Momento angolare ed asse di rotazione
Salve, prendiamo un corpo rigido ruotante con una certa velocità angolare intorno ad un certo asse. Il momento angolare totale è lo stesso rispetto ad un qualsiasi punto dell'asse di rotazione?
Grazie!
Grazie!
Risposte
Il momento angolare di un qualsiasi punto del corpo rispetto a un punto dell'asse di rotazione è il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto del punto. Basta immaginarsi bene la cosa e si capisce che cambiando il punto sull'asse il momento angolare cambia, però non cambia la componente del momento angolare lungo l'asse.
Dunque sommando tutti i contributi del corpo la risposta finale è che cambia il momento angolare ma rimane costante la sua componente assiale.
Dunque sommando tutti i contributi del corpo la risposta finale è che cambia il momento angolare ma rimane costante la sua componente assiale.
Quindi il vettore momento angolare totale istantaneo di un corpo rigido ruotante intorno ad un certo asse ad una velocità istantanea $vec w$ cambia al cambiare del punto sull'asse rispetto al quale lo si calcola?
"lisdap":
Quindi il vettore momento angolare totale istantaneo di un corpo rigido ruotante intorno ad un certo asse ad una velocità istantanea $vec w$ cambia al cambiare del punto sull'asse rispetto al quale lo si calcola?
Sì, ma solo se siamo nel caso in cui il vettore momento angolare non è allineato col vettore velocità angolare, cioè se possiede componenti dirette in modo perpendicolare all'asse di rotazione.
Questo accade solo se l'asse di rotazione non è un asse principale di inerzia. Se invece è un asse principale di inerzia, allora c'è solo la componente assiale del momento angolare, e questa non varia al variare del punto.
Ok, allora permettimi di ricapitolare. Prendiamo un corpo rigido omogeneo, ruotante intorno al suo asse di simmetria. Prendiamo un punto del corpo ed il suo simmetrico. Ognuno di questi due punti avrà un vettore quantità di moto. Questi due vettori, che sono uguali ed opposti, sono praticamente uguali ad una coppia di forze, e per una coppia di forze sappiamo che il momento totale è indipendente dal polo rispetto a cui lo si calola. Quindi il momento angolare totale di questi due punti è indipendente dal polo rispetto a cui lo si calcola. Estendendo tale ragionamento a tutti i punti del corpo, è evidente che il vettore momento angolare totale è lo stesso qualsiasi sia il punto rispetto a cui lo si calcola (anche al di fuori dell'asse).
Se ora prendiamo un corpo omogeneo ruotante intorno ad un asse non di simmetria, oppure non omogeneo ruotante attorno ad un asse di simmetria, si verifica che il ragionamento descritto sopra non è più valido (essendo la massa non distribuita uniformemente oppure essendo il corpo non simmetrico), e quindi il vettore momento angolare totale varia al variare del punto sull'asse rispetto a cui lo calcolo (e in generale non è più indipendente dal punto). Va bene?
Grazie.
Se ora prendiamo un corpo omogeneo ruotante intorno ad un asse non di simmetria, oppure non omogeneo ruotante attorno ad un asse di simmetria, si verifica che il ragionamento descritto sopra non è più valido (essendo la massa non distribuita uniformemente oppure essendo il corpo non simmetrico), e quindi il vettore momento angolare totale varia al variare del punto sull'asse rispetto a cui lo calcolo (e in generale non è più indipendente dal punto). Va bene?
Grazie.
Mi pare di sì.
"Falco5x":
Mi pare di sì.
Ok, concludo il discorso dicendo poi che, qualunque sia il corpo e qualunque sia l'asse rispetto al quale esso ruota, la componente assiale del momento angolare totale è indipendente dal polo.
Ciao, ti faccio quest'altra domanda visto che ho qualche dubbio in proposito. Prendiamo un corpo rigido che ruoti intorno ad un asse fisso con velocità angolare $vec w$, montato su supporti. Sia assente la forza peso. Ogni punto del corpo rigido si muoverà con velocità angolare $vec w$ lungo una circonferenza di raggio pari alla distanza del punto dall'asse di rotazione, e dunque ogni punto sarà sottoposto ad una forza centripeta di modulo $mw^2r$ più o meno forte a seconda di quanto vale $r$. Da chi è esercitata la forza centripeta che agisce sul punto $i$? Questa forza centripeta non può che essere esercitata dal punto "adiacente" al punto $i$, che per il principio di azione e reazione è soggetto ad una forza uguale e contraria a quella che ha esercitato sul punto $i$. Il punto adiacente a sua volta avrà bisogno di una certa forza centripeta per muoversi con velocità $vec w$ lungo la sua traiettoria circolare, e tale forza centripeta gli sarà applicata dal punto immediatamente successivo. Iterando questo discorso a tutti i punti del solido, avremo che i punti che costituiscono l'asse di rotazione sono soggetti a delle forze di reazione esercitate dai punti del sistema rigido. Dunque, affinchè l'asse di rotazione rimanga fermo, è necessario contrastare tali forze interne applicando all'asse delle forze esterne, tramite dei supporti o dei cuscinetti appunto. Tali forze esterne, inoltre, sono ovviamente coerenti con il moto del centro di massa del corpo rigido durante la rotazione. Dunque, se il centro di massa del corpo rigido si trova, durante la rotazione, a distanza $|vec r_c|$ dall'asse, possiamo concludere che la risultante delle forze esterne esercitate dai supporti sull'asse di rotazione è $-mw^2vec r_c$. Questo è il discorso (più sintetico a dire il vero) che fa il mio libro. Quello che non ho capito è questo.
Perchè il momento delle forze esterne rispetto all'origine di un riferimento fisso esterno al corpo rigido viene calcolato integrando sulla distribuzione di massa i momenti elementari generati dalle singole forze centripete che agiscono sui vari punti del corpo?
Grazie!
Perchè il momento delle forze esterne rispetto all'origine di un riferimento fisso esterno al corpo rigido viene calcolato integrando sulla distribuzione di massa i momenti elementari generati dalle singole forze centripete che agiscono sui vari punti del corpo?
Grazie!
"Falco5x":
cambiando il punto sull'asse il momento angolare cambia, però non cambia la componente del momento angolare lungo l'asse.
È carino vedere questa cosa, secondo me, prendendo l'equazione di una vite $vecs(P)-vecs(Q)=vecS xx(P-Q)$ e moltiplicando scalarmente per $(P-Q)$, ottenendo $vec s(P)*(P-Q)=vecs(Q)*(P-Q)$. In questo caso l'asse è l'asse della vite.
"lisdap":
Ciao, ti faccio quest'altra domanda visto che ho qualche dubbio in proposito. Prendiamo un corpo rigido che ruoti intorno ad un asse fisso con velocità angolare $vec w$, montato su supporti. Sia assente la forza peso. Ogni punto del corpo rigido si muoverà con velocità angolare $vec w$ lungo una circonferenza di raggio pari alla distanza del punto dall'asse di rotazione, e dunque ogni punto sarà sottoposto ad una forza centripeta di modulo $mw^2r$ più o meno forte a seconda di quanto vale $r$. Da chi è esercitata la forza centripeta che agisce sul punto $i$? Questa forza centripeta non può che essere esercitata dal punto "adiacente" al punto $i$, che per il principio di azione e reazione è soggetto ad una forza uguale e contraria a quella che ha esercitato sul punto $i$. Il punto adiacente a sua volta avrà bisogno di una certa forza centripeta per muoversi con velocità $vec w$ lungo la sua traiettoria circolare, e tale forza centripeta gli sarà applicata dal punto immediatamente successivo. Iterando questo discorso a tutti i punti del solido, avremo che i punti che costituiscono l'asse di rotazione sono soggetti a delle forze di reazione esercitate dai punti del sistema rigido. Dunque, affinchè l'asse di rotazione rimanga fermo, è necessario contrastare tali forze interne applicando all'asse delle forze esterne, tramite dei supporti o dei cuscinetti appunto. Tali forze esterne, inoltre, sono ovviamente coerenti con il moto del centro di massa del corpo rigido durante la rotazione. Dunque, se il centro di massa del corpo rigido si trova, durante la rotazione, a distanza $|vec r_c|$ dall'asse, possiamo concludere che la risultante delle forze esterne esercitate dai supporti sull'asse di rotazione è $-mw^2vec r_c$. Questo è il discorso (più sintetico a dire il vero) che fa il mio libro. Quello che non ho capito è questo.
Perchè il momento delle forze esterne rispetto all'origine di un riferimento fisso esterno al corpo rigido viene calcolato integrando sulla distribuzione di massa i momenti elementari generati dalle singole forze centripete che agiscono sui vari punti del corpo?
Grazie!
Rispondo anche se non sono sicuro di aver capito il dubbio.
Prendiamo un riferimento solidale con il corpo rotante e asse di rotazione coincidente con l'asse z.
Ogni elemento di massa appartenente al corpo è soggetto a una forza apparente centriuga di valore $\omega^2rdm$ diretta in senso ortogonale rispetto all'asse z.
Se la distribuzione di massa del corpo è tale per cui per ogni dm avente una certa forza centrifuga ne esiste un'altra avente forza opposta e allineata con la precedente (cioè formano coppia nulla) il corpo è in equilibrio senza altri aiuti.
Ma se invece esiste una forza netta centrifuga diversa da zero oppure una coppia totale netta diversa da zero dovuta ad asimmatrie della distribuzione delle forze centrifughe nel corpo, allora supponendo due vincoli fissi tipo cuscinetto entro i quali si trova a ruotare l'asse z, questi per mantenere fermo il corpo nel sistema solidale con esso devono fornire sia la spinta sia la coppia uguale e contraria alla spinta e coppia centrifughe nette risultanti (avendo scelto il sistema di riferimento solidale con il corpo abbiamo semplificato il problema riducendolo a un problema di statica).
Era questo il dubbio?
La forza centrifuga (o centripeta, se prendiamo un riferimento esterno) che agisce su ogni particella $dm$ è interna o esterna?
"lisdap":
La forza centrifuga (o centripeta, se prendiamo un riferimento esterno) che agisce su ogni particella $dm$ è interna o esterna?
Esterna, è come se fosse un campo gravitazionale, però non costante. Insomma è un campo a potenziale esterno.
Ecco, è questo che non capisco, perchè è una forza esterna? Prendiamo un sasso collegato ad una fune che afferriamo ad un estremo e facciamolo roteare. Sul sasso agirà una forza centripeta, e tale forza centripeta gli sarà esercitata dalla nostra mano (forza interna) tramite il filo. Quindi, per il principio di azione e reazione la mano sarà soggetta ad una forza uguale ed opposta, e dunque, affinché essa rimanga ferma, è necessario applicarvi una forza esterna uguale ed opposta.
Nel caso in cui tra l'asse di rotazione e l'elemento $dm$ considerato ci sono altri elementi di massa, la forza centripeta che agisce su ognuno di essi è esercitata dagli elementi adiacenti, dunque, per come la vedo io, è una forza interna. Poi tutte queste forze si vanno a scaricare sui punti dell'asse di rotazione, sul quale dovranno eventualmente agire opportune forze esterne allo scopo di tenerlo fermo. Insomma, non capisco perchè la forza centripeta agente sull'elemento di massa $dm$ è esterna e non interna. Ti ringrazio!
Nel caso in cui tra l'asse di rotazione e l'elemento $dm$ considerato ci sono altri elementi di massa, la forza centripeta che agisce su ognuno di essi è esercitata dagli elementi adiacenti, dunque, per come la vedo io, è una forza interna. Poi tutte queste forze si vanno a scaricare sui punti dell'asse di rotazione, sul quale dovranno eventualmente agire opportune forze esterne allo scopo di tenerlo fermo. Insomma, non capisco perchè la forza centripeta agente sull'elemento di massa $dm$ è esterna e non interna. Ti ringrazio!
Se fosse una forza interna essa verrebbe annullata dalla coesione tra due dm adiacenti. Ad esempio se le dm fossero due cariche elettriche che si respingono, collegandole con un filo inestensibile la tensione di questo filo annullerebbe la forza interna e la coppia di cariche non sarebbe soggetta ad alcuna altra forza.
Qui invece devi immaginare come se ciascuna dm fosse indipendentemente collegata all'asse di rotazione con un filo inestensibile e quindi la forza centripeta trasmessa alle dm dalla tensione del filo dovrebbe venire offerta dall'asse e siccome questo è incernierato su dei cuscinetti, alla fine la forza centripeta dovrebbe venire offerta dalla reazione di questi cuscinetti. E mi sembra fuori di dubbio che la reazione dei cuscinetti sia una forza esterna rispetto alla massa rotante.
Qui invece devi immaginare come se ciascuna dm fosse indipendentemente collegata all'asse di rotazione con un filo inestensibile e quindi la forza centripeta trasmessa alle dm dalla tensione del filo dovrebbe venire offerta dall'asse e siccome questo è incernierato su dei cuscinetti, alla fine la forza centripeta dovrebbe venire offerta dalla reazione di questi cuscinetti. E mi sembra fuori di dubbio che la reazione dei cuscinetti sia una forza esterna rispetto alla massa rotante.
"Falco5x":
Se fosse una forza interna essa verrebbe annullata dalla coesione tra due dm adiacenti. Ad esempio se le dm fossero due cariche elettriche che si respingono, collegandole con un filo inestensibile la tensione di questo filo annullerebbe la forza interna e la coppia di cariche non sarebbe soggetta ad alcuna altra forza.
Qui invece devi immaginare come se ciascuna dm fosse indipendentemente collegata all'asse di rotazione con un filo inestensibile e quindi la forza centripeta trasmessa alle dm dalla tensione del filo dovrebbe venire offerta dall'asse e siccome questo è incernierato su dei cuscinetti, alla fine la forza centripeta dovrebbe venire offerta dalla reazione di questi cuscinetti. E mi sembra fuori di dubbio che la reazione dei cuscinetti sia una forza esterna rispetto alla massa rotante.
Ciao Falco5x, ripensandoci non sono ancora convinto al 100% di quello che hai scritto, anzi, penso che la mia visione e la tua siano perfettamente equivalenti.
Mi spiego meglio. Consideriamo un'asta rigida che ruota intorno ad un asse fisso passante per un suo estremo. Ogni elemento di massa dm si muoverà lungo una traiettoria circolare di raggio pari alla distanza che esso presenta dall'asse di rotazione. Siccome un punto che ruota su una circonferenza è sottoposto ad una forza centripeta, possiamo concludere che su ogni punto dell'asta deve agire una RISULTANTE di forze che sia pari alla forza centripeta di cui esso ha bisogno. Per semplicità, supponiamo di dividere l'asta in tanti quadratini elementari come in figura. Sia assente la forza peso. Il quadratino più in alto avrà bisogno di una forza centripeta, desegnata in blu. Tale forza, interna, non può che essergli esercitata dall'elemento di massa più in basso; quest'ultimo, dunque, per il principio di azione e reazione dovrà essere sottoposto ad una forza uguale ed opposta a quella blu che ha esercitato sul quadratino in alto. Il quadratino in mezzo, però, avrà bisogno di una risultante di forze pari alla forza centripeta che gli serve, e dunque sarà sottoposto ad una forza (in rosso) da parte dell'asse di rotazione. Per il principio di azione e reazione l'asse sarà sottoposto ad una forza uguale ed opposta. Ora, affinché l'asse rimanga fermo durante la rotazione, è necessario agire dall'esterno esercitando su di esso una forza uguale ed opposta (in verde) a quella rossa. La forza verde è la forza esterna, mentre le altre sono tutte interne. E' evidente che la forza verde esterna esercitata sull'asse ha modulo pari alla somma dei moduli delle singole forze centripete interne che agiscono sui vari elementi dm.
Infine, il momento delle forze esterne calcolato rispetto ad un certo polo è pari al momento della forza in verde calcolato rispetto a quel polo. Ai fini del calcolo del momento totale delle forze esterne rispetto ad un certo polo, un altro possibile punto di vista, che credo sia il tuo e quello del mio testo è il seguente.
Anziché fare il ragionamento complicato che ho fatto io (il mio cervello non trova pace la notte
) si può pensare che i singoli dm siano sottoposti ognuno ad una sola forza, la forza centripeta, che si suppone esterna, mentre all'asse non è applicata alcuna forza esterna. La forza esterna in verde applicata all'asse (situazione 1) e le singole forze centripete esterne agenti sui vari dm (situazione 2, mentre all'asse non è applicata alcuna forza esterna) sono perfettamente equivalenti ai fini del momento delle forze totale. Infatti questi due sistemi di forze presentano la stessa risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un qualunque polo fisso. Quindi, se voglio calcolare il momento totale ho due possibilità:1) ragionare sulla configurazione di forze che ho proposto io e calcolare il momento della forza verde rispetto al polo scelto;
2) ragionare sulla configurazione di forze da te proposta (ossia, su ogni dm agisce una forza centripeta esterna e basta) e calcolare il momento totale di tali forze integrando su tutta la massa del corpo.
Se prendiamo ora un corpo rigido di forma arbitraria, esso si può scomporre in tante "asticelle" elementari di questo tipo e quindi si possono riapplicare i ragionamenti finora fatti. Sui vari punti dell'asse di rotazione dovranno dunque agire delle forze esterne che controbilancino le spinte delle forze interne applicate all'asse. Tali forze esterne saranno esercitate dai supporti ai quali l'asse è vincolato e la loro risultante è coerente con il moto del centro di massa del sistema.
Siccome la risultante delle forze esterne applicate ai vari punti dell'asse è un sistema di forze equivalente al sistema costituito dall'insieme delle forze centripete che agiscono sui singoli elementi dm, si ha che questi due sistemi sono interscambiabili. Quindi, se voglio calcolare il momento risultante delle forze esterne rispetto ad un certo polo ho due modi:
1) Vedere il tutto come ho fatto io e calcolare il momento che le varie forze esterne applicate ai punti dell'asse presentano rispetto al polo scelto;
2) Vedere il tutto come hai fatto tu (più semplice
) cioè pensare che ad ogni elemento dm è applicata una forza esterna pari alla forza centripeta di cui esso ha bisogno. Il momento totale di queste forze rispetto ad un certo polo si otterrà integrando su tutta la massa il momento delle forze centripete esterne elementari (come ha fatto il mio libro). Insomma, io penso che il mio ed il tuo modo di vedere la questione siano equivalenti. Che ne dici?
Questa è la figura, per chiarire le idee.
Ciao
Mi sembra che col tuo ragionamento ti complichi inutilmente la vita.
Prendiamo la tua asta suddivisa in cubi a consideriamo solo l'ultimo cubo, quello più esterno. Il resto dell'asta lo consideriamo solo ai fini della trasmissione meccanica degli sforzi, per cui lo pensiamo per il momento senza massa. La sua funzione è trasferire semplicemente al cubetto dm la forza centripeta offerta all'asse, come fosse un semplice spago privo di massa. Infatti se noi pensiamo questa porzione di asta senza massa a sua volta costituita di cubetti privi di massa, nell'interfaccia tra ogni cubetto e quello adiacente ci sono 2 forze interne opposte che si annullano a vicenda. Lo scopo dell'asta rimane solo quello di trasferire dall'asse al cubetto dm la forza esterna centripeta che gli serve. Dunque possiamo pensare che il cubetto sia collegato direttamente all'asse mediante un sistema rigido privo di massa, e che prenda direttamente dall'asse la forza che gli serve. La sommatoria delle forze interne lungo l'asta priva dimassa si annulla da sola per cui perché tenerne conto? è solo una inutile complicazione.
Poi prendiamo il penultimo cubetto del quale è costituita l'asta e consideriamone adesso il contributo massivo dm, e reiteriamo il concetto di trasmissione dello sforzo centripeto lungo il resto dell'asta senza massa, come già fatto per il primo cuìbetto.
Alla fine quando avremo esaurito i cubetti avremo considerato tutta la massa dell'asta e ci saremo disinteressati delle forze interne lungo essa, che si annullano tutte tra loro.
Secondo me questo è il modo di ragionare più semplice che ti conviene utilizzare.
E vedi di dormire la notte, o almeno di occuparti d'altro di più piacevole!!!
Ciao.
Prendiamo la tua asta suddivisa in cubi a consideriamo solo l'ultimo cubo, quello più esterno. Il resto dell'asta lo consideriamo solo ai fini della trasmissione meccanica degli sforzi, per cui lo pensiamo per il momento senza massa. La sua funzione è trasferire semplicemente al cubetto dm la forza centripeta offerta all'asse, come fosse un semplice spago privo di massa. Infatti se noi pensiamo questa porzione di asta senza massa a sua volta costituita di cubetti privi di massa, nell'interfaccia tra ogni cubetto e quello adiacente ci sono 2 forze interne opposte che si annullano a vicenda. Lo scopo dell'asta rimane solo quello di trasferire dall'asse al cubetto dm la forza esterna centripeta che gli serve. Dunque possiamo pensare che il cubetto sia collegato direttamente all'asse mediante un sistema rigido privo di massa, e che prenda direttamente dall'asse la forza che gli serve. La sommatoria delle forze interne lungo l'asta priva dimassa si annulla da sola per cui perché tenerne conto? è solo una inutile complicazione.
Poi prendiamo il penultimo cubetto del quale è costituita l'asta e consideriamone adesso il contributo massivo dm, e reiteriamo il concetto di trasmissione dello sforzo centripeto lungo il resto dell'asta senza massa, come già fatto per il primo cuìbetto.
Alla fine quando avremo esaurito i cubetti avremo considerato tutta la massa dell'asta e ci saremo disinteressati delle forze interne lungo essa, che si annullano tutte tra loro.
Secondo me questo è il modo di ragionare più semplice che ti conviene utilizzare.
E vedi di dormire la notte, o almeno di occuparti d'altro di più piacevole!!!
Ciao.
"Falco5x":
E vedi di dormire la notte, o almeno di occuparti d'altro di più piacevole!!!
Stanotte festeggerò il 26 preso oggi all'esame di Fisica 1, domani penserò alla questione momento angolare
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