Momento delle Forze Interne in un Sistema di Punti Materiali

[Math2o]

Buongiorno a tutti,
Mi chiamo Elio e frequento un CdL in Ingegneria Aerospaziale.
Durante la preparazione dell'esame di Fisica Generale I mi è sorto un dubbio circa il Teorema del Momento Angolare per un Sistema di Punti Materiali. Nello specifico, andando a derivare $(dL)/dt$ in un Sistema di due Punti Materiali si ottiene, tra i vari termini, il Momento delle Forze Interne esercitate tra i due punti. Quest'ultimo è dimostrato essere nullo rispetto a qualsiasi polo, poichè il raggio vettore $(r_2 - r_1)$ risulta parallelo ad $F_{1,2}$. Non capisco peró perchè dal Momento totale $M_{1,2}^I = r_2 xx F_{1,2} + r_1 xx F_{2,1}$, ricava semplicemente il prodotto $r_{1,2} xx F_{1,2}$ che dimostra essere nullo poichè prodotto di vettori paralleli.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto e mi scuso nel caso sia stato troppo confusionario.

[anonymous_0b37e9]

Mi sembra di capire che tu sia interessato al solo caso in cui il polo $O$ è fisso:

$(d[m_1vec(v_1)xx(O-P_1)+m_2vec(v_2)xx(O-P_2)])/(dt)=$

$=m_1(dvec(v_1))/(dt)xx(O-P_1)+m_1vec(v_1)xx(d(O-P_1))/(dt)+m_2(dvec(v_2))/(dt)xx(O-P_2)+m_2vec(v_2)xx(d(O-P_2))/(dt)=$

$=m_1vec(a_1)xx(O-P_1)-m_1vec(v_1)xxvec(v_1)+m_2vec(a_2)xx(O-P_2)-m_2vec(v_2)xxvec(v_2)=$

$=vec(F_(12))xx(O-P_1)+vec(F_(21))xx(O-P_2)=$

$=vec(F_(12))xx(O-P_1)-vec(F_(12))xx(O-P_2)=$

$=vec(F_(12))xx(O-P_1-O+P_2)=$

$=vec(F_(12))xx(P_2-P_1)=$

$=+-|vec(F_(12))|(P_2-P_1)/|P_2-P_1|xx(P_2-P_1)=$

$=+-|vec(F_(12))|/|P_2-P_1|(P_2-P_1)xx(P_2-P_1)=0$

[Math2o]

Innanzitutto grazie per la risposta! Mi sono espresso male, quando parlavo di derivare L, mi riferivo al Momento Angolare relativo ad un Sistema di Punti Materiali qualsiasi, ossia $(dL)/dt$ = $sum_i(dr_i)/dt xx m_iv_i + sum_ir_i xx m_i(dv_i)/dt$. Dall'ultimo termine, pari alla somma delle forze agenti sull'i-esimo punto $F_i^I$ e $F_i^E$, si ricavano i Momenti Delle Forze Esterne ed Interne agenti sul sistema. Ecco, nel mio caso, il libro, facendo riferimento ad un sistema di due punti, dimostra quanto detto nel primo post. Chiedo scusa per il disguido.

[anonymous_0b37e9]

"Math2o":
... facendo riferimento ad un sistema di due punti ...

Non ho ancora capito se sei interessato alla dimostrazione nel caso di due punti materiali o nel caso generale. Nel primo caso, a patto di considerare anche le forze esterne, la dimostrazione è quella illustrata in precedenza.

[Math2o]

Il testo parte derivando L per un sistema qualsiasi, in seguito dimostra $M^I = 0$ (relativo quindi ad un sistema qualsiasi) rifacendosi al caso di un sistema composto da due punti materiali che esercitano tra loro forze repulsive aventi stessa retta d'azione. La dimostrazione, che definisce valida per un polo O qualsiasi, si riduce però semplicemente ad affermare che ciò sia dovuto al fatto che il raggio vettore $r_2 - r_1$ è parallelo alla Forza che $P_1$ esercita su $P_2$. È questo ciò che non mi è chiaro.

[anonymous_0b37e9]

"Math2o":
... il raggio vettore $r_2-r_1$ è parallelo alla Forza che $P_1$ esercita su $P_2$ ...

Si tratta del 3° principio della dinamica:

$vec(F_(12))=+-|vec(F_(12))|vec(P_1P_2)/|vec(P_1P_2)|$

a seconda che sia attrattiva o repulsiva. Ti ricordo che $[vec(r_2)-vec(r_1)]$ è semplicemente il vettore $vec(P_1P_2)$. Ho l'impressione che tu ti stia perdendo in un bicchier d'acqua.

[Math2o]

Bene, a pensare che ho perso tempo su questa banalità non posso che riderci su. A questo punto non capisco neanche il motivo di tante chiacchiere sul libro.
Ad ogni modo, grazie per avermi illuminato! "Problema" risolto.

[anonymous_0b37e9]

Meno male. Buon proseguimento.