Momento angolare quantistico
Salve,
ho già scritto in questo forum per chiedere aiuto su un problema che riguardava un'oscillatore armonico quantistico. Ho ricevuto ottime risposte e ve ne sono grato. Ora vi scrivo per affrontare una altro problema, anche se probabilmente non è niente di che, ma il punto è che ho potuto seguire solo poche lezioni del corso di meccanica quantistica e faccio fatica a rimettere insieme i pezzi. Ecco il testo:
Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l'hamiltoniano:
$H = omega/h(L_+ L_-)$
dove $L_+ L_-$ sono gli operatori a scala del momento angolare.
Al tempo t = 0 le misure simultanee degli osservabili $L^2$ e $L_x$ danno rispettivamente i risultati $2h^2 , h $
- Calcolare il valor medio dell'operatore $L_x$ in funzione del tempo t. (tutte le h vanno considerate "tagliate")
Cosa dovrei fare? c'è una procedura garantita?
Dopo aver notato che, dati i risultati delle misure, doveva essere l=1 , m=1 e dunque, anche se non sò bene perchè, ho usato la rappresentazione matriciale degli operatori a scala , più e meno rispettivamente, come segue:
\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
(trovata nel formulario.pdf fornito dal professore appunto per l=m=1)
Dove manca il fattore, che non sono riuscito a inserire, $sqrt(2)h $
Seguendo alla lettera, ottengo una matrice per H, con fattore $2h omega$ :
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
Ne studio autovalori e autovettori, ottengo :
$lambda_1=0 , lambda_2= 2 h omega $ che dovrebbe rappresentare una situazione degenere, ma almeno il secondo autovalore porta a un sottospazio S , con dim(S)=2 e alla fine si ottengono i tre autovettori coincidenti con la base canica di $R^3$ (per capirci). Scritta così, l'hamiltoniana a quale base si riferisce? gli autovettori dovrei convertirli in un'altra base, credo, magari quella di Lx?
fatto ciò, come proseguo? lo stato inziale chi me lo dà? Lx va applicato a cosa, per ottenere il valore medio?
grazie per l'attenzione, la pazienza e la professionalità
ho già scritto in questo forum per chiedere aiuto su un problema che riguardava un'oscillatore armonico quantistico. Ho ricevuto ottime risposte e ve ne sono grato. Ora vi scrivo per affrontare una altro problema, anche se probabilmente non è niente di che, ma il punto è che ho potuto seguire solo poche lezioni del corso di meccanica quantistica e faccio fatica a rimettere insieme i pezzi. Ecco il testo:
Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l'hamiltoniano:
$H = omega/h(L_+ L_-)$
dove $L_+ L_-$ sono gli operatori a scala del momento angolare.
Al tempo t = 0 le misure simultanee degli osservabili $L^2$ e $L_x$ danno rispettivamente i risultati $2h^2 , h $
- Calcolare il valor medio dell'operatore $L_x$ in funzione del tempo t. (tutte le h vanno considerate "tagliate")
Cosa dovrei fare? c'è una procedura garantita?
Dopo aver notato che, dati i risultati delle misure, doveva essere l=1 , m=1 e dunque, anche se non sò bene perchè, ho usato la rappresentazione matriciale degli operatori a scala , più e meno rispettivamente, come segue:
\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
(trovata nel formulario.pdf fornito dal professore appunto per l=m=1)
Dove manca il fattore, che non sono riuscito a inserire, $sqrt(2)h $
Seguendo alla lettera, ottengo una matrice per H, con fattore $2h omega$ :
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
Ne studio autovalori e autovettori, ottengo :
$lambda_1=0 , lambda_2= 2 h omega $ che dovrebbe rappresentare una situazione degenere, ma almeno il secondo autovalore porta a un sottospazio S , con dim(S)=2 e alla fine si ottengono i tre autovettori coincidenti con la base canica di $R^3$ (per capirci). Scritta così, l'hamiltoniana a quale base si riferisce? gli autovettori dovrei convertirli in un'altra base, credo, magari quella di Lx?
fatto ciò, come proseguo? lo stato inziale chi me lo dà? Lx va applicato a cosa, per ottenere il valore medio?
grazie per l'attenzione, la pazienza e la professionalità
Risposte
Ciao !
L'esercizio ti chiede di calcolare il valor medio di una certa quantità in funzione del tempo . Il tuo stato iniziale non è autoket dell' hamiltoniano , ma combinazione lineare dei vettori che fanno parte della base in cui $H$ è diagonale.
Ora dato che tu ti devi calcolare questa quantità che in generale dipende dal tempo, nel tuo caso $$ sarà funzione di $t$ dato che $L_x$ non commuta con $H$.
Il punto è che ti conviene esprimere il vettore di stato al tempo $t=0$ come combinazione lineare degli autoket di $H$,a quel punto capire come evolve il sistema è immediato, dato che ogni ket di questa nuova base evolve(ruota) con un fattore di fase relativo al suo autovalore.
Ricorda che :
$ L_+L_- = L^2-(L_z)^2+hL_Z $
Ne studio autovalori e autovettori, ottengo ....gli autovettori dovrei convertirli in un'altra base, credo, magari quella di Lx?
L'esercizio ti chiede di calcolare il valor medio di una certa quantità in funzione del tempo . Il tuo stato iniziale non è autoket dell' hamiltoniano , ma combinazione lineare dei vettori che fanno parte della base in cui $H$ è diagonale.
Ora dato che tu ti devi calcolare questa quantità che in generale dipende dal tempo, nel tuo caso $
Il punto è che ti conviene esprimere il vettore di stato al tempo $t=0$ come combinazione lineare degli autoket di $H$,a quel punto capire come evolve il sistema è immediato, dato che ogni ket di questa nuova base evolve(ruota) con un fattore di fase relativo al suo autovalore.
Ricorda che :
$ L_+L_- = L^2-(L_z)^2+hL_Z $
Grazie davvero! In realtà sono cose che più o meno conosco, ma non sò bene come applicarle quando compare l'operatore momento angolare. Per capirci, lo stato iniziale, dopo averlo trovato, dovrà essere scritto come combinazione degli autoket dell'hamiltoniano ( che sono anche banali).
Ma lo stato iniziale dovrei prenderlo dai dati delle misure?
$|psi_0> = |l,m> = |1,1> $ dovrebbe essere lo stato iniziale, essendo assenti $|1,0>$ e $|1,-1> $ ?
Mi sembra di aver visto fare l'associazione:
$|1,1> = (1,0,0) = |psi_1> $
$|1,0> = (0,1,0) = |psi_2>$
$|1,-1> = (0,0,1) = |psi_3>$
Ma così facendo sarebbe banalmente:
$|psi_0> = |1,1> $ ------> $|psi> = |psi_1> = (1,0,0) $
$|psi (t) > = e^(- i2 omega t) (1,0,0) = e^(- i2 omega t) |psi_1>$
A questo punto dovrei calcolare $ $ per trovare il valore medio... anche se mi riesce difficile visualizzare tale calcolo esplicitamente... Penso mi stia sfuggendo qualcosa di importante
Ps: $L_x$ non commuta con H per definizione o è una situazione specifica?
Ma lo stato iniziale dovrei prenderlo dai dati delle misure?
$|psi_0> = |l,m> = |1,1> $ dovrebbe essere lo stato iniziale, essendo assenti $|1,0>$ e $|1,-1> $ ?
Mi sembra di aver visto fare l'associazione:
$|1,1> = (1,0,0) = |psi_1> $
$|1,0> = (0,1,0) = |psi_2>$
$|1,-1> = (0,0,1) = |psi_3>$
Ma così facendo sarebbe banalmente:
$|psi_0> = |1,1> $ ------> $|psi> = |psi_1> = (1,0,0) $
$|psi (t) > = e^(- i2 omega t) (1,0,0) = e^(- i2 omega t) |psi_1>$
A questo punto dovrei calcolare $
Ps: $L_x$ non commuta con H per definizione o è una situazione specifica?
Il tuo stato iniziale però è autoket di $L_x$ , in particolare hai che :
$ <11|_x= 1 /2 (1,sqrt2,1) $
Ho scritto il Bra perché non riuscivo a scrivere il Ket
$ <11|_x= 1 /2 (1,sqrt2,1) $
Ho scritto il Bra perché non riuscivo a scrivere il Ket
Ps: $L_x$ non commuta con H per definizione o è una situazione specifica?
Dipende dal caso , in questo sicuramente no
$ H=homega(L^2-(L_z)^2-hL_z) $
e
$ [H=homega(L^2-(L_z)^2-hL_z),L_x]!= 0 $ dato che $[L_z,L_x]=!=0$
"Light_":
Il tuo stato iniziale però è autoket di $L_x$ , in particolare hai che :
$ <11|_x= 1 /2 (1,sqrt2,1) $
Ho scritto il Bra perché non riuscivo a scrivere il Ket
No aspetta, me lo devi rispiegare bene
Intendi dire che il resto che ho scritto va bene e mi stai suggerendo che per fare l'ultimo passo $
Oppure, più probabilmente, ho sbagliato tutto e mi indichi la retta via?
(comunque sia, grazie mille)
Prego 
Comunque ho l'esame anche io a breve, quindi fa comodo anche a me risolvere questi esercizi
( sarebbe perfetto se avessi la soluzione)
Allora , il sistema al tempo $t=0$ è nello stato quantistico tale che :
$ L^2|psi,t> =2h^2|psi,t> $
$ L_x|psi,t> =h|psi,t> $ ,
siamo quindi in un' autostato di $L^2$ e $L_x$ .
Ora $l=1,m_x=1$ , inoltre $|1,1>_x=1/2(1,sqrt2,1)^T$ con $T$ intendo trasposta,
esprimi questo autostato come combinazione lineare dei vettori della base $L^2,L_z$ , base in cui hai l'hamiltoniana diagonale e dunque un'evoluzione temporale data dall'aggiunta di fasi rotanti(nel tempo)a ciascun autoket di base.
La base di cui sto parlando ,costituita dagli autoket di $L^2,L_z$ è
$ |1,1>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,0>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,-1>_z =(1,0,0)^T$
ora per esprimere lo stato iniziale come comb.lineare di questi vettori, il formalismo di Dirac è utilissimo:
$ |psi,t=0> = |1,1>_x=1/2(1,sqrt2,1)=c_1|1,1>_z+c_2|1,0>_x+c_3|1,-1>_x $
dovresti saperlo , ma per esempio ,
$ c_1= <11|_z11>_x $ .
A questo punto ti cerchi l'evoluzione temporale.
Prima dunque esprimiti bene questo stato iniziale
$|1,1>_x$ , come comb.lineare dei vettori di questa base
$ |1,1>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,0>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,-1>_z =(1,0,0)^T$
Comunque ho l'esame anche io a breve, quindi fa comodo anche a me risolvere questi esercizi
( sarebbe perfetto se avessi la soluzione)
Allora , il sistema al tempo $t=0$ è nello stato quantistico tale che :
$ L^2|psi,t> =2h^2|psi,t> $
$ L_x|psi,t> =h|psi,t> $ ,
siamo quindi in un' autostato di $L^2$ e $L_x$ .
Ora $l=1,m_x=1$ , inoltre $|1,1>_x=1/2(1,sqrt2,1)^T$ con $T$ intendo trasposta,
esprimi questo autostato come combinazione lineare dei vettori della base $L^2,L_z$ , base in cui hai l'hamiltoniana diagonale e dunque un'evoluzione temporale data dall'aggiunta di fasi rotanti(nel tempo)a ciascun autoket di base.
La base di cui sto parlando ,costituita dagli autoket di $L^2,L_z$ è
$ |1,1>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,0>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,-1>_z =(1,0,0)^T$
ora per esprimere lo stato iniziale come comb.lineare di questi vettori, il formalismo di Dirac è utilissimo:
$ |psi,t=0> = |1,1>_x=1/2(1,sqrt2,1)=c_1|1,1>_z+c_2|1,0>_x+c_3|1,-1>_x $
dovresti saperlo , ma per esempio ,
$ c_1= <11|_z11>_x $ .
A questo punto ti cerchi l'evoluzione temporale.
Prima dunque esprimiti bene questo stato iniziale
$|1,1>_x$ , come comb.lineare dei vettori di questa base
$ |1,1>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,0>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,-1>_z =(1,0,0)^T$
"Light_":
Prego
Ora $l=1,m_x=1$ , inoltre $|1,1>_x=1/2(1,sqrt2,1)^T$ con $T$ intendo trasposta,
Innanzitutto grazie per la risposta e per la sua completezza. Ho citato quel pezzo di risposta perchè non capisco da dove sorga tale ugualianza.
Però mi hai illuminato sul fatto che la corrispondenza da me usata , e anche da te:
$∣1,1>=(1,0,0)T $
$∣1,0>=(0,1,0)T $
$∣1,−1>=(0,0,1)T $
vale dunque solo nella base di $ L_z $ (perchè? Lx e Ly si sono comportati male invece?
) e che tale base magica diagonalizza anche H. Voglio dire : a quel che sapevo $ [L_+,L^2] =0 , [L_-,L^2] =0 $ ma è anche vero che ogni $L_i$ commuta con $L^2$ . Dunque essendo l'hamiltoniana espressa in termini di L+- allora essa commuta con L^2 e dunque anche con Lx,y,z e non solo con L_z ... ma probabilmente stò dicendo cavolate.Accettando tutto senza fare troppe storie, comunque , dovrei scrivere $1/2(1,sqrt2,1) = alpha_1 (1,0,0)+alpha_2 (0,1,0) + alpha_3 (0,0,1) $
così facendo esprimo lo stato iniziale (inizialmente definito dai dati delle misure su $L_x$) nella famosa base di $ Lz, L^2 $
Mi sfugge però l'esigenza di tutte queste macchinazioni. Non si potrebbe lasciare tutto nei termini di $L_x$ dal momento che è questa la quantità desiderata?
Mi sfugge però l'esigenza di tutte queste macchinazioni. Non si potrebbe lasciare tutto nei termini di Lx dal momento che è questa la quantità desiderata?
Il tutto si riduce al fatto che se lo stato al tempo $t=0$ è espresso come comb.lineare degli autoket dell'hamiltoniana puoi ottenere immediatamente l'evoluzione temporale. In quasi tutti i problemi che ho fatto finora di M.Q , si cerca la base in cui H è diagonale e si esprime lo stato al tempo iniziale come c.l di questi vettori.
Se l'hamiltoniana fosse stata
$ H=alphaomegaL_x $ con \( \alpha \in \Re \)
allora potevi rimanere con quel vettore di stato e trovarti l'evoluzione temporale da subito.
perchè? Lx e Ly si sono comportati male invece?
No è una convenzione
, dato il set completo $ |1,1>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,0>_z =(1,0,0)^T $
$ |1,-1>_z =(1,0,0)^T$
puoi esprimere gli operatori momento angolare delle altre componenti a partire da questi vettori ,
ma in questa base Lz è diagonale, è una scelta
$ L_z=h/2( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
ti ringrazio nuovamente... sei stato molto cortese e prolisso, non ti sei sprecato 
potresti giusto quindi gentilmente svelarmi da dove arriva la relazione
$ |1,1>_x = 1/2 (1,sqrt(2),1)^T $
potresti giusto quindi gentilmente svelarmi da dove arriva la relazione
$ |1,1>_x = 1/2 (1,sqrt(2),1)^T $
Su quale libro studi ?
Comunque un' idea è questa , definiti i due operatori
$ L_+- =L_x+-iL_y $ hai che
$ L_x=1/2(L_++L_-) , L_y=1/(2i)(L_+ -L_-) $
Da queste relazione calcoli gli elementi di matrice di $L_(x,y)$ , per esempio
$ =1/2 $ , una volta che hai calcolato la matrice ,
puoi conoscere i suoi autovalori, autovettori ... Inoltre ricorda che puoi sempre verificare il risultato ottenuto, infatti deve valere:
$ [L_i,L_j]=ihepsilon _(ijk)L_k $
Comunque un' idea è questa , definiti i due operatori
$ L_+- =L_x+-iL_y $ hai che
$ L_x=1/2(L_++L_-) , L_y=1/(2i)(L_+ -L_-) $
Da queste relazione calcoli gli elementi di matrice di $L_(x,y)$ , per esempio
$
puoi conoscere i suoi autovalori, autovettori ... Inoltre ricorda che puoi sempre verificare il risultato ottenuto, infatti deve valere:
$ [L_i,L_j]=ihepsilon _(ijk)L_k $
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