Momenti e rotazioni
Sposto qui il problema della bici, anche perchè ci sono altri dubbi del genere che mi assillano...
DOMANDA 1. Se una bicicletta si muove con velocità traslazionale uguale a V, è corretto dire che CIASCUNA ruota si muove con velocità angolare $\omega = V/R$? stiamo supponendo che non ci sia trascinamento. Il libro invece tende a raddoppiare tale valore, e la cosa mi è abbastanza traumatica.
DOMANDA 2. http://imageshack.us/photo/my-images/86 ... ineyi.png/
Mettiamo che c'è un sistema come quello della figura (in generale, un sistema dal "raggio non omogeneo" che ruota su se stesso. Ho qualche difficoltà a scrivere la seconda equazione della dinamica!!! Infatti
$\tau =I\alpha => Fr = I a/R$ stiamo ipotizzando sempre no trascinamento.
La mia domanda è cosa devo prendere per R? devo prendere il raggio della RUOTA o il raggio della sbarra? In generale quando il sistema è composto da un insieme di parti che ruotano dal raggio non uniforme, come mi comporto?
DOMANDA 1. Se una bicicletta si muove con velocità traslazionale uguale a V, è corretto dire che CIASCUNA ruota si muove con velocità angolare $\omega = V/R$? stiamo supponendo che non ci sia trascinamento. Il libro invece tende a raddoppiare tale valore, e la cosa mi è abbastanza traumatica.
DOMANDA 2. http://imageshack.us/photo/my-images/86 ... ineyi.png/
Mettiamo che c'è un sistema come quello della figura (in generale, un sistema dal "raggio non omogeneo" che ruota su se stesso. Ho qualche difficoltà a scrivere la seconda equazione della dinamica!!! Infatti
$\tau =I\alpha => Fr = I a/R$ stiamo ipotizzando sempre no trascinamento.
La mia domanda è cosa devo prendere per R? devo prendere il raggio della RUOTA o il raggio della sbarra? In generale quando il sistema è composto da un insieme di parti che ruotano dal raggio non uniforme, come mi comporto?
Risposte
Dipende dal sistema di riferimento.
Se prendiamo un sistema di riferimento che trasla insieme alla bicicletta, allora la velocità di ciascun punto della periferia di ciascuna ruota è data dal prodotto della velocità angolare di ciascuna ruota per il raggio della ruota, ed è un vettore tangente alla ruota in quel punto.
Se invece prendiamo a riferimento un sistema fermo, cioè solidale col terreno, allora la velocità di ciascun punto di ciascuna ruota è uguale alla somma vettoriale della velocità calcolata nel caso precedente più il vettore velocità del sistema bicicletta (che trasla nel verso del moto). Il che vuol dire per esempio che, detta v la velocità della bicicletta, in un certo istante la velocità assoluta del punto delle ruote che tocca terra è zero, mentre la velocità assoluta del punto superiore di ciascuna ruota è 2v, diretta nel senso di marcia. In questo caso ogni punto della ruota ha velocità assoluta ortogonale al segmento che congiunge il punto considerato col punto in cui la ruota tocca terra, che è detto centro istantaneo di rotazione. Insomma nel riferimento assoluto i punti di ciascuna ruota ruotano non attorno al perno, ma attorno al centro istantaneo di rotazione che è il punto in cui la ruota tocca terra.
La domanda al punto 2 e il disegno non li capisco.
Se prendiamo un sistema di riferimento che trasla insieme alla bicicletta, allora la velocità di ciascun punto della periferia di ciascuna ruota è data dal prodotto della velocità angolare di ciascuna ruota per il raggio della ruota, ed è un vettore tangente alla ruota in quel punto.
Se invece prendiamo a riferimento un sistema fermo, cioè solidale col terreno, allora la velocità di ciascun punto di ciascuna ruota è uguale alla somma vettoriale della velocità calcolata nel caso precedente più il vettore velocità del sistema bicicletta (che trasla nel verso del moto). Il che vuol dire per esempio che, detta v la velocità della bicicletta, in un certo istante la velocità assoluta del punto delle ruote che tocca terra è zero, mentre la velocità assoluta del punto superiore di ciascuna ruota è 2v, diretta nel senso di marcia. In questo caso ogni punto della ruota ha velocità assoluta ortogonale al segmento che congiunge il punto considerato col punto in cui la ruota tocca terra, che è detto centro istantaneo di rotazione. Insomma nel riferimento assoluto i punti di ciascuna ruota ruotano non attorno al perno, ma attorno al centro istantaneo di rotazione che è il punto in cui la ruota tocca terra.
La domanda al punto 2 e il disegno non li capisco.
Riguardo alla 1. Il sistema di riferimento è definito l'asse della rutoa...
Riguardo alla 2?
Riguardo alla 2?
In generale un corpo rigido ruota attorno a un punto detto centro istantaneo di rotazione. Questo punto può essere sempre lo stesso oppure può cambiare, però in un certo istante è da considerarsi "fermo".
Dunque preso a riferimento quel punto come polo, è possibile definire una velocità angolare $\omega$ del corpo. Le velocità di tutti i punti del corpo rigido si ottengono con la formula [tex]\vec v = \vec \omega \times \vec r[/tex], dove [tex]\vec r[/tex] è il vettore posizione del punto rispetto al polo scelto. Dunque venendo alla domanda la R da prendere è la distanza tra il punto e il centro istantaneo di rotazione, e la velocità è un vettore ortogonale a questo raggio.
Tornando all'esempio della ruota che rotola sul terreno, il centro istantaneo di rotazione nel sistema fisso è il punto di contatto della ruota col terreno, e preso un punto alla periferia della ruota la sua velocità è ortogonale alla congiungente di quel punto col centro di rotazione.
Tracciando la curva che questo punto percorre si ottiene una cicloide. La velocità del punto più alto della ruota è [tex]v = 2 \omega R[/tex], perché la distanza tra il punto e il centro di rotazione è 2R.
Dunque preso a riferimento quel punto come polo, è possibile definire una velocità angolare $\omega$ del corpo. Le velocità di tutti i punti del corpo rigido si ottengono con la formula [tex]\vec v = \vec \omega \times \vec r[/tex], dove [tex]\vec r[/tex] è il vettore posizione del punto rispetto al polo scelto. Dunque venendo alla domanda la R da prendere è la distanza tra il punto e il centro istantaneo di rotazione, e la velocità è un vettore ortogonale a questo raggio.
Tornando all'esempio della ruota che rotola sul terreno, il centro istantaneo di rotazione nel sistema fisso è il punto di contatto della ruota col terreno, e preso un punto alla periferia della ruota la sua velocità è ortogonale alla congiungente di quel punto col centro di rotazione.
Tracciando la curva che questo punto percorre si ottiene una cicloide. La velocità del punto più alto della ruota è [tex]v = 2 \omega R[/tex], perché la distanza tra il punto e il centro di rotazione è 2R.
Ma la ruota non gira attorno al suo ASSE, nel centro della ruota? Perchè prendi come punto il punto più basso della ruota?
"newton_1372":
Ma la ruota non gira attorno al suo ASSE, nel centro della ruota? Perchè prendi come punto il punto più basso della ruota?
Ti ripeto che dipende dal sistema di riferimento.
Se prendi un riferimento solidale con la bicicletta, la ruota gira attorno al perno che è l'unico punto fermo della ruota in quel sistema di riferimento.
Se invece prendi a riferimento un sistema solidale con la strada il perno si muove anche lui, dunque non è fermo in quel sistema. L'unico punto fermo in quel sistema è il punto di contatto col terreno, dunque quello è il centro istantaneo di rotazione e il corpo rigido costituito dalla ruota in quell'istante gira attorno al punto di contatto col terreno.
Per convincertene basta che ti ricordi come la velocità di un corpo in un sistema assunto come assoluto sia uguale alla velocità relativa in un sistema mobile (bicicletta) più la velocità di trascinamento del sistema mobile (velocità della bicicletta rispetto al terreno). Nel punto di contatto con la strada queste due velocità sono uguali e opposte, la loro somma è nulla, quel punto è istantaneamente fermo. Per qualunque altro punto della ruota invece (compreso il perno) facendo la somma dei due vettori si trova un vettore ortogonale alla congiungnte tra quel punto e il punto di contatto col terreno. In questo sistema il perno ha velocità uguale a quella di trascinamento, perché la sua velocità nel sistema relativo è nulla.
Il libro chiede la velocità angolare RISPETTO ALL'ASSE della bicicletta, quindi intende il sistema di rifermento relativo...eppure la assume $2V/R$
"newton_1372":
Il libro chiede la velocità angolare RISPETTO ALL'ASSE della bicicletta, quindi intende il sistema di rifermento relativo...eppure la assume $2V/R$
Non capisco perchè. E' evidente che la velocità angolare è V/R.
E poi ancora non mi è chiaro questo concetto...ho provato a fare un disegno con io in disparte che guardo la ruota allontanarsi...quello che percepisco è ovviamente $V_{cdm}+v_{ruota}$ per una pura questione di velocità relativa. Ma tenendo conto che quelli sono VETTORI e che la direzione di v_ruota CAMBIA IN CONTINUAZIONE, la cosa mi risulta orribilmente incasinata...
In ogni caso non mi risulta che la ruota giri attorno a un asse passante per il punto di contatto...è ovvio che la ruota gira SU SE STESSA...dobbiamo solo considerare quella V del centro di massa in più...
E poi mi spiegherebbe perchè il punto di contatto rimane fermo, che non l'ho capito bene? Se tale punto avesse velocità 0, non si sposterebbe...:S
In ogni caso non mi risulta che la ruota giri attorno a un asse passante per il punto di contatto...è ovvio che la ruota gira SU SE STESSA...dobbiamo solo considerare quella V del centro di massa in più...
E poi mi spiegherebbe perchè il punto di contatto rimane fermo, che non l'ho capito bene? Se tale punto avesse velocità 0, non si sposterebbe...:S
"newton_1372":
E poi ancora non mi è chiaro questo concetto...ho provato a fare un disegno con io in disparte che guardo la ruota allontanarsi...quello che percepisco è ovviamente $V_{cdm}+v_{ruota}$ per una pura questione di velocità relativa. Ma tenendo conto che quelli sono VETTORI e che la direzione di v_ruota CAMBIA IN CONTINUAZIONE, la cosa mi risulta orribilmente incasinata...
In ogni caso non mi risulta che la ruota giri attorno a un asse passante per il punto di contatto...è ovvio che la ruota gira SU SE STESSA...dobbiamo solo considerare quella V del centro di massa in più...
E poi mi spiegherebbe perchè il punto di contatto rimane fermo, che non l'ho capito bene? Se tale punto avesse velocità 0, non si sposterebbe...:S
Sommando i vettori appare certo che sul punto di contatto la somma è nulla, poiché la velocità relativa è uguale e opposta alla velocità di trascinamento no?
Bene, allora quel punto è fermo nel sistema assoluto. E allora se è fermo come mai "si muove", nel senso che dopo una frazione di tempo si è spostato sul nuovo punto di contatto? Ebbene la risposta è che non è vero che si è spostato, semplicemente il centro di rotazione sta su un nuovo punto di contatto pure lui fermo. Insomma il centro di rotazione cambia trasferendosi su punti limitrofi tutti fermi. Capisco che il concetto suona un po' strano, però le cose stanno esattamente così.
Ora, se un punto di un corpo rigido è fermo, come si muovono allora tutti gli altri punti del corpo stesso?
Poiché una delle proprietà del corpo rigido è che le distanze tra i suoi punti restano invariate, allora resta invariata anche la distanza tra un punto qualsiasi scelto sulla ruota e il punto fermo. Il che significa che il punto scelto sulla ruota gira attorno al punto fermo, che pertanto può essere definito centro della rotazione. A causa della rigidità dunque la velocità di ciascun punto è ortogonale alla congiungente di quel punto col centro di rotazione e il modulo della velocità è proporzionale alla distanza tra i due punti.
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