Momento delle forze nella dinamica del corpo rigido
Ragazzi sono uno studente di Ingegneria e sto preparando l'esame di Fisica I. Ho bisogno di un chiarimento riguardo la rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso. Vi scrivo brevemente le notazioni del Mazzoldi di Fisica I, perché magari in altri libri si usano nomi diversi:
$ L $ = momento angolare
$ L_z $ = Componente del momento angolare parallela all'asse di rotazione z
$ L_bot $ = Componente del momento angolare verticale all'asse di rotazione z
Allora. Se $ L || omega $ ho che $ L_bot = 0 $
Inoltre vale in generale $ M=(dL)/dt=L_bot(dphi)/dt=L_botomega $ $ rarr $ $ M=L_botomega $ $ rarr $ nel mio caso $ M=0 $
A questo punto guardate la foto della pagina del Mazzoldi che ho caricato e che mi crea il dubbio in modo che sia chiaro ciò che voglio chiedere: http://i50.tinypic.com/1547pxf.jpg
Vorrei capire perché distingue i 3 casi in cui $ M=0 $ , $ M=costante $ e M generica, visto che invece M dovrebbe essere solo nulla, in quando dipendente da una $ L_bot = 0 $ . Inoltre notate che al primo rigo sta parlando proprio del caso $ L || omega $, mentre del caso contrario si parla alla pagina successiva come specificato nell'ultimo rigo della foto. Potete aiutarmi?? Grazie
$ L $ = momento angolare
$ L_z $ = Componente del momento angolare parallela all'asse di rotazione z
$ L_bot $ = Componente del momento angolare verticale all'asse di rotazione z
Allora. Se $ L || omega $ ho che $ L_bot = 0 $
Inoltre vale in generale $ M=(dL)/dt=L_bot(dphi)/dt=L_botomega $ $ rarr $ $ M=L_botomega $ $ rarr $ nel mio caso $ M=0 $
A questo punto guardate la foto della pagina del Mazzoldi che ho caricato e che mi crea il dubbio in modo che sia chiaro ciò che voglio chiedere: http://i50.tinypic.com/1547pxf.jpg
Vorrei capire perché distingue i 3 casi in cui $ M=0 $ , $ M=costante $ e M generica, visto che invece M dovrebbe essere solo nulla, in quando dipendente da una $ L_bot = 0 $ . Inoltre notate che al primo rigo sta parlando proprio del caso $ L || omega $, mentre del caso contrario si parla alla pagina successiva come specificato nell'ultimo rigo della foto. Potete aiutarmi?? Grazie
Risposte
La seconda eq cardinale della Dinamica è una equazione vettoriale, che sussiste tra il vettore momento angolare $\vecL$ (rispetto a un polo fisso o coincidente col centro di massa) e il vettore momento delle forze esterne ( rispetto allo stesso polo) $\vecM_e$
$\vecM_e = (d\vecL)/(dt) $
Se il corpo rigido ha un asse fisso, il vettore velocità angolare $ \vecomega$ giace su quest'asse, su cui in generale NON giace il vettore $\vecL$ : solo se l'asse è un asse principale di inerzia i due vettori sono paralleli. NEl caso più generale, quando l'asse è fisso si considerano le componenti, su questo asse che tu chiami $z$ , del momento delle forze esterne e del momento angolare: se la componente del momento delle forze esterne non è nulla, c'è variazione della componente $L_z$ del momento angolare. E poichè il momento di inerzia rispetto a quest'asse fisso non varia quando il corpo è rigido, potrà variare soltanto il modulo della velocità angolare, che ha direzione fissa : $ M_z = I_z * (d\omega)/(dt) $
E non è che il momento delle forze esterne sia "dipendente" da una $ L_bot = 0 $. Che cosa vuoi dire ?
Posto quanto sopra, io non ho capito il tuo dubbio. Vorresti chiarire, per favore?
$\vecM_e = (d\vecL)/(dt) $
Se il corpo rigido ha un asse fisso, il vettore velocità angolare $ \vecomega$ giace su quest'asse, su cui in generale NON giace il vettore $\vecL$ : solo se l'asse è un asse principale di inerzia i due vettori sono paralleli. NEl caso più generale, quando l'asse è fisso si considerano le componenti, su questo asse che tu chiami $z$ , del momento delle forze esterne e del momento angolare: se la componente del momento delle forze esterne non è nulla, c'è variazione della componente $L_z$ del momento angolare. E poichè il momento di inerzia rispetto a quest'asse fisso non varia quando il corpo è rigido, potrà variare soltanto il modulo della velocità angolare, che ha direzione fissa : $ M_z = I_z * (d\omega)/(dt) $
E non è che il momento delle forze esterne sia "dipendente" da una $ L_bot = 0 $. Che cosa vuoi dire ?
Posto quanto sopra, io non ho capito il tuo dubbio. Vorresti chiarire, per favore?
Si allora come dici tu, $ L||omega $ solo se l'asse di rotazione è un asse di simmetria e su questo siamo d'accordo. In questo caso sarai d'accordo con me se dico che $ L_bot=0 $
Inoltre avevo dimostrato precedentemente questo: $ M=L_botomega $ . Quello che dicevo è che quindi in questo caso dovremmo avere $ M=0*omega $ cioè $ M=0 $. Ma ora mi rendo conto che FORSE (e a questo punto chiedo conferma) è solo la $ M_bot $ ad essere nulla e quindi allo stesso tempo si possono fare tutte le altre considerazioni (che prima non mi spiegavo) sulla $ M_z $ che invece non è nulla e quindi vale ciò che hai scritto tu, cioè $ M_z=I_zalpha $
Il fatto è che sul Mazzoldi non distingue le due componenti di M con i pedici, ma le chiama uguali e questo mi ha confuso. Ora quello che ho scritto è giusto??
Inoltre avevo dimostrato precedentemente questo: $ M=L_botomega $ . Quello che dicevo è che quindi in questo caso dovremmo avere $ M=0*omega $ cioè $ M=0 $. Ma ora mi rendo conto che FORSE (e a questo punto chiedo conferma) è solo la $ M_bot $ ad essere nulla e quindi allo stesso tempo si possono fare tutte le altre considerazioni (che prima non mi spiegavo) sulla $ M_z $ che invece non è nulla e quindi vale ciò che hai scritto tu, cioè $ M_z=I_zalpha $
Il fatto è che sul Mazzoldi non distingue le due componenti di M con i pedici, ma le chiama uguali e questo mi ha confuso. Ora quello che ho scritto è giusto??
"ClAuDi0":
Si allora come dici tu, $ L||omega $ solo se l'asse di rotazione è un asse di simmetria e su questo siamo d'accordo. In questo caso sarai d'accordo con me se dico che $ L_bot=0 $
Non se l'asse di rotazione è di simmetria, ma se è "principale di inerzia" per un suo punto, si ha parallelismo tra $\vecL$ e $\vecomega$ . Ci sono, per ogni punto del corpo, almeno tre assi principali di inerzia. Questa è una condizione "meno forte" del pretendere che l'asse sia di simmetria. Considera una moneta, e un punto $P$ diverso dal centro. L'asse perpendicolare al piano della moneta in $P$ è un asse princinpale di inerzia in $P$, ma non è di simmetria per la moneta. Gli altri due assi principali in $P$ giacciono nel piano, uno passa per $P$ e per il centro $O$ , l'altro è ad esso perpendicolare. Quello passante per $P$ e per $O$ è anche di simmetria, è un diametro della moneta ( intesa come disco piano).
Ovviamente, se un asse è "di simmetria" è senz'altro principale di inerzia, quindi i due vettori detti sono paralleli.
Inoltre avevo dimostrato precedentemente questo: $ M=L_botomega $ . Quello che dicevo è che quindi in questo caso dovremmo avere $ M=0*omega $ cioè $ M=0 $.
NOO! Te l'ho detto, il componente del vettore $\vecL$ che può variare di modulo per effetto di momento di forze esterne è quello lungo l'asse fisso. Quello perpendicolare ruota attorno all'asse, con la stessa velocità angolare ( quindi, vettorialmente parlando , anche questa "varia" ).
Ma ora mi rendo conto che FORSE (e a questo punto chiedo conferma) è solo la $ M_bot $ ad essere nulla
Non è detto che il momento di forze esterne abbia componente perpendicolare all'asse nulla : può anche essere diversa da zero, ma ad essa si oppone la coppia di reazione dei cuscinetti dell'asse. Quindi tale componente non influisce sul moto rotatorio attorno all'asse fisso.
.... si possono fare tutte le altre considerazioni (che prima non mi spiegavo) sulla $ M_z $ che invece non è nulla e quindi vale ciò che hai scritto tu, cioè $ M_z=I_zalpha $
Il fatto è che sul Mazzoldi non distingue le due componenti di M con i pedici, ma le chiama uguali e questo mi ha confuso. Ora quello che ho scritto è giusto??
Mi sembra strano che il libro non metta pedici diversi per le due componenti del vettore momento. Comunque, vale ciò che abbiamo detto.
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