Momento angolare, meccanica quantistica

[zio_paperone]

è data l'autofunzione normata $|l,m>$ degli operatori $L^2$ e $L_z$
con l=1 e m=-1,0,1

sappiamo che
$L^2 |l,m> = \bar h^2 l(l+1) |l,m>$
$L_z |l,m> = \bar h |l,m>$

dice, usando gli operatori $L_+$ ed $L_-$, calcolare l'azione di $L_x$ su $|l,m>$

..

ora so che gli operatori sono definiti così:
$L_+ = L_x + i L_y $
$L_- = L_x - i L_y $

quindi è facile dire che

$L_x = 1/2 (L_+ + L_-)$

quindi penso che devo calcolare

$L_x |l,m> = 1/2 (L_+ + L_-) |l,m>$

quindi il problema è ora l'azione di questi opreratori scala sulla funzione:

$L_+ |l,m> = ???$

$L_- |l,m> = ???$

come si fa ad andare avanti? è la strada giusta? e cosa c'entrano $L^2$ e $L_z$ ?

[Cmax1]

Usa i commutatori $[L_z,+-L_{+-}]=+-L_{+-}$. Comunque mi sembra che sul Landau ci siano i passaggi espliciti (e credo anche sul Sakurai), oppure li trovi sugli appunti di Konishi.

[Eredir]

Per essere consistente con le tue unità di misura devi usare $[L_z,L_{+-}] = +-hL_{+-}$.
Per trovare l'azione di $L_+$ basta calcolare $hL_+|l,m> = [L_z,L_+]|l,m> = L_zL_+|l,m> - L_+L_z|l,m> = L_zL_+|l,m> - hmL_+|l,m>$, da cui segue che $L_zL_+|l,m> = h(m+1)L_+|l,m>$, ovvero che $L_+|l,m>$ è autovettore di $L_z$ con autovalore $h(m+1)$. Questo vuol dire che $L_+|l,m>$ deve essere proporzionale a $|l,m+1>$, ovvero $L_+|l,m> = c|l,m+1>$, dove $c$ è una costante di proporzionalità da determinare.
Per determinare la costante osserviamo che $L_+^{**}L_+ = (L_x-iL_y)(L_x+iL_y) = L_x^2+i[L_x,L_y]+L_y^2 = L^2-L_z^2-hL_z$, avendo usato $[L_x,L_y]=ihL_z$. Quindi $ = = h^2[l(l+1)-m^2-m]$. Però abbiamo anche $L_+|l,m> = c|l,m+1>$ di cui possiamo calcolare la norma $ = c^2$, perciò questo ci permette di concludere che $c=h\sqrt(l(l+1)-m(m+1))$.
Puoi ripetere il conto in maniera analoga per quanto riguarda $L_-$.

[zio_paperone]

ok! grazie mille! penso che il mio problema sia risolto! bello anche il link!