,\,\theta) \right|\text{d}\varphi\,\text{d}\theta \\ & = \frac{M\,R^2}{4\,\pi} \int_0^{2\pi}\text{d}\theta \int_0^{\pi} \sin^3\varphi\,\text{d}\varphi \\ & = \frac{2}{3}\,M\,R^2 \; . \end{aligned} \]
Spero sia sufficientemente chiaro.

Si, grazie mille. Posso chiederti un'altra cosa:)?

[Fab996]

Capisco, comunque volevo chiederti nell'esperimento della macchina di atwood, posso considerare la tensione del filo e l'accelerazione della carrucola con appese due masse uguale in tutti i punti in quanto il filo è ideale, però non capisco perchè rifacendo lo stesso esercizio solo considerando la carrucola con una sua massa e quindi che può ruotare e che avrà un proprio momento d'inerzia, non posso considerare più la tensione del filo come unica....

[donald_zeka]

Se si considera la carrucola come un disco omogeneo di massa M, la seconda equazione cardinale applicata alla carrucola porta a :

$T_1-T_2=1/2Ma$

In cui si vede chiaramente che per $M->0$ risulta $T_1=T_2$

[Fab996]

ti ringrazio!