Momento angolare

[tantoperfare]

Ciao a tutti!!
Mi sorge un dubbio su un esercizio relativo ai corpi rigidi:
ho un sistema composto da una sfera ed un cilindro connessi da un'asta inestensibile.
Il sistema è imperniato sul cm della sfera sul quale agisce un motore.
Questo è in funzione fino ad un tempo t1 in cui la velocità angolare del sistema è raggiunge una
velocità vmax. A questo istante il perno si rompe e il sistema comincia a muoversi liberamente (senza attriti ne altro).
Ora, volendo calcolare la velocità angolare dopo la rottura, come posso fare??
So che la velocità angolare dopo la rottura rimane quella vmax; volevo arrivarci mediante
la conservazione dei momenti angolari... Idee??
Come faccio a calcolarmi il momento angolare rispetto al cm del sistema prima della rottura del perno?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Quando un corpo solido (che supponiamo rigido come definito in MR) ruota attorno ad un asse materiale, fisso nello spazio "assoluto" , adeguatamente supportato da cuscinetti, che non è né baricentrico né tanto meno centrale di inerzia, i cuscinetti esercitano sull'asse una coppia rotante di forze, uguale e contraria a quella esercitata dall'asse, che è dovuta proprio a quanto sopra evidenziato.
Pensiamo per esempio a un disco, attraversato da un asse materiale che non passa per il CM e non è perpendicolare al piano del disco. Sul CM del corpo agisce innanzitutto una forza centripeta, che fa descrivere al CM una circonferenza centrata sull'asse, e inoltre nel sistema rotante la forza centrifuga ha un certo momento rispetto al punto in cui l'asse attraversa il disco, che tende a sollecitare il disco come se volesse disporlo in un piano perpendicolare all'asse di rotazione.
Volendo, si potrebbero fare dei calcoli non molto difficili se si conoscesse la massa e la geometria del sistema.

Ma torniamo al solido generico.

Nel momento in cui l'asse si rompe, che succede? Succede che il corpo diventa "libero da forze" , almeno negli istanti iniziali dopo la rottura se trascuriamo l'effetto della gravità e la resistenza dell'aria. E il moto diventa quindi quello di un corpo rigido libero : si conservano quantità di moto e momento della quantità di moto finali, cioè quelli che il corpo aveva immediatamente prima della rottura dell'asse. Il momento della q.m. si intende calcolato rispetto al CM.

LA conservazione della quantità di moto fa sì che il CM del solido prosegua con velocità costante "per la tangente" . È quello che succede alla pietra fatta roteare legata ad un filo: se si rompe il filo, la pietra parte per la tangente con la velocità che aveva al momento della rottura.
Questa quindi è la parte traslatoria del moto, descritta dalla traslazione del CM.

E il momento angolare? Si conserva nello spazio assoluto il vettore momento angolare finale (dopo rottura cioè). Il moto attorno al CM è convenientemente descritto dalle equazioni di Eulero per il moto di un corpo rigido con un punto fisso. Si assume come "punto fisso" il CM, si assume come terna solidale al corpo la terna centrale di inerzia, si determinano i tre momenti centrali di inerzia, e si scrivono le tre famose equazioni :

$I_1dot\omega_1 - (I_2-I_3)\omega_2\omega_3 = 0$

$I_2dot\omega_2 - (I_3-I_1)\omega_3\omega_1 = 0$

$I_3dot\omega_3 - (I_1-I_2)\omega_1\omega_3 = 0$

dove al secondo membro i momenti di forze esterne sono tutti e tre nulli. Al primo membro ci sono i momenti centrali di inerzia e le componenti del vettore velocità angolare sui tre assi centrali. Sappiamo che il vettore velocità angolare non è fisso né rispetto al corpo né rispetto allo spazio. Il moto è descrivibile con la costruzione geometrica di Poinsot. In generale le equazioni di Eulero non sono facili da risolvere. Poi ci possono essere dei casi particolari, in cui il corpo presenta delle simmetrie, che semplificano la risoluzione.

Insomma, il tutto avviene come l'asteroide Toutatis :

viewtopic.php?f=19&t=132449&hilit=Toutatis

In quanto al calcolo del momento angolare, occorre conoscere i momenti centrali di inerzia, per poter scrivere :

$L = (I_1\omega_1 , I_2\omega_2, I_3\omega_3)$

Tieni presente che quando l'asse di rotazione materiale non è asse centrale,il prodotto del momento di inerzia rispetto all'asse per la velocità angolare è solo la proiezione, sull'asse materiale, del momento angolare totale rispetto al CM; infatti il momento angolare totale $vecL$ non è parallelo all'asse di rotazione, ma è un vettore di modulo costante che ruota solidalmente al corpo. Dopo la rottura, il vettore $vecL$ rimane fisso nello spazio assoluto.

Per il tuo solido, sfera e cilindro connessi da una barra , che immagino disposta lungo la retta passante per i centri dei due corpi, non è difficile determinare la posizione del CM e i tre momenti centrali di inerzia. Un asse centrale è certamente la retta detta. Altri due assi, tra loro ortogonali e giacenti nel piano perpendicolare all'asse di simmetria già detto per il CM, sono anch'essi centrali.

Spero di non aver detto corbellerie….nel qual caso qualcuno mi correggerà.