Momento angolare
Salve,
affrontando il seguente problema, mi è sorto un dubbio riguardo il momento angolare:
Un'asta di massa $m_1$ e lunghezza $l$ è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Inizialmente l'asta è in quiete e in posizione orizzontale. Un punto materiale di massa $m_2$ colpisce con velocità $v$ ortogonale all'asta in direzione verticale, l'estremo dell'asta. Assumendo che l'urto sia elastico, determinare, nell'istante successivo all'urto, la velocità angolare $\omega$ dell'asta e la velocità $v'$ del punto materiale.
O
$\downarrow$
____________________________________
(________________o__________________()
A causa del vincolo la quantità di moto non si conserva, quindi, per trovare $\omega$ e $v'$ metto a sistema l'equazione della conservazione del momento angolare e, essendo l'urto elastico, l'equazione della conservazione dell'energia cinetica.
Per quanto riguarda l'energia cinetica, l'equazione è semplice. Trovo difficoltà invece nello scrivere l'equazione della conservazione del momento angolare in quanto io la scriverei:
$m_2vl/2 = I\omega$ , con $I = 1/12 m_1 l^2 /2$
mentre nelle soluzioni è riportata questa equazione:
$m_2vl/2=I\omega-m_2v' l/2$ , con $I = 1/12 m_1 l^2 /2$
Capisco che, descrivendo l'istante subito dopo l'urto, devo considerare anche il momento angolare del punto materiale. Quello che rimane più ostico da capire è il perchè di quel segno meno in $-m_2v' l/2$.
Grazie.
affrontando il seguente problema, mi è sorto un dubbio riguardo il momento angolare:
Un'asta di massa $m_1$ e lunghezza $l$ è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Inizialmente l'asta è in quiete e in posizione orizzontale. Un punto materiale di massa $m_2$ colpisce con velocità $v$ ortogonale all'asta in direzione verticale, l'estremo dell'asta. Assumendo che l'urto sia elastico, determinare, nell'istante successivo all'urto, la velocità angolare $\omega$ dell'asta e la velocità $v'$ del punto materiale.
O
$\downarrow$
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(________________o__________________()
A causa del vincolo la quantità di moto non si conserva, quindi, per trovare $\omega$ e $v'$ metto a sistema l'equazione della conservazione del momento angolare e, essendo l'urto elastico, l'equazione della conservazione dell'energia cinetica.
Per quanto riguarda l'energia cinetica, l'equazione è semplice. Trovo difficoltà invece nello scrivere l'equazione della conservazione del momento angolare in quanto io la scriverei:
$m_2vl/2 = I\omega$ , con $I = 1/12 m_1 l^2 /2$
mentre nelle soluzioni è riportata questa equazione:
$m_2vl/2=I\omega-m_2v' l/2$ , con $I = 1/12 m_1 l^2 /2$
Capisco che, descrivendo l'istante subito dopo l'urto, devo considerare anche il momento angolare del punto materiale. Quello che rimane più ostico da capire è il perchè di quel segno meno in $-m_2v' l/2$.
Grazie.
Risposte
essendo l'urto elastico,la velocità del proiettile inverte il verso,quindi passa da $v$ a $-v'$
il libro ha inteso $v'$ come modulo della velocità
il libro ha inteso $v'$ come modulo della velocità
Scusa ma non ho capito cosa intendi. Anche perchè se il proiettile rimbalzi, continui verso il basso o addirittura abbia velocità pari a 0, dipende solo dalle masse e non riesco a capire perchè sottraggo quel momento anzichè aggiungerlo.
che io sappia,urto elastico vuol dire che rimbalza,altrimenti sarebbe anelastico
poi ,non dimenticherei che il momento angolare è un vettore
poi ,non dimenticherei che il momento angolare è un vettore
"porzio":
essendo l'urto elastico,la velocità del proiettile inverte il verso,quindi passa da $v$ a $-v'$
il libro ha inteso $v'$ come modulo della velocità
Questo sarebbe vero se il corpo di massa [tex]m_2[/tex] sbattesse contro qualcosa che sta fermo dopo l'urto (un muro ad esempio), ma l'asta dopo l'urto si muove quindi la massa [tex]m_2[/tex] trasmette un po' della sua energia cinetica all'asta, e quindi la velocita' v' sara', in generale, diversa dalla velocita' v con la quale la palla colpisce l'asta ...
"caesar753":
la velocita' v' sara', in generale, diversa dalla velocita' v con la quale la palla colpisce l'asta ...
e chi ha detto il contrario ?
io ho detto che cambia verso,ma non ho detto niente sul modulo
Io con urto elastico intendo che si conserva l'energia cinetica, mentre anelastico che una parte ne viene assorbita. Se do un calcio a un pallone credo sia un urto elastico ma sia palla che piede vano nella stessa direzione.
l'esempio del calcio al pallone non mi sembra calzante
piuttosto, rimaniamo all'esercizio : il libro non ti ha dato il valore delle masse proprio perchè credo che sia in accordo con la mia interpretazione : elastico=rimbalza
un corpo può rimbalzare anche se urta qualcosa di non fisso : è una questione di rapporto di masse
piuttosto, rimaniamo all'esercizio : il libro non ti ha dato il valore delle masse proprio perchè credo che sia in accordo con la mia interpretazione : elastico=rimbalza
un corpo può rimbalzare anche se urta qualcosa di non fisso : è una questione di rapporto di masse
Secondo il risultato del libro:
$v'=\frac{m_1-3m_2}{m_1+3m_2}v$
Quindi il proiettile:
- rimbalza se $3m_2
- si ferma se $3m_2=m_1$
Il concetto di urto elastico non implica per forza che ci sia un rimbalzo.
Tornando ontopic, c'è qualcuno che mi sappia aiutare?
$v'=\frac{m_1-3m_2}{m_1+3m_2}v$
Quindi il proiettile:
- rimbalza se $3m_2
- si ferma se $3m_2=m_1$
Il concetto di urto elastico non implica per forza che ci sia un rimbalzo.
Tornando ontopic, c'è qualcuno che mi sappia aiutare?
Completando quanto detto:
la pallina ha velocita', prima dell'urto, [tex]v[/tex],diretta verso il basso, dopo l'urto avra' una velocita' genericamente diversa [tex]v'[/tex], diretta verso l'alto, ed anche l'asta comincera' a ruotare con una certa velocita$\omega$, andando a fare i prodotti vettore per trovare i momenti angolari, chiamando A il punto in cui abbiamo
[tex]\begin{array}{l}
L_{prima}\ =\ (A-O) \wedge (m\vec v)\ =\\
(A-O)\ =\ (-l/2, 0, 0)\\
m\vec v\ =\ (0, -mv,0)\\
=\ mv\frac{l}{2}\\
\\
L_{dopo}\ =\ (A-O)\wedge (m\vec v')\ =\\
(A-O)\ =\ (-l/2, 0, 0)\\
m\vec v'\ =\ (0, mv',0)\\
=\ -mv'\frac{l}{2}
\end{array}[/tex]
quindi tornando alle equazioni di conservazione dell'energia e del momento angolare hai
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}mv^2\ =\ \frac{1}{2}mv'^2\ +\ \frac{1}{2}I\omega^2\\
mv\frac{l}{2}\ =\ I\omega\ -\ mv'\frac{l}{2}
\end{array}
\right.[/tex]
e mi sembra tornare con la soluzione del libro ...
la pallina ha velocita', prima dell'urto, [tex]v[/tex],diretta verso il basso, dopo l'urto avra' una velocita' genericamente diversa [tex]v'[/tex], diretta verso l'alto, ed anche l'asta comincera' a ruotare con una certa velocita$\omega$, andando a fare i prodotti vettore per trovare i momenti angolari, chiamando A il punto in cui abbiamo
[tex]\begin{array}{l}
L_{prima}\ =\ (A-O) \wedge (m\vec v)\ =\\
(A-O)\ =\ (-l/2, 0, 0)\\
m\vec v\ =\ (0, -mv,0)\\
=\ mv\frac{l}{2}\\
\\
L_{dopo}\ =\ (A-O)\wedge (m\vec v')\ =\\
(A-O)\ =\ (-l/2, 0, 0)\\
m\vec v'\ =\ (0, mv',0)\\
=\ -mv'\frac{l}{2}
\end{array}[/tex]
quindi tornando alle equazioni di conservazione dell'energia e del momento angolare hai
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}mv^2\ =\ \frac{1}{2}mv'^2\ +\ \frac{1}{2}I\omega^2\\
mv\frac{l}{2}\ =\ I\omega\ -\ mv'\frac{l}{2}
\end{array}
\right.[/tex]
e mi sembra tornare con la soluzione del libro ...
Ragionandola così può andare. Il fatto però è che tu assumi a priori che $v'$ sia diretto verso l'alto, mentre anche le soluzioni del libro riportano che questo dipende soltanto dalle masse: può anche essere che il punto continui il suo tragitto verso il basso, seppur con velocità minore.
se il libro mette il termine col meno è ovvio che intenda(magari in maniera troppo semplicistica)che il corpo rimbalzi
epimar,abbi un pò di elasticità mentale
altrimenti aspetta che qualcuno dia un'interpretazione più ragionevole della mia
passo e chiudo definitivamente
epimar,abbi un pò di elasticità mentale
altrimenti aspetta che qualcuno dia un'interpretazione più ragionevole della mia
passo e chiudo definitivamente
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