Momento angolare ruota
pensate alla ruota della macchina essa girando ha un momento angolare uscente se consideriamo quella anteriore sinistra ora mentre giriamo facciamo verso sinistra i meccanismi interni della macchina danno un momento e la ruota gira...ruotando la ruota pero cambia il vettore momento angolare , ora secondo la 2 equazione cardinale della dinamica per fare variare il momento angolare serve un momento di forze, bene! qual è?? e a chi glielo da? io mi sto scervellando da ieri ma non ne vengo a capo eppure è banale come sistema! ps.la macchina è un esempio per spiegarlo se volete usate qualunque sistema simile 
grazie a chi darà pace alla mia mente!
grazie a chi darà pace alla mia mente!
Risposte
I cosidetti "fenomeni giroscopici elementari" , e cioè : 1) la tenacia degli assi giroscopici, e : 2) la tendenza al parallelismo dell'asse giroscopico con la direzione dell' azione sollecitante, si trattano in maniera adeguata e completa (e piuttosto complessa) con le equazioni della Dinamica, a partire da quella che tu hai citato.
IL caso della ruota che hai indicato, come anche una ruota di motocicletta, o un rotore di turbina su un aereo o su una nave, o altri casi analoghi, è quello della cosidetta "precessione forzata" . Cioè, si forza il solido giroscopico, che è già dotato di elevata velocità angolare $\vec\Omega$ attorno all'asse di simmetria, a ruotare attorno ad un altro asse, perpendicolare al primo, con una seconda velocità angolare $\vec\omega$, che di solito è piccola rispetto alla precedente. Per trattare compiutamente il problema, occorrerebbe comporre le due velocità angolari.
Ma si può fare uno studio più elementare, appunto quando la velocità angolare della precessione forzata è piccola al confronto della vel angolare propria, come segue.
Consideriamo per semplicità una bicicletta che avanza da sinistra a destra, e la sua ruota anteriore. L'asse di rotazione è asse centrale di inerzia, quindi il vettore velocità angolare $\vecOmega$ e il vettore momento angolare $\vecL$ sono paralleli, e legati dalla relazione : $\vecL = I*\vecOmega$
Entrambi i vettori sono orientati dalla ruota, di centro $O$, verso il retro del foglio , perchè è da tale lato che il senso di rotazione è visto antiorario. Chiamo $z$ quest'asse, di versore $\veck$.
Chiamo poi $x$ l'asse uscente da $O$ e orientato all'indietro ( versore $\veci$ ) , e $y$ l'asse per $O$ vetricale orientato verso l'alto ( versore $\vecj$ ) . Così la terna è la solita.
Quando il ciclista vuole girare a sinistra, imprime al manubrio una rotazione (precessione forzata) verso sinistra, con una velocità angolare $\omega*\vecj$ di modulo molto piccolo rispetto alla velocità angolare della ruota.
Di conseguenza, come hai detto, si ha variazione di direzione del momento angolare.
Come si calcola il momento ? Esso deve essere uguale alla variazione del momento angolare: $ \vecM = (d\vecL)/(dt) = I*(d\vec\Omega)/(dt)$
Per calcolare $(d\vec\Omega)/(dt)$, immaginiamo di aver applicato anche il vettore $\vecOmega$ nel centro $O$ della ruota, diretto verso il retro del foglio, e chiamiamo $N$ il secondo estremo del vettore stesso. Quindi $\vecOmega = (N-O) $, e pertanto : $(d\vec\Omega)/(dt) = (d(N-O))/(dt) = \vecV_N = \vecomega\times(N-O) = \vecomega\times\vecOmega$
Quindi nella trattazione elementare si suppone che il vettore $(N-O)$ ruoti nel piano orizzontale attorno ad $y$ con la stessa velocità angolare $\omega$ della precessione forzata, e quindi il punto $N$ tende a spostarsi all'indietro con velocità : $\vecV_N = \vecomega\times\vecOmega = \omega*\Omega* \veci$
Queste due velocità angolari vettoriali sono perpendicolari tra loro, il loro prodotto vettoriale è perpendicolare ad entrambi, e risulta diretto dal centro $O$ all'indietro, cioè lungo l'asse $x$. Così pure risulta diretto il vettore momento : $\vecM = I*\omega*\Omega*\veci$.
PEr maggiori dettagli, guarda qui, se vuoi, ma con comodo, in particolare quello che dice sotto la figura 1.1.8 sulla precessione forzata:
http://navigaz.uniparthenope.it/sez_nav ... _cap_1.pdf
Spesso la precessione forzata è dannosa, ma inevitabile : pensa all'asse di una turbina montata su una nave ( sulle navi, i motori e in genere i corpi rotanti si montano sempre, per quanto possibile, con l' asse in direzione longitudinale, perchè la precessione forzata dovuta al moto di beccheggio è sempre inferiore a quella indotta dal moto di rollio) : i cuscinetti portanti vengono sollecitati dal momento $M$ detto, diretto vettorialmente in verticale, alternativamente verso l'alto e verso il basso, e subiscono le relative sollecitazioni.
Ma altre volte la precessione forzata è una necessità : nella bussola giroscopica, il rotore deve essere forzato a "precedere nel piano orizzontale", perchè vogliamo che l'asse indichi il $N$ terrestre, non un punto fisso dello spazio, come farebbe se il giroscopio fosse vincolato "solo" nel suo cdm. Ma questa è tutt'altra storia. Nel link di cui sopra se ne parla ampiamente.
IL caso della ruota che hai indicato, come anche una ruota di motocicletta, o un rotore di turbina su un aereo o su una nave, o altri casi analoghi, è quello della cosidetta "precessione forzata" . Cioè, si forza il solido giroscopico, che è già dotato di elevata velocità angolare $\vec\Omega$ attorno all'asse di simmetria, a ruotare attorno ad un altro asse, perpendicolare al primo, con una seconda velocità angolare $\vec\omega$, che di solito è piccola rispetto alla precedente. Per trattare compiutamente il problema, occorrerebbe comporre le due velocità angolari.
Ma si può fare uno studio più elementare, appunto quando la velocità angolare della precessione forzata è piccola al confronto della vel angolare propria, come segue.
Consideriamo per semplicità una bicicletta che avanza da sinistra a destra, e la sua ruota anteriore. L'asse di rotazione è asse centrale di inerzia, quindi il vettore velocità angolare $\vecOmega$ e il vettore momento angolare $\vecL$ sono paralleli, e legati dalla relazione : $\vecL = I*\vecOmega$
Entrambi i vettori sono orientati dalla ruota, di centro $O$, verso il retro del foglio , perchè è da tale lato che il senso di rotazione è visto antiorario. Chiamo $z$ quest'asse, di versore $\veck$.
Chiamo poi $x$ l'asse uscente da $O$ e orientato all'indietro ( versore $\veci$ ) , e $y$ l'asse per $O$ vetricale orientato verso l'alto ( versore $\vecj$ ) . Così la terna è la solita.
Quando il ciclista vuole girare a sinistra, imprime al manubrio una rotazione (precessione forzata) verso sinistra, con una velocità angolare $\omega*\vecj$ di modulo molto piccolo rispetto alla velocità angolare della ruota.
Di conseguenza, come hai detto, si ha variazione di direzione del momento angolare.
Come si calcola il momento ? Esso deve essere uguale alla variazione del momento angolare: $ \vecM = (d\vecL)/(dt) = I*(d\vec\Omega)/(dt)$
Per calcolare $(d\vec\Omega)/(dt)$, immaginiamo di aver applicato anche il vettore $\vecOmega$ nel centro $O$ della ruota, diretto verso il retro del foglio, e chiamiamo $N$ il secondo estremo del vettore stesso. Quindi $\vecOmega = (N-O) $, e pertanto : $(d\vec\Omega)/(dt) = (d(N-O))/(dt) = \vecV_N = \vecomega\times(N-O) = \vecomega\times\vecOmega$
Quindi nella trattazione elementare si suppone che il vettore $(N-O)$ ruoti nel piano orizzontale attorno ad $y$ con la stessa velocità angolare $\omega$ della precessione forzata, e quindi il punto $N$ tende a spostarsi all'indietro con velocità : $\vecV_N = \vecomega\times\vecOmega = \omega*\Omega* \veci$
Queste due velocità angolari vettoriali sono perpendicolari tra loro, il loro prodotto vettoriale è perpendicolare ad entrambi, e risulta diretto dal centro $O$ all'indietro, cioè lungo l'asse $x$. Così pure risulta diretto il vettore momento : $\vecM = I*\omega*\Omega*\veci$.
PEr maggiori dettagli, guarda qui, se vuoi, ma con comodo, in particolare quello che dice sotto la figura 1.1.8 sulla precessione forzata:
http://navigaz.uniparthenope.it/sez_nav ... _cap_1.pdf
Spesso la precessione forzata è dannosa, ma inevitabile : pensa all'asse di una turbina montata su una nave ( sulle navi, i motori e in genere i corpi rotanti si montano sempre, per quanto possibile, con l' asse in direzione longitudinale, perchè la precessione forzata dovuta al moto di beccheggio è sempre inferiore a quella indotta dal moto di rollio) : i cuscinetti portanti vengono sollecitati dal momento $M$ detto, diretto vettorialmente in verticale, alternativamente verso l'alto e verso il basso, e subiscono le relative sollecitazioni.
Ma altre volte la precessione forzata è una necessità : nella bussola giroscopica, il rotore deve essere forzato a "precedere nel piano orizzontale", perchè vogliamo che l'asse indichi il $N$ terrestre, non un punto fisso dello spazio, come farebbe se il giroscopio fosse vincolato "solo" nel suo cdm. Ma questa è tutt'altra storia. Nel link di cui sopra se ne parla ampiamente.
Penso che, per evitare errori di calcolo, sia bene applicare alla ruota la secondo equazione cardinale della dinamica completa, senza semplificazioni. Il moto della ruota è dato, per cui non dovrebbe essere difficile applicare senza semplificazioni, non si tratta di ricavare l'equazione di moto.
Oltre a quello che è stato scritto, si può dire che, vista l'applicazione, i momenti applicati alla ruota da includere nell'equazione devono essere anche quello prodotto dalle reazioni vincolari dei cuscinetti dell'asse della ruota, il momento motore (se si tratta di ruota motrice) e quello attrito volvente e forza di aderenza della ruota, nonchè resistenza della superficie di appoggio della ruota alla rotazione verticale. Parametri questi ultimi che dipendono dalle condizioni di moto della macchina oltre che dalla curva (accelerazione, frenata).
Inoltre si deve specificare che quello che si ricava è il momento coplessivo agente sulla ruota. Per ricavare il momento che deve essere fornito attraverso i comandi si ha bisogno anche di parametri costruttivi della macchina. L'asse di rotazione del piano della ruota rispetto alla macchina ad esempio non passa per il centro della sezione di contatto della ruota, ma, se non ricordo male, è posto in maniera tale che in caso di frenata in curva lo sterzo tende a forzare verso il raddrizzamento, non verso ulteriore curvatura.
Oltre a quello che è stato scritto, si può dire che, vista l'applicazione, i momenti applicati alla ruota da includere nell'equazione devono essere anche quello prodotto dalle reazioni vincolari dei cuscinetti dell'asse della ruota, il momento motore (se si tratta di ruota motrice) e quello attrito volvente e forza di aderenza della ruota, nonchè resistenza della superficie di appoggio della ruota alla rotazione verticale. Parametri questi ultimi che dipendono dalle condizioni di moto della macchina oltre che dalla curva (accelerazione, frenata).
Inoltre si deve specificare che quello che si ricava è il momento coplessivo agente sulla ruota. Per ricavare il momento che deve essere fornito attraverso i comandi si ha bisogno anche di parametri costruttivi della macchina. L'asse di rotazione del piano della ruota rispetto alla macchina ad esempio non passa per il centro della sezione di contatto della ruota, ma, se non ricordo male, è posto in maniera tale che in caso di frenata in curva lo sterzo tende a forzare verso il raddrizzamento, non verso ulteriore curvatura.
Ho già detto varie volte, e ripeto, che la trattazione semplificata dei fenomeni giroscopici è possibile, e soddisfacente, quando la velocità angolare di precessione è molto minore della velocità di spin (velocità di rotazione propria) del giroscopio. Non si inducono errori, si risolvono solo equazioni più semplici. In particolare non occorre fare composizione delle velocità angolari.
Altrimenti, se vogliamo proprio essere bravi a tutti i costi, ci mettiamo a risolvere la seconda equazione cardinale della dinamica, scritta relativamente a un polo $P_0$ :
$d/(dt)\vecL(P_0) = \vecM_e(P_0) ===> d/(dt) [\sigma(P_0)\vec\omega] = \vecM_e(P_0) $
da cui, assumendo la matrice di inerzia $\sigma(P_0)$ riferita agli assi principali nel polo, che si assume fisso, e scomponendo il vettore $\omega$ secondo tali assi, si arriva alle equazioni di Eulero per il moto di un corpo rigido con un punto fisso, che ora chiamo $O$ :
$I_1dot\omega_1 - (I_2-I_3)\omega_2\omega_3 = M_1(O) + \mu_1(O)$
$I_2dot\omega_2 - (I_3-I_1)\omega_3\omega_1 = M_2(O) + \mu_2(O)$
$I_3dot\omega_3 - (I_1-I_2)\omega_1\omega_3 = M_3(O) + \mu_3(O)$
dove al secondo membro ci sono i momenti delle forze esterne $M_i$ e di quelle di attrito $\mu_i$ rispetto al punto fisso $O$ , scomposti secondo i 3 assi principali $1,2,3$ relativi a tale punto, al primo membro ii momenti di inerzia principali e le componenti di $\vec\omega$ sui tre assi principali in $O$. Queste equazioni sono riferite dunque al sistema "corpo" , e perciò i momenti d'inerzia principali in $O$ sono costanti.
Ma queste equazioni sono piuttosto difficili da risolvere. Esse si semplificano nel caso di una ruota, viste le simmetrie della stessa. Ma già il il caso della "precessione per inerzia" , che si ha quando i secondi membri sono nulli, è difficile da trattare. Figuriamoci quando ci sono momenti di forze esterne non nulli.
Se però uno lo sa fare, che lo faccia!
Altrimenti, se vogliamo proprio essere bravi a tutti i costi, ci mettiamo a risolvere la seconda equazione cardinale della dinamica, scritta relativamente a un polo $P_0$ :
$d/(dt)\vecL(P_0) = \vecM_e(P_0) ===> d/(dt) [\sigma(P_0)\vec\omega] = \vecM_e(P_0) $
da cui, assumendo la matrice di inerzia $\sigma(P_0)$ riferita agli assi principali nel polo, che si assume fisso, e scomponendo il vettore $\omega$ secondo tali assi, si arriva alle equazioni di Eulero per il moto di un corpo rigido con un punto fisso, che ora chiamo $O$ :
$I_1dot\omega_1 - (I_2-I_3)\omega_2\omega_3 = M_1(O) + \mu_1(O)$
$I_2dot\omega_2 - (I_3-I_1)\omega_3\omega_1 = M_2(O) + \mu_2(O)$
$I_3dot\omega_3 - (I_1-I_2)\omega_1\omega_3 = M_3(O) + \mu_3(O)$
dove al secondo membro ci sono i momenti delle forze esterne $M_i$ e di quelle di attrito $\mu_i$ rispetto al punto fisso $O$ , scomposti secondo i 3 assi principali $1,2,3$ relativi a tale punto, al primo membro ii momenti di inerzia principali e le componenti di $\vec\omega$ sui tre assi principali in $O$. Queste equazioni sono riferite dunque al sistema "corpo" , e perciò i momenti d'inerzia principali in $O$ sono costanti.
Ma queste equazioni sono piuttosto difficili da risolvere. Esse si semplificano nel caso di una ruota, viste le simmetrie della stessa. Ma già il il caso della "precessione per inerzia" , che si ha quando i secondi membri sono nulli, è difficile da trattare. Figuriamoci quando ci sono momenti di forze esterne non nulli.
Se però uno lo sa fare, che lo faccia!
Sperando di non commettere errori, mi risulta che, per una macchina in curva costante, con piano della ruota verticale, data la velocità angolare della ruota rispetto alla macchina $vecomega_(rm)$, data la velocità angolare della macchina rispetto a terra $vecomega_m$, perpendicolare a $vecomega(rm)$, la velocità angolare della ruota rispetto a terra è data dalla somma delle due, e quindi, proiettando sugli assi del sistema di riferimento solidale alla ruota, indicando con 3 l'asse geometrico di rivoluzione della ruota e con 1 e 2 gli altri due assi ortogonali, si ottiene che la componente sul piano della ruota ruota con una velocità angolare opposta rispetto a $vecomega_(rm)$, cioè
$omega_3=omega_(rm)$
$omega_1=omega_mcos(-omega_(rm)t+phi)$
$omega_2=omega_msin(-omega_(rm)t+phi)$
Da cui, sostituendo nelle equazioni
$I_1omega_momega_(rm)sin(-omega_(rm)t+phi) - (I_2-I_3)omega_msin(-omega_(rm)t+phi)omega_(rm) = M_1(O) + \mu_1(O)$
$-I_2dotomega_momega_(rm)cos(-omega_(rm)t+phi) - (I_3-I_1)omega_(rm)omega_mcos(-omega_(rm)t+phi) = M_2(O) + \mu_2(O)$
$- (I_1-I_2)omega_mcos(-omega_(rm)t+phi)omega_(rm)= M_3(O) + \mu_3(O)$
Per come è fatta la ruota inoltre $I_1=I_2$
Si nota che anche i momenti delle forze (agenti sulla ruota secondo il sistema di riferimento fisso) ruotano rispetto al sistema di riferimento della ruota nel verso oppoto, per cui sono fissi rispetto a terra.
$omega_3=omega_(rm)$
$omega_1=omega_mcos(-omega_(rm)t+phi)$
$omega_2=omega_msin(-omega_(rm)t+phi)$
Da cui, sostituendo nelle equazioni
$I_1omega_momega_(rm)sin(-omega_(rm)t+phi) - (I_2-I_3)omega_msin(-omega_(rm)t+phi)omega_(rm) = M_1(O) + \mu_1(O)$
$-I_2dotomega_momega_(rm)cos(-omega_(rm)t+phi) - (I_3-I_1)omega_(rm)omega_mcos(-omega_(rm)t+phi) = M_2(O) + \mu_2(O)$
$- (I_1-I_2)omega_mcos(-omega_(rm)t+phi)omega_(rm)= M_3(O) + \mu_3(O)$
Per come è fatta la ruota inoltre $I_1=I_2$
Si nota che anche i momenti delle forze (agenti sulla ruota secondo il sistema di riferimento fisso) ruotano rispetto al sistema di riferimento della ruota nel verso oppoto, per cui sono fissi rispetto a terra.
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