Momento angolare costante di un corpo rigido
Mi è venuta in mente una domanda, probabilmente cretina, alla quale direi istintivamente che la risposta è si, ma non riesco ad argomentare con precisione. Mi dareste una mano?
Supponiamo di avere un corpo rigido $C$ isolato, nel senso che il risultante e il momento risultante delle forze esterne agenti su di esso siano uguali a zero. Supponiamo inoltre che il momento angolare $vecL$ di $C$ rispetto ad un certo polo fisso $O$ sia costante. Possiamo dire che il corpo $C$ si sta muovendo di moto circolare uniforme attorno all'asse passante per $O$ e diretto come $vecL$?
Se il corpo non fosse rigido la risposta è no; ma essendo rigido non vedo proprio come possa esserci un moto diverso da quello circolare uniforme. O mi sbaglio?
Supponiamo di avere un corpo rigido $C$ isolato, nel senso che il risultante e il momento risultante delle forze esterne agenti su di esso siano uguali a zero. Supponiamo inoltre che il momento angolare $vecL$ di $C$ rispetto ad un certo polo fisso $O$ sia costante. Possiamo dire che il corpo $C$ si sta muovendo di moto circolare uniforme attorno all'asse passante per $O$ e diretto come $vecL$?
Se il corpo non fosse rigido la risposta è no; ma essendo rigido non vedo proprio come possa esserci un moto diverso da quello circolare uniforme. O mi sbaglio?
Risposte
il corpo rigido si può muovere così (dipende dalla direzione degli assi centrali principali d'inerzia rispetto a $\vec L$). Puoi dire, in generale, che, in assenza di azioni esterne, il corpo rigido si muove d'inerzia con il centro di massa in moto rettilineo uniforme. Tuttavia, da punto di vista della rotazione attorno al centro di massa, i moti d'inerzia possono essere ben più complessi di quello da te descritto e questo dipende dalle condizioni iniziali.
Cerco di sviluppare il concetto già espresso da Mirco in modo da darti un’idea della complessità del fenomeno.
Il momento angolare ha una espressione generale del tipo
$\vec L = \omega _1I_1\vec e_1 + \omega _2I_2\vec e_2 + \omega _3I_3\vec e_3$
dove i tre vettori $\vec e_k$ sono versori opportuni mutuamente ortogonali solidali con il corpo, e costituiscono una base privilegiata particolare. Se il corpo possiede delle simmetrie, in genere questa base è allineata con assi di simmetria. I tre valori di I sono detti momenti principali di inerzia.
Quando un corpo ruota secondo una $\vec \omega$ generica, quindi con componenti non nulle rispetto a questi assi privilegiati, salvo casi di simmetrie particolari si vede che il vettore $\vec L$ e il vettore $\vec \omega$ non sono paralleli. Il parallelismo è invece sempre garantito nel caso di solidi particolari nei quali risulta $I_1 = I_2 = I_3$ (ad esempio la sfera).
Quando si pone in rotazione un corpo vincolato a un asse che coincide con uno degli assi principali, ad esempio parallelo a $\vec e_1$, anche in un solido irregolare i vettori velocità angolare e momento angolare sono paralleli. Dunque se a un certo istante si tolgono i vincoli dall’asse e si lascia ruotare il corpo liberamente, la costanza della $\vec L$ permette al corpo di mantenere la medesima $\vec \omega$ indefinitamente (tutt’al più occorrerà fare un’analisi di stabilità, poiché non tutti gli assi principali sono assi di rotazione stabile, ma questo è un dettaglio).
Se invece l’asse di rotazione non è asse principale, accade che la rotazione ha tre componenti non nulle rispetto alla terna principale del corpo, e allora se i tre momenti di inerzia non sono uguali accade che il vettore $\vec L$ non è costante ma ruota attorno all’asse. Naturalmente per fare questo l’asse deve comunicare un momento torcente al corpo, il che significa che questo asse è sollecitato a torsione (come quando il gommista mette in rotazione su una apposita macchina una ruota d’auto per vedere se è bilanciata: se non lo è vuol dire che l’asse di rotazione non coincide con un asse principale di inerzia, e la macchina si accorge di ciò poiché rileva una coppia torcente sull'asse di rotazione. Allora occorre aggiungere opportuni pesi sul cerchione modificando i momenti di inerzia in modo da portare l'asse principale d'inerzia della ruota a coincidere con l'asse di rotazione, cosa che i gommisti sanno fare bene seguendo le indicazioni degli strumenti). Pertanto in questo caso di rotazione attorno a un asse generico non coincidente con asse principale di inerzia, se a un certo punto si svincola l’asse, e quindi il momento torcente del vincolo viene a mancare, la costanza di $\vec L$ richiede che il vettore velocità angolare cambi direzione in modo da tendere ad allinearsi col suddetto momento angolare. La dinamica di questo assestamento ritengo sia piuttosto complicata.
Il momento angolare ha una espressione generale del tipo
$\vec L = \omega _1I_1\vec e_1 + \omega _2I_2\vec e_2 + \omega _3I_3\vec e_3$
dove i tre vettori $\vec e_k$ sono versori opportuni mutuamente ortogonali solidali con il corpo, e costituiscono una base privilegiata particolare. Se il corpo possiede delle simmetrie, in genere questa base è allineata con assi di simmetria. I tre valori di I sono detti momenti principali di inerzia.
Quando un corpo ruota secondo una $\vec \omega$ generica, quindi con componenti non nulle rispetto a questi assi privilegiati, salvo casi di simmetrie particolari si vede che il vettore $\vec L$ e il vettore $\vec \omega$ non sono paralleli. Il parallelismo è invece sempre garantito nel caso di solidi particolari nei quali risulta $I_1 = I_2 = I_3$ (ad esempio la sfera).
Quando si pone in rotazione un corpo vincolato a un asse che coincide con uno degli assi principali, ad esempio parallelo a $\vec e_1$, anche in un solido irregolare i vettori velocità angolare e momento angolare sono paralleli. Dunque se a un certo istante si tolgono i vincoli dall’asse e si lascia ruotare il corpo liberamente, la costanza della $\vec L$ permette al corpo di mantenere la medesima $\vec \omega$ indefinitamente (tutt’al più occorrerà fare un’analisi di stabilità, poiché non tutti gli assi principali sono assi di rotazione stabile, ma questo è un dettaglio).
Se invece l’asse di rotazione non è asse principale, accade che la rotazione ha tre componenti non nulle rispetto alla terna principale del corpo, e allora se i tre momenti di inerzia non sono uguali accade che il vettore $\vec L$ non è costante ma ruota attorno all’asse. Naturalmente per fare questo l’asse deve comunicare un momento torcente al corpo, il che significa che questo asse è sollecitato a torsione (come quando il gommista mette in rotazione su una apposita macchina una ruota d’auto per vedere se è bilanciata: se non lo è vuol dire che l’asse di rotazione non coincide con un asse principale di inerzia, e la macchina si accorge di ciò poiché rileva una coppia torcente sull'asse di rotazione. Allora occorre aggiungere opportuni pesi sul cerchione modificando i momenti di inerzia in modo da portare l'asse principale d'inerzia della ruota a coincidere con l'asse di rotazione, cosa che i gommisti sanno fare bene seguendo le indicazioni degli strumenti). Pertanto in questo caso di rotazione attorno a un asse generico non coincidente con asse principale di inerzia, se a un certo punto si svincola l’asse, e quindi il momento torcente del vincolo viene a mancare, la costanza di $\vec L$ richiede che il vettore velocità angolare cambi direzione in modo da tendere ad allinearsi col suddetto momento angolare. La dinamica di questo assestamento ritengo sia piuttosto complicata.
Definendo la matrice d'inerzia il momento angolare si può scrivere $vecL=sigma(O)vecomega$
Si ricava la seconda equazione cardinale $(dvecL)/dt=sigma(O)(dvecomega)/dt+vecomega wedge sigma(O)vecomega= vecM(O)$
se $O$ è fisso o coincidente con il centro di massa.
PS: il moto circolare uniforme è quello di un punto materiale che si muove su una circonferenza a velocità costante in modulo. Per un corpo rigido si parla di rotazione attorno ad un asse fisso con velocità angolare costante.
Si ricava la seconda equazione cardinale $(dvecL)/dt=sigma(O)(dvecomega)/dt+vecomega wedge sigma(O)vecomega= vecM(O)$
se $O$ è fisso o coincidente con il centro di massa.
PS: il moto circolare uniforme è quello di un punto materiale che si muove su una circonferenza a velocità costante in modulo. Per un corpo rigido si parla di rotazione attorno ad un asse fisso con velocità angolare costante.
Mi avete fornito delle ottime risposte sulle quali vado a riflettere un po'. Grazie!
Ancora una piccola domanda: ho capito che, anche se $vecL$ è costante, niente mi assicura che l'asse della rotazione sia fisso e la velocità angolare sia costante (grazie nnsoxke per la precisazione sul linguaggio). Ma da questa chiusa di Falco:
"Falco5x":capisco che in ogni caso $vecomega$ tende asintoticamente a $vecL$ (sempre nell'ipotesi che quest'ultimo sia costante). E' così?
la costanza di $vecL$ richiede che il vettore velocità angolare cambi direzione in modo da tendere ad allinearsi col suddetto momento angolare
Non ho mai approfondito questo tema al punto da poterti dare una risposta precisa, ma credo che come in tutti i sistemi dove esistono configurazioni di equilibrio stabile anche in questo caso la soluzione a regime possa contemplare oscillazioni periodiche attorno a tali configurazioni.
"dissonance":
capisco che in ogni caso $vecomega$ tende asintoticamente a $vecL$ (sempre nell'ipotesi che quest'ultimo sia costante). E' così?
In un fenomeno conservativo come questo non credo si possa parlare di andamento asintotico. Intuitivamente il momento angolare si conserva come composizione di moti rotatori attorno al baricentro, una trottola incernierata nel baricentro (con moto rotazionali e processionali) è un esempio per un corpo con un ellissoide d'inerzia di rotazione.
ciao
"dissonance":
$vecomega$ tende asintoticamente a $vecL$ (sempre nell'ipotesi che quest'ultimo sia costante). E' così?
Ci deve essere un modo per mostrare che per un corpo rigido isolato il moto non tende asintoticamente a quello di rotazione attorno ad un asse fisso se questo non avviene già attorno a questo asse, fisso.
"nnsoxke":
Ci deve essere un modo per mostrare che per un corpo rigido isolato il moto non tende asintoticamente a quello di rotazione attorno ad un asse fisso se questo non avviene già attorno a questo asse, fisso.
Se l'asse di rotazione fisso non è principale d'inerzia, una rotazione a velocità angolare costante attorno a questo non produce un momento angolare fisso. Visto che per un corpo libero il momento angolare si conserva, non si può ottenere questo risultato come comportamento asintotico di un generico moto d'inerzia.
Riprendo questo argomento perché mi ha stimolato a risolvere un problema che non avevo mai affrontato, ovvero vedere come si assesta la velocità angolare di un corpo libero non soggetto a interazioni di alcun genere con l'esterno, messo inizialmente in rotazione attorno a un asse generico, non coincidente con asse principale di inerzia. Ho dunque immaginato un corpo dotato di 3 momenti principali d'inerzia diversi e ho tentato di risolvere l'equazione nello spazio $(d\vecL)/(dt)=0$, che sviluppata dovrebbe corrispondere al seguente sistema (uso il condizionale poiché non sono affatto certo della correttezza dei miei risultati):
$I_1\frac{d\omega _1}{dt} - \omega _2\omega _3( I_2 - I_3) = 0$
$I_2\frac{d\omega _2}{dt} - \omega _3\omega _1( I_3 - I_1) = 0$
$I_3\frac{d\omega _3}{dt} - \omega _1\omega _2( I_1 - I_2) = 0$
Risolvere questo sistema mi è venuto relativamente facile solo utilizzando alcune fortunate combinazioni di momenti d'inerzia e condizioni iniziali. Quanto vado dunque ad esporre non ha affatto validità generale, ma si limita a essere la presentazione di un caso particolare, che però nonostante la sua particolarità mi sembra presenti comunque qualche motivo di interesse.
I dati che ho utilizzato per il corpo sono:
Momenti principali d'inerzia:
$I_1=3I_3$
$I_2=2I_3$
Velocità angolari iniziali:
$\omega_(10)=\sqrt(3) (rad)/s$
$\omega_(20)=3 (rad)/s$
$\omega_(30)=3 (rad)/s$
Come si vede il corpo possiede 3 momenti d'inerzia principali diversi ed è inizialmente in rotazione con una velocità angolare non parallela ad alcuno degli assi principali.
Sviluppando il sistema e risolvendo l'equazione differenziale risultante, coi valori numerici scelti ottengo:
$\omega _1 = \frac{12\sqrt 3 ( 6 + 3\sqrt 2 )e^{ - \sqrt 6 t}}{( 6 + 3\sqrt 2 )^2 + 18e^{ - 2\sqrt 6 t}}$
$\omega _2 = \sqrt {18 - 3\omega _1^2}$
$\omega _3 = \sqrt 3 \omega _1$
Ho riportato l'andamento nel tempo di queste tre velocità nel grafico sottostante, esaminando il quale si vede che con lo scorrere del tempo la velocità angolare risultante si orienta tutta secondo l'asse d'inerzia principale caratterizzato dal momento d'inerzia $I_2$ che sorprendentemente (almeno per me) è quello tra i tre momenti che ha valore intermedio.
Questo assestamento dunque avviene tutto a parità di momento angolare e di energia cinetica (come si può verificare).
Non so attribuire un significato immediato a questo fenomeno per me nuovo (sempre che abbia un significato e non sia invece la conseguenza di un'errata risoluzione del problema, cosa che è naturalmente possibile).
Se qualcuno ha delle spiegazioni da fornire o desidera commentare quanto esposto è il benvenuto.
Ciao!
Edit: dopo qualche pensamento concludo che l'assestamento finale dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali. Nel caso presentato le condizioni iniziali portano naturalmente verso una rotazione attorno all'asse 2, e mi spiego.
Ragionando in modo grossolano e prendendo a riferimento un sistema solidale con l'asse di rotazione iniziale, si vede che non essendo l'asse di rotazione un asse principale di inerzia, esiste un momento torcente non nullo dovuto alla forza centrifuga che tende a ruotare la massa rispetto all'asse. Osservando le condizioni iniziali è possibile determinare come agisca questo momento torcente. Con le condizioni scelte in questo esempio il momento torcente porta il corpo a ruotare in modo da far coincidere l'asse 2 con l'asse di rotazione. Se le condizioni iniziali fossero state diverse, ad esempio "vicine" a una rotazione sull'asse 1, la rotazione finale si sarebbe assestata su quest'ultimo asse. Insomma in un sistema accelerato rotante col corpo il corpo stesso si pone in modo da minimizzare l'energia potenziale causata dal campo di forza centrufuga, ferma restando l'energia totale.
$I_1\frac{d\omega _1}{dt} - \omega _2\omega _3( I_2 - I_3) = 0$
$I_2\frac{d\omega _2}{dt} - \omega _3\omega _1( I_3 - I_1) = 0$
$I_3\frac{d\omega _3}{dt} - \omega _1\omega _2( I_1 - I_2) = 0$
Risolvere questo sistema mi è venuto relativamente facile solo utilizzando alcune fortunate combinazioni di momenti d'inerzia e condizioni iniziali. Quanto vado dunque ad esporre non ha affatto validità generale, ma si limita a essere la presentazione di un caso particolare, che però nonostante la sua particolarità mi sembra presenti comunque qualche motivo di interesse.
I dati che ho utilizzato per il corpo sono:
Momenti principali d'inerzia:
$I_1=3I_3$
$I_2=2I_3$
Velocità angolari iniziali:
$\omega_(10)=\sqrt(3) (rad)/s$
$\omega_(20)=3 (rad)/s$
$\omega_(30)=3 (rad)/s$
Come si vede il corpo possiede 3 momenti d'inerzia principali diversi ed è inizialmente in rotazione con una velocità angolare non parallela ad alcuno degli assi principali.
Sviluppando il sistema e risolvendo l'equazione differenziale risultante, coi valori numerici scelti ottengo:
$\omega _1 = \frac{12\sqrt 3 ( 6 + 3\sqrt 2 )e^{ - \sqrt 6 t}}{( 6 + 3\sqrt 2 )^2 + 18e^{ - 2\sqrt 6 t}}$
$\omega _2 = \sqrt {18 - 3\omega _1^2}$
$\omega _3 = \sqrt 3 \omega _1$
Ho riportato l'andamento nel tempo di queste tre velocità nel grafico sottostante, esaminando il quale si vede che con lo scorrere del tempo la velocità angolare risultante si orienta tutta secondo l'asse d'inerzia principale caratterizzato dal momento d'inerzia $I_2$ che sorprendentemente (almeno per me) è quello tra i tre momenti che ha valore intermedio.
Questo assestamento dunque avviene tutto a parità di momento angolare e di energia cinetica (come si può verificare).
Non so attribuire un significato immediato a questo fenomeno per me nuovo (sempre che abbia un significato e non sia invece la conseguenza di un'errata risoluzione del problema, cosa che è naturalmente possibile).
Se qualcuno ha delle spiegazioni da fornire o desidera commentare quanto esposto è il benvenuto.
Ciao!
Edit: dopo qualche pensamento concludo che l'assestamento finale dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali. Nel caso presentato le condizioni iniziali portano naturalmente verso una rotazione attorno all'asse 2, e mi spiego.
Ragionando in modo grossolano e prendendo a riferimento un sistema solidale con l'asse di rotazione iniziale, si vede che non essendo l'asse di rotazione un asse principale di inerzia, esiste un momento torcente non nullo dovuto alla forza centrifuga che tende a ruotare la massa rispetto all'asse. Osservando le condizioni iniziali è possibile determinare come agisca questo momento torcente. Con le condizioni scelte in questo esempio il momento torcente porta il corpo a ruotare in modo da far coincidere l'asse 2 con l'asse di rotazione. Se le condizioni iniziali fossero state diverse, ad esempio "vicine" a una rotazione sull'asse 1, la rotazione finale si sarebbe assestata su quest'ultimo asse. Insomma in un sistema accelerato rotante col corpo il corpo stesso si pone in modo da minimizzare l'energia potenziale causata dal campo di forza centrufuga, ferma restando l'energia totale.
"Falco5x":
dopo qualche pensamento concludo che l'assestamento finale dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali. Nel caso presentato le condizioni iniziali portano naturalmente verso una rotazione attorno all'asse 2, e mi spiego.
Ragionando in modo grossolano e prendendo a riferimento un sistema solidale con l'asse di rotazione iniziale, si vede che non essendo l'asse di rotazione un asse principale di inerzia, esiste un momento torcente non nullo dovuto alla forza centrifuga che tende a ruotare la massa rispetto all'asse. Osservando le condizioni iniziali è possibile determinare come agisca questo momento torcente. Con le condizioni scelte in questo esempio il momento torcente porta il corpo a ruotare in modo da far coincidere l'asse 2 con l'asse di rotazione. Se le condizioni iniziali fossero state diverse, ad esempio "vicine" a una rotazione sull'asse 1, la rotazione finale si sarebbe assestata su quest'ultimo asse. Insomma in un sistema accelerato rotante col corpo il corpo stesso si pone in modo da minimizzare l'energia potenziale causata dal campo di forza centrufuga, ferma restando l'energia totale.
Concordo con quanto dici... Stavo facendo qualche prova anch'io ma dato che sono più pigro di te con i calcoli ho usato scilab per la risoluzione numerica del sistema.
Una curiosità marginale, per il tuo esempio ottengo un andamento leggermente diverso, anche se la sostanza non cambia...
Un'altra curiosità (di cui ancora non conosco la risposta): sapreste spiegare perché se prendo un pallone di rugby e lo faccio ruotare velocemente su se stesso attorno circa all'asse di rotazione avente momento di inerzia più alto (quindi a pallone grossomodo "sdraiato"), questo, se la velocità impressa è abbastanza alta, si alza e inizia a ruotare attorno all'asse con momento di inerzia più basso?
Probabilmente va tenuto conto anche della forza peso e della reazione del pavimento nel punto di contatto, visto che se scrivo il sistema per il corpo libero e isolato non ritrovo quell'effetto....
Intuitivamente capisco che se il pallone ruota su se stesso la posizione in piedi diventa più stabile di quella "sdraiata", ma non riesco a formalizzare bene la cosa.
Scusate questo fine settimana invernale, sono un po' fuori forma e sto a casa a riprendermi e a elucubrare....
Riguardo alla soluzione hai perfettamente ragione ... però ce l'ho forse anch'io e non ho tempo di capire adesso quale delle due sia la soluzione giusta.
Il fatto è che nel risolvere il sistema differenziale si lavora coi quadrati delle velocità, e poi quando si passa alle radici quadrate salta fuori il solito $+-$ davanti alle radici quadrate. Io che non sono un matematico e che fin dal tempo della scuola ho sempre odiato la "discussione" delle equazioni, ho difficoltà a scegliere; ho scelto il segno - perché mi pareva fisicamente più plausibile, ma se sceglievo il segno + usciva esattamente il tuo risultato (che è sicuramente più interessante anche se mi lascia un po' perplesso quel cambiamento di segno della velocità 2).
Riguardo al pallone da rugby credo che tu abbia ragione, immagino che l'attrito col terreno, che produce un momento torcente concorde col momento angolare in direzione ma discorde in verso, tenda a diminuire il modulo del momento angolare non solo producendo un rallentamento della velocità angolare ma anche cambiando in qualche modo l'asse di rotazione in modo da scegliere un asse con momento d'inerzia più basso. E la forza di gravità, che produce precessione, probabilmente aiuta questo cambiamento di asse.
EDIT:
mi sono (tardivamente) ricordato che per dirimere la questione dei segni nelle radici quadrate basta confrontare la soluzione con le equazioni iniziali e mi sono, purtroppo, accorto che la soluzione giusta è la tua, non la mia.
Infatti prendiamo ad esempio la $I_1\frac{d\omega _1}{dt} - \omega _2\omega _3( I_2 - I_3) = 0$
Nella mia soluzione la $\frac{d\omega _1}{dt}$ è sempre negativa, dunque la $\omega _2$ oppure la $\omega _3$, una delle due, deve essere negativa, cosa che evidentemente non è. Nella tua soluzione invece mi pare che i segni siano correttamente rispettati, dunque... il pollo sono stato io!!! Lo sapevo che dovevo dare maggiore importanza alla matematica, ben mi sta. Mi flagellerò a lungo per scontare questo orrendo peccato.
Il fatto è che nel risolvere il sistema differenziale si lavora coi quadrati delle velocità, e poi quando si passa alle radici quadrate salta fuori il solito $+-$ davanti alle radici quadrate. Io che non sono un matematico e che fin dal tempo della scuola ho sempre odiato la "discussione" delle equazioni, ho difficoltà a scegliere; ho scelto il segno - perché mi pareva fisicamente più plausibile, ma se sceglievo il segno + usciva esattamente il tuo risultato (che è sicuramente più interessante anche se mi lascia un po' perplesso quel cambiamento di segno della velocità 2).
Riguardo al pallone da rugby credo che tu abbia ragione, immagino che l'attrito col terreno, che produce un momento torcente concorde col momento angolare in direzione ma discorde in verso, tenda a diminuire il modulo del momento angolare non solo producendo un rallentamento della velocità angolare ma anche cambiando in qualche modo l'asse di rotazione in modo da scegliere un asse con momento d'inerzia più basso. E la forza di gravità, che produce precessione, probabilmente aiuta questo cambiamento di asse.
EDIT:
mi sono (tardivamente) ricordato che per dirimere la questione dei segni nelle radici quadrate basta confrontare la soluzione con le equazioni iniziali e mi sono, purtroppo, accorto che la soluzione giusta è la tua, non la mia.
Infatti prendiamo ad esempio la $I_1\frac{d\omega _1}{dt} - \omega _2\omega _3( I_2 - I_3) = 0$
Nella mia soluzione la $\frac{d\omega _1}{dt}$ è sempre negativa, dunque la $\omega _2$ oppure la $\omega _3$, una delle due, deve essere negativa, cosa che evidentemente non è. Nella tua soluzione invece mi pare che i segni siano correttamente rispettati, dunque... il pollo sono stato io!!! Lo sapevo che dovevo dare maggiore importanza alla matematica, ben mi sta. Mi flagellerò a lungo per scontare questo orrendo peccato.
"Falco5x":
mi sono (tardivamente) ricordato che per dirimere la questione dei segni nelle radici quadrate basta confrontare la soluzione con le equazioni iniziali e mi sono, purtroppo, accorto che la soluzione giusta è la tua, non la mia.
Infatti prendiamo ad esempio la $I_1\frac{d\omega _1}{dt} - \omega _2\omega _3( I_2 - I_3) = 0$
Nella mia soluzione la $\frac{d\omega _1}{dt}$ è sempre negativa, dunque la $\omega _2$ oppure la $\omega _3$, una delle due, deve essere negativa, cosa che evidentemente non è. Nella tua soluzione invece mi pare che i segni siano correttamente rispettati, dunque... il pollo sono stato io!!! Lo sapevo che dovevo dare maggiore importanza alla matematica, ben mi sta. Mi flagellerò a lungo per scontare questo orrendo peccato.
...be' però io non ho neanche provato a farli i conti...
Ho preso il sistema e l'ho dato in pasto al pc, ma si sa il mondo è ingiusto a volte premia i lavativi!!
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