Momento angolare

[turtle87crociato]

Prescindendo per il momento dai corpi rigidi, considero un sistema fatto da due punti materiali, di massa uguale, collegati da un' asta rigida, di massa trascurabile, e fatto girare attorno a un asse con velocità angolare $\omega$. L'asta rigida e l'asse sono collegati nel centro dell'asta rigida, in modo tale che i due punti siano perfettamente simmetrici rispetto all'asse, in ogni istante. La distanza tra il centro dell'asta e ognuno dei due corpi è pari a $d$.

Il momento angolare, dato che il moto di ognuno dei corpi è circolare uniforme, è pari, in modulo, a $2md^2\omega$. Si può quindi scrivere:

$\vec P = I_c * \vec \omega$, dove con $I_c = 2md^2$ indico il momento d' inerzia.

Quindi la velocità angolare è direttamente proporzionale a momento angolare totale del sistema.
Se questa grandezza rimane costante, allora anche $\vec P$ rimane costante, quindi $d\vecP/dt = 0$.

Se vogliamo cambiare la velocità angolare dobbiamo cambiare il momento della quantità di moto, che dunque non sarà più costante nel tempo.

In base al teorema della quantità di moto, avvenendo le rotazioni attorno a un polo fisso, se vogliamo cambiare il momento angolare dobbiamo cambiare il momento totale delle forze esterne.

1) Se la velocità angolare rimane costante, ovviamente nel mondo perfetto in cui si trascurano attriti e altre perturbazioni, allora vuol dire che il sistema deve solo essere avviato, dopodichè continua a ruotare all'infinito, una volta raggiunta una certa velocità (che penso si calcoli con il teorema dell'impulso)?
2) Se il punto $O$ si vuole che rimanga fermo, il testo dice che bisogna applicare una coppia di forze. Perchè le forze devono essere uguali in modulo?
3) Il testo dice anche che per modificare solo la direzione di $\vec P$ occorre applicare una coppia di forze ortogonali all'asse di rotazione. Anche qui vorrei il vostro aiuto, anche se ho pensato qualcosa, mi piacerebbe averne conferma.

[Falco5x]

Mettiamoci in un sistema cartesiano x-y-z, e supponiamo che le due masse ruotino attorno all'asse z ed esattamente sul piano x-y. Se il piano x-y viene rappresentato come siamo abituati, con l'asse x che va verso destra e l'asse y verso la sommità del foglio di carta su cui abbiamo disegnato la coppia di assi, l'asse z è ortogonale al foglio ed è diretto verso l'alto. Se la rotazione delle masse avviene in senso antiorario su tale piano x-y, il momento angolare è diretto in su, come l'asse z.

Primo quesito: come si fa a mettere in movimento istantaneamente il sistema in modo che raggiunga una $\omega$ di regime? Per variare il momento angolare si deve applicare una coppia. Ma siccome deve agire in tempo zero allora applichiamo una coppia impulsiva, cioè due forze uguali ed opposte di valore tendente a infinito, agenti per un tempo infinitesimo e giacenti sul piano x-y. Supponiamo per esempio che siano parallele all'asse y: la forza di destra avrà il verso +y, la forza di sinistra il verso -y. In tal modo il momento avrà la direzione dell'asse z, e potrà creare istantaneamente il nostro momento angolare.

Secondo quesito: se le due forze impulsive di cui sopra non fossero uguali in modulo allora la loro differenza non sarebbe nulla e il centro di massa del sistema assumerebbe un moto uniforme, in coerenza col teorema dell'impulso. Il sistema ruoterebbe ma anche traslerebbe.

Terzo quesito: una coppia di forze ortogonali al piano x-y (supponiamole giacenti sul piano z-y) corrispondono a un momento parallelo all'asse x (di verso positivo se la forza di destra è concorde con +z e quella di sinistra concorde con -z). Questo momento è ortogonale al vettore momento angolare, e costituisce la sua derivata. Un vettore che ha il suo vettore derivato ortogonale mantiene costante il suo modulo e cambia di direzione nel verso indicatogli dal vettore derivato.
Analogamente a quanto succede nel moto circolare uniforme, dove il vettore velocità ha per derivato il vettore accelerazione che è ad esso ortogonale. Il vettore velocità cambia solo di direzione senza modificare il modulo.