Momento angolare e autofunzioni
Esprimere le autofunzioni della componente $x$ del momento angolare, $Lx$, appartenenti all’ autovalore $2h^2$
di $L^2$ in termini delle autofunzioni di $Lz$.
Calcolare, per ciascun stato, le probabilità relative dei possibili valori di $Lz$.
Salve a tutti, immagino che questo problema non sia per nulla difficile ma ,nonostante abbia studiato la teoria del momento angolare, non riesco ad applicare quello che ho studiato... Potete darmi qualche dritta?
Per la prima parte, se l' autovalore di $L^2$ è $2h^2$, allora $l=1$ perche $L^2|lm> $ è $h^2l(l+1)|lm>$
e per $l=1$, $m=-1;0,1$. $Lz$ può essere rappresentata come una matrice diagonale nella base dei suoi autostati mentre immagino che $Lx$ non sia diagonale in quella base ma non so come procedere materialmente, dovrei diagonalizzare la matrice? fare un' espansione nella base delle autofunzioni di $Lz$, come la scrivo?
di $L^2$ in termini delle autofunzioni di $Lz$.
Calcolare, per ciascun stato, le probabilità relative dei possibili valori di $Lz$.
Salve a tutti, immagino che questo problema non sia per nulla difficile ma ,nonostante abbia studiato la teoria del momento angolare, non riesco ad applicare quello che ho studiato... Potete darmi qualche dritta?
Per la prima parte, se l' autovalore di $L^2$ è $2h^2$, allora $l=1$ perche $L^2|lm> $ è $h^2l(l+1)|lm>$
e per $l=1$, $m=-1;0,1$. $Lz$ può essere rappresentata come una matrice diagonale nella base dei suoi autostati mentre immagino che $Lx$ non sia diagonale in quella base ma non so come procedere materialmente, dovrei diagonalizzare la matrice? fare un' espansione nella base delle autofunzioni di $Lz$, come la scrivo?
Risposte
Come dici giustamente abbiamo un momento angolare $l=1$
La matrice $l_z$ è
$h((1,0,0),(0,0,0),(0,0,-1))$
Gli autovalori sono $lambda=h,0,-h$
Gli autostati sono
$psi_(z1)=(1,0,0)$
$psi_(z0)=(0,1,0)$
$psi_(z-1)=(0,0,1)$
Come possiamo trovare la matrice $l_z$?
Definiamo l'operatore
$l_(+-)|lm> =h(l(l+1)-m(m+-1))^(1/2)|l(m+-1)>$
In forma matriciale (puoi fare le prove con gli autostati di $l_z$ per convicerti) si scrive come
$l_+=h*sqrt(2)( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
e
$l_(-)=h*sqrt(2)( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1, 0 ) )$
Dalla teoria sai che $l_(+-)=l_x+-l_y$
Quindi possiamo ottenere con le formule inverse $l_x$ e $l_y$. In particolare
$l_x=1/2(l_++l_(-))$
Adesso abbiamo $l_x$
$l_x=h/sqrt(2)( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) )$
Possiamo calcolare gli autovalori di questa matrice e otteniamo (naturalmente) $lambda=h,0,-h$
Se diagonalizzi la matrici cosa ottieni? $l_z$ naturalmente. Questo vuol dire che la direzione $z$ è del tutto arbitraria, ogni direzione vale l'altra. Abbiamo forme diverse della matrice perché queste non possono commutare (lo sappiamo dalla teoria degli operatori), ovvero non puoi misurare $l_x$ e contemporaneamente $l_z$
Quello che devi fare adesso è calcolare gli autostati relativi a questi autovalori, avrai qualcosa del tipo
$psi_(x1)=(a,b,c)$ che esprimerai nella base di $l_z$ come
$psi_(x1)=apsi_(z1)+bpsi_(z0)+cpsi_(z-1)$
Spero ti sia di aiuto, se hai ancora problemi vedrò di essere più chiaro o di darti i risultati se ne hai bisogno
La matrice $l_z$ è
$h((1,0,0),(0,0,0),(0,0,-1))$
Gli autovalori sono $lambda=h,0,-h$
Gli autostati sono
$psi_(z1)=(1,0,0)$
$psi_(z0)=(0,1,0)$
$psi_(z-1)=(0,0,1)$
Come possiamo trovare la matrice $l_z$?
Definiamo l'operatore
$l_(+-)|lm> =h(l(l+1)-m(m+-1))^(1/2)|l(m+-1)>$
In forma matriciale (puoi fare le prove con gli autostati di $l_z$ per convicerti) si scrive come
$l_+=h*sqrt(2)( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
e
$l_(-)=h*sqrt(2)( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1, 0 ) )$
Dalla teoria sai che $l_(+-)=l_x+-l_y$
Quindi possiamo ottenere con le formule inverse $l_x$ e $l_y$. In particolare
$l_x=1/2(l_++l_(-))$
Adesso abbiamo $l_x$
$l_x=h/sqrt(2)( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) )$
Possiamo calcolare gli autovalori di questa matrice e otteniamo (naturalmente) $lambda=h,0,-h$
Se diagonalizzi la matrici cosa ottieni? $l_z$ naturalmente. Questo vuol dire che la direzione $z$ è del tutto arbitraria, ogni direzione vale l'altra. Abbiamo forme diverse della matrice perché queste non possono commutare (lo sappiamo dalla teoria degli operatori), ovvero non puoi misurare $l_x$ e contemporaneamente $l_z$
Quello che devi fare adesso è calcolare gli autostati relativi a questi autovalori, avrai qualcosa del tipo
$psi_(x1)=(a,b,c)$ che esprimerai nella base di $l_z$ come
$psi_(x1)=apsi_(z1)+bpsi_(z0)+cpsi_(z-1)$
Spero ti sia di aiuto, se hai ancora problemi vedrò di essere più chiaro o di darti i risultati se ne hai bisogno
"Spremiagrumi":
Possiamo calcolare gli autovalori di questa matrice e otteniamo (naturalmente) $lambda=h,0,-h$]]
Come mai dici "naturalmente"? Forse perchè $L^2$ commuta con qualsiasi componente del momento angolare e quindi $Lz$ è equivalente a $Lx$? Se il problema mi chiedeva il contrario, e cioè di espandere le autofunzioni di $z$ nella base delle autofunzioni della componente $x$ di $L$, cosa avrei dovuto fare? In questo caso immagino che avrei scritto la matrice $Lx$ in forma diagonale (così come hai scritto quella di $Lz$) e successivamente avrei ricavato la matrice di $Lz$ sempre con gli operatori gradino... Sarebbe stato giusto?
Quello che devi fare adesso è calcolare gli autostati relativi a questi autovalori, avrai qualcosa del tipo
$psi_(x1)=(a,b,c)$ che esprimerai nella base di $l_z$ come
$psi_(x1)=apsi_(z1)+bpsi_(z0)+cpsi_(z-1)$
Ok allora proviamo:
Per l' autovalore $0$
$y=0$
$x+z=0$
$y=0$
assumo $x=t$ e ho $t(1,0-1)$
Per l' autovalore $h$
$-x+y/sqrt(2)=0$
$x/sqrt(2)-y+z/sqrt(2)=0$
$y/sqrt(2)-z=0$
assumo $x=t$ e ho $t(1,sqrt(2),1)$
Per l' autovalore $-h$
si ha un sistema analogo al precedente dove
assumo nuovamente $x=t$ e ho $t(1,-sqrt(2),1)$
Gli autostati sono:
$v(0)=(1,0-1)$
$v(1)=(1,sqrt(2),1)$
$v(-1)=(1,-sqrt(2),1)$
Nella base di $lz$ che poi è la base canonica avro:
$v(0)=psi_(z1)-psi_(z-1)$
$v(1)=psi_(z1)+sqrt(2)psi_(z0)+psi_(z-1)$
$v(-1)=psi_(z1)-sqrt(2)psi_(z0)+psi_(z-1)$
Spero ti sia di aiuto, se hai ancora problemi vedrò di essere più chiaro o di darti i risultati se ne hai bisogno
ti ringrazio molto per l' aiuto che mi hai dato, ho svolto bene i calcoli?
Per la seconda domanda puoi chiarirmi le idee?
Gli autostati sono giusti, li potresti normalizzare però.
Si, matematicamente è per questo. Fisicamente invece cosa sappiamo? Sappiamo che il momento angolare lungo un asse è quantizzato e i valori che si ottengono possono essere per $L=1$ i vari$h,0,-h$. Ma non c'è nessuna ragione che questo asse sia $L_z$, anzi ogni asse vale l'altro. Proprio per questa simmetria per rotazioni si ha la conservazione del momento angolare (Teorema di Noether, forse lo si fa in meccanica razionale).
Sarebbe stato uguale, se diagonalizzi la matrice di $L_x$ ti viene fuori $L_z$ e l'esercizio sarebbe stato identico. Altrimenti potresti risolvere l'esercizio così come lo hai fatto e usare le formule inverse.
$ v(0)=psi_(z1)-psi_(z-1) $
$ v(1)=psi_(z1)+sqrt(2)psi_(z0)+psi_(z-1) $
$ v(-1)=psi_(z1)-sqrt(2)psi_(z0)+psi_(z-1) $
Consideri in queste le incognite le $psi_z$ ed esprimi tutto come combinazione lineare dell $psi_x$ che si suppongono date.
Un esercizio più interessante potrebbe essere questo, dato un generico vettore espresso nella base $L_z$ esprimilo nella base di $L_x$. Questo è un esercizio importante perché in MQ capita spesso di dover cambiare la base a seconda di quali siano gli autovalori dell'hamiltoniano per poi associare la dipendenza temporale corretta (poi faccio un esempio) .
Il generico vettore $psi=(a,b,c)=apsi_(1z)+bpsi_(0z)+cpsi_(-1z)$
Gli autovettori di $L_x$ sono
$psi_(1x)=1/2(1,sqrt(2),1)$
$psi_(0x)=1/sqrt2(1,0,-1)$
$psi_(-1x)=1/2(1,-sqrt(2),1)$
Puoi risolvere un sistema (o anche andare per tentativi, io faccio così quando la dimensione dei vettori è piccola) e trovi che $psi$ si può esprimere come
$psi=1/2(a+bsqrt(2)+c)psi_(1x)+1/sqrt(2)(a-c)psi_(0x)+1/2(a-bsqrt(2)+c)psi_(-1x)$
Rinominando i coefficienti hai
$psi=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
che è analoga alla formula originale, solo espressa in una nuova base.
Poni che ti diano questa equazione
$psi=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
e ti chiedano di passare alla base di $L_z$. Nessun problema, lo sai già fare perché come si trasformano i coefficienti e conosci gli autostati. Ti basta risolvere il sistema:
${ ( d=1/2(a+bsqrt2+c) ),( g=1/sqrt2(a-c) ),( f=1/2(a-bsqrt2+c )):}$
Un esempio.
Ti danno il vettore $(a,b,c)$ espresso nella base di $L_z$ e ti dicono che questo è la funzione d'onda all'istante iniziale. Ti chiedono di calcolare l'evoluzione temporale. L'hamiltoniana è $H=kL_x$ ($k$ è in $s^(-1)$). L'energia sarà quindi $E=hk$ o $E=0$ o $E=-hk$
Per scrivere un evoluzione temporale bisogna avere la funzione d'onda all'istante $0$ scritta nella base dell'hamiltoniana quindi:
$psi=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
per poi associare a ciascun autostato il termine dipendente dal tempo secondo la formula generale
$psi(x,t)=Sigma_(n=1)c_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$
Quindi iniziamo con questa
$psi(0)=(a,b,c)=apsi_(1z)+bpsi_(0z)+cpsi_(-1z)$
trasformiamo in questa come sappiamo fare:
$psi(0)=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
associamo i termini temporali
$psi(0)=dpsi_(1x)e^(-ikt)+gpsi_(0x)e^(0)+fpsi_(-1x)e^(ikt)$
Potrei aver commesso qualche errore (pedici o roba del genere, stai attenta), per il resto spero sia chiaro. Dimmi se hai ancora dubbi
Come mai dici "naturalmente"? Forse perchè $L^2$ commuta con qualsiasi componente del momento angolare e quindi $L_z$ è equivalente a $L_x$
Si, matematicamente è per questo. Fisicamente invece cosa sappiamo? Sappiamo che il momento angolare lungo un asse è quantizzato e i valori che si ottengono possono essere per $L=1$ i vari$h,0,-h$. Ma non c'è nessuna ragione che questo asse sia $L_z$, anzi ogni asse vale l'altro. Proprio per questa simmetria per rotazioni si ha la conservazione del momento angolare (Teorema di Noether, forse lo si fa in meccanica razionale).
Se il problema mi chiedeva il contrario, e cioè di espandere le autofunzioni di $ z $ nella base delle autofunzioni della componente $ x $ di $ L $, cosa avrei dovuto fare? In questo caso immagino che avrei scritto la matrice $ Lx $ in forma diagonale (così come hai scritto quella di $ Lz $) e successivamente avrei ricavato la matrice di $ Lz $ sempre con gli operatori gradino... Sarebbe stato giusto?
Sarebbe stato uguale, se diagonalizzi la matrice di $L_x$ ti viene fuori $L_z$ e l'esercizio sarebbe stato identico. Altrimenti potresti risolvere l'esercizio così come lo hai fatto e usare le formule inverse.
$ v(0)=psi_(z1)-psi_(z-1) $
$ v(1)=psi_(z1)+sqrt(2)psi_(z0)+psi_(z-1) $
$ v(-1)=psi_(z1)-sqrt(2)psi_(z0)+psi_(z-1) $
Consideri in queste le incognite le $psi_z$ ed esprimi tutto come combinazione lineare dell $psi_x$ che si suppongono date.
Un esercizio più interessante potrebbe essere questo, dato un generico vettore espresso nella base $L_z$ esprimilo nella base di $L_x$. Questo è un esercizio importante perché in MQ capita spesso di dover cambiare la base a seconda di quali siano gli autovalori dell'hamiltoniano per poi associare la dipendenza temporale corretta (poi faccio un esempio) .
Il generico vettore $psi=(a,b,c)=apsi_(1z)+bpsi_(0z)+cpsi_(-1z)$
Gli autovettori di $L_x$ sono
$psi_(1x)=1/2(1,sqrt(2),1)$
$psi_(0x)=1/sqrt2(1,0,-1)$
$psi_(-1x)=1/2(1,-sqrt(2),1)$
Puoi risolvere un sistema (o anche andare per tentativi, io faccio così quando la dimensione dei vettori è piccola) e trovi che $psi$ si può esprimere come
$psi=1/2(a+bsqrt(2)+c)psi_(1x)+1/sqrt(2)(a-c)psi_(0x)+1/2(a-bsqrt(2)+c)psi_(-1x)$
Rinominando i coefficienti hai
$psi=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
che è analoga alla formula originale, solo espressa in una nuova base.
Poni che ti diano questa equazione
$psi=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
e ti chiedano di passare alla base di $L_z$. Nessun problema, lo sai già fare perché come si trasformano i coefficienti e conosci gli autostati. Ti basta risolvere il sistema:
${ ( d=1/2(a+bsqrt2+c) ),( g=1/sqrt2(a-c) ),( f=1/2(a-bsqrt2+c )):}$
Un esempio.
Ti danno il vettore $(a,b,c)$ espresso nella base di $L_z$ e ti dicono che questo è la funzione d'onda all'istante iniziale. Ti chiedono di calcolare l'evoluzione temporale. L'hamiltoniana è $H=kL_x$ ($k$ è in $s^(-1)$). L'energia sarà quindi $E=hk$ o $E=0$ o $E=-hk$
Per scrivere un evoluzione temporale bisogna avere la funzione d'onda all'istante $0$ scritta nella base dell'hamiltoniana quindi:
$psi=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
per poi associare a ciascun autostato il termine dipendente dal tempo secondo la formula generale
$psi(x,t)=Sigma_(n=1)c_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$
Quindi iniziamo con questa
$psi(0)=(a,b,c)=apsi_(1z)+bpsi_(0z)+cpsi_(-1z)$
trasformiamo in questa come sappiamo fare:
$psi(0)=dpsi_(1x)+gpsi_(0x)+fpsi_(-1x)$
associamo i termini temporali
$psi(0)=dpsi_(1x)e^(-ikt)+gpsi_(0x)e^(0)+fpsi_(-1x)e^(ikt)$
Potrei aver commesso qualche errore (pedici o roba del genere, stai attenta), per il resto spero sia chiaro. Dimmi se hai ancora dubbi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo