Momento angolare

[spidersim]

Salve a tutti!
Ho un quesito da porvi circa il momento angolare.

Supponiamo che un punto materiale di massa m si muova, in un piano, di moto curvilineo;
il momento angolare rispetto al polo O sarà

$\vec L$=$\vec r$x m$\vec v$=$\vec r$x m($v_r$+$v_t$)=$\vec r$x m$v_t$

(dove $\vec r$, applicato in O, è il raggio vettore, mentre $v_r$ e $v_t$ (che sono vettori, ma non sono riuscito a metterci la freccetta )
sono le componenti rispettivamente radiale e trasversa del vettore $\vec v$, velocità del punto).

La domanda è questa:

si ha sempre

$v_t$(vettore)=r $d/dt$ $\theta$ $\vec u$

(dove $\theta$ è l'angolo individuato dallo spostamento infinitesimo del raggio vettore,
mentre $\vec u$ è un versore, perpendicolare al raggio vettore, che giace nel piano individuato da $\vec r$ e $\vec v$)

o questa espressione per il vettore $v_t$ è valida solo nel caso in cui il polo O sta nel piano del moto?

Spero di essere stato chiaro!
Il dubbio mi è venuto leggendo sul testo 'fisica-vol 1' di Mazzoldi, Nigro, Voci
(pag 83, paragrafo 2.22-->'momento angolare.momento della forza')
la seguente affermazione:

'Se il polo O sta nel piano del moto, $\vec L$ risulta ortogonale a tale piano e vale in modulo

L=mr$v_t$=m$r^2$$d/dt$ $\theta$.' (<-- e se il polo non sta nel piano del moto?)

Grazie per il vostro aiuto!!

[Falco5x]

Considerato che il prodotto vettoriale si trova facendo il prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell'angolo compreso, questo prodotto può essere anche visto come il prodotto del modulo del vettore posizione per la proiezione della quantità di moto sul piano ortogonale al vettore posizione stesso. Questa proiezione è parallela al versore che tu hai chiamato $\vecu$, il quale sta per forza di cose nel piano definito dal vettore posizione e dal vettore quantità di moto (questo è vero se nel punto O è posta anche l'origine del sistema di riferimento, altrimenti il versore da te definito non è più parallelo a questa proiezione e allora ciò che dico non è più vero).
Il problema però è che se questo piano appena definito non coincide col piano del moto, cioè se la derivata del vettore quantità di moto non sta su questo piano, allora nemmeno le forze in gioco ci stanno, e allora se ad esempio siamo in un sistema di forze centrali come il moto di un satellite attorno a un pianeta abbiamo sbagliato la scelta del polo, perché così $L$ varia nel tempo. Insomma per concludere direi che l'affermazione inerente il prodotto vettoriale vale sempre, però il problema si semplifica nella sua dinamica soltanto se il polo è scelto nel punto di sviluppo delle forze centrali, e quindi proprio nel piano del moto, perché solo così il momento angolare si conserva inalterato nel tempo.
Non so però se sono stato chiaro oppure se ho fatto solo casino.

[spidersim]

Dunque, vediamo se ho capito:
indipendentemente dalla scelta del polo (in cui poniamo l'origine del sistema di riferimento)
e quindi indipendentemente anche dalla semplificazione o meno del problema,
focalizzando l'attenzione sulla velocità (infatti dalla sua espressione ricaviamo poi quella di $vec L$),
ponendo $vec r$$=$$r$$vec u_r$ (dove $vec u_r$ è il versore della direzione di $vec r$), vale sempre

$vec v$$=$$(dvec r)/dt$$=$$(dr)/dt$$vec u_r$$+r$$(dvec u_r)/dt$$=$$(dr)/dt$$vec u_r$$+$$r$$(d\theta)/dt$$vec u_\theta$$=$$vec v_r+vec v_\theta$

(dove $\theta$ è l'angolo individuato dallo spostamento infinitesimo del raggio vettore,
mentre $vec u_\theta$ è un versore, perpendicolare al raggio vettore, che giace nel piano individuato da $vec r$ e $vec v$).

Giusto?

Mi sorge ora un altro dubbio:
se il polo non sta nel piano del moto (che potrebbe essere curvilineo), $\ theta$ potrebbe non essere più un semplice angolo bensì un 'angolo curvilineo' (per intenderci):
vale allora anche in questo caso l'espressione di $vec v$ scritta sopra?

Grazie 1000 per la disponibilità!

[Falco5x]

Angolo curvilineo? no! non occorre farsi troppi problemi! Dato il vettore posizione $\vecr$ e il vettore velocità $\vecv$, è evidente che questi due individuano un piano passante per il punto dove è situato il corpo. Su questo piano avviene il primo moto virtuale del corpo, nel senso che il corpo durante il primo spostamento infinitesimo si trova sempre su di esso, poiché la sua posizione varia seguendo il vettore velocità. Il versore $\vecu_r$ è situato sul prolungamento di $\vecr$ (nel verso dell'ascissa $r$ crescente), mentre il versore $\vecu_\theta$ è ortogonale al precedente (con verso orientato secondo ascissa $\theta$ crescente), situato sempre sul medesimo piano. Dunque il vettore $\vecv$ può sempre essere scomposto nelle due componenti ortogonali individuate sopra. Il fatto che questo piano non coincida col piano del moto sta solo a signficare che una volta effettuato il primo spostamento infinitesimo, il successivo avviene su un piano di scomposizione delle velocità diverso, mentre se il polo origine fosse sul piano del moto il piano di scomposizione della velocità sarebbe sempre lo stesso per ogni posizione del corpo.

[spidersim]

Giustissimo!!!
Grazie 1000!!