Momenti d'inerzia, un po' di confusione
Ciao a tutti,
Molto spesso, quando cerco su libri e testi online la risoluzione di esercizi su momenti di inerzia, trovo due cose che mi confondono
$1)$ Trovo che spesso le definizioni "momento d'inerzia polare" e "momento d'inerzia rispetto ad una retta" vengono interscambiate ed usate in maniera equivalente, nonostante siano due cose diverse.
Consideriamo un corpo rigido omogeneo di densità $rho$ che giace sul piano $xy$.
Mi confermate che in entrambi i casi si usa questa formula:
$I = int int (x^2+y^2) dm= int int (x^2+y^2) rhodxdy $
?
Nel momento d'inerzia polare, $x$ ed $y$ rappresentano la distanza della massettina infinitesima da un punto $O$?
Nel momento d'inerzia rispetto ad una retta perpendicolare al piano che contiene il corpo, $x$ ed $y$ rappresentano la distanza della massettina infinitesima da tale retta?
$2)$ In alcuni testi, non trovo scritta la densità $rho$ nell'integrale del momento d'inerzia. Viene semplicemente calcolata la distanza dell'area infinitesima da un polo o da una retta.
Questo accade semplicemente perché la densità viene considerata identicamente uguale a $1$?
In modo da scrivere
$ dm= rho dxdy= 1* dxdy= dxdy$
?
Spero che sia così, perché altrimenti non capirei il perché di questa cosa.
Riporto nello spazio sottostante un esempio trovato sul web di un libro usato nelle scuole superiori. Questo è solo un esempio, ma ho letto ciò in vari testi.
Molto spesso, quando cerco su libri e testi online la risoluzione di esercizi su momenti di inerzia, trovo due cose che mi confondono
$1)$ Trovo che spesso le definizioni "momento d'inerzia polare" e "momento d'inerzia rispetto ad una retta" vengono interscambiate ed usate in maniera equivalente, nonostante siano due cose diverse.
Consideriamo un corpo rigido omogeneo di densità $rho$ che giace sul piano $xy$.
Mi confermate che in entrambi i casi si usa questa formula:
$I = int int (x^2+y^2) dm= int int (x^2+y^2) rhodxdy $
?
Nel momento d'inerzia polare, $x$ ed $y$ rappresentano la distanza della massettina infinitesima da un punto $O$?
Nel momento d'inerzia rispetto ad una retta perpendicolare al piano che contiene il corpo, $x$ ed $y$ rappresentano la distanza della massettina infinitesima da tale retta?
$2)$ In alcuni testi, non trovo scritta la densità $rho$ nell'integrale del momento d'inerzia. Viene semplicemente calcolata la distanza dell'area infinitesima da un polo o da una retta.
Questo accade semplicemente perché la densità viene considerata identicamente uguale a $1$?
In modo da scrivere
$ dm= rho dxdy= 1* dxdy= dxdy$
?
Spero che sia così, perché altrimenti non capirei il perché di questa cosa.
Riporto nello spazio sottostante un esempio trovato sul web di un libro usato nelle scuole superiori. Questo è solo un esempio, ma ho letto ciò in vari testi.
Risposte
"anonymous_f3d38a":
Nel momento d'inerzia polare, $x$ ed $y$ rappresentano la distanza della massettina infinitesima da un punto $O$?
Nel momento d'inerzia rispetto ad una retta perpendicolare al piano che contiene il corpo, $x$ ed $y$ rappresentano la distanza della massettina infinitesima da tale retta?
Sì corretto.
Nell'esempio che hai fatto, se capisco bene, il corpo è una figura piana che giace sul piano $xy$ pertanto il momento di inerzia polare rispetto a $O$, e il momento di inerzia rispetto alla retta perpendicolare al corpo per $O$, coincidono.
"anonymous_f3d38a":
$2)$ In alcuni testi, non trovo scritta la densità $rho$ nell'integrale del momento d'inerzia. Viene
[...]
Spero che sia così, perché altrimenti non capirei il perché di questa cosa.
Quello "senza $rho$" di cui parli si chiama in genere momento di figura, si riferisce a figure bidimensionali e la densità non entra, è una entità puramente geometrica usata in particolare nella fisica del continuo.
Chi ha studiato "Scienza delle Costruzioni" conosce bene i momenti di figura
Ovvio che in qualche modo sono parenti dei momenti di inerzia....
Sono parenti stretti se la densità è costante.
Grazie mille Faussone. Chiarissimo.
E' corretto dire che i momenti di figura sono momenti d'inerzia in cui la densità è costante ed è uguale a $1$?
E' corretto dire che i momenti di figura sono momenti d'inerzia in cui la densità è costante ed è uguale a $1$?
Diciamo che può andare, ma io lascerei stare questo parellismo e considerarle come entità separate.
I momenti di figura si applicano a corpi piani, non a corpi tridimensionali in genere, a differenza dei momenti di inerzia. Le dimensioni dei momenti di figura sono lunghezze alla quarta, mentre i momenti di inerzia sono masse per lunghezze al quadrato..
I momenti di figura si applicano a corpi piani, non a corpi tridimensionali in genere, a differenza dei momenti di inerzia. Le dimensioni dei momenti di figura sono lunghezze alla quarta, mentre i momenti di inerzia sono masse per lunghezze al quadrato..
Be’ volendo si possono calcolare anche momenti di inerzia di volumi , oltre alle figure piane .
Grazie mille Faussone, e anche a te Kanal
Mai incontrato comunque l'analogo dei momenti di figura per volumi, non credo siano utili e diffusi come i momenti di figura..
Sono d’accordo. Ma lo moltiplichi per la densità, se questa è Costante , e hai il mi di massa. Sheep whool problems.. 
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