Molle in serie
Buongiorno,
sono interessato a sapere come si utilizza la seconda legge di Newton in caso di molle in serie.
Vi vorrei sottoporre il seguente esercizio (che mi sono appena inventato perchè non ne ho trovati sulle dispense che ho a disposizione):
Un corpo dotato di una velocità iniziale di modulo $v_0$ (moto unidimensionale) arriva a contatto con tre molle disposte in serie tali per cui l'ultima di essere è agganciata a una parete. Scrivere la seconda legge di Newton per il corpo.
Mi chiedevo come fare a impostare il problema, non so se posso considerare tutte le molle come un'unica molla perchè le loro costanti elastiche potrebbero essere diverse.
Posso in quel caso applicare una logica di questo tipo considerandole un'unica molla con $k$ pari alla somma di quelle di ogni singola molla?
Se fossero un parallelo come mi dovrei comportare?
Grazie mille!
sono interessato a sapere come si utilizza la seconda legge di Newton in caso di molle in serie.
Vi vorrei sottoporre il seguente esercizio (che mi sono appena inventato perchè non ne ho trovati sulle dispense che ho a disposizione):
Un corpo dotato di una velocità iniziale di modulo $v_0$ (moto unidimensionale) arriva a contatto con tre molle disposte in serie tali per cui l'ultima di essere è agganciata a una parete. Scrivere la seconda legge di Newton per il corpo.
Mi chiedevo come fare a impostare il problema, non so se posso considerare tutte le molle come un'unica molla perchè le loro costanti elastiche potrebbero essere diverse.
Posso in quel caso applicare una logica di questo tipo considerandole un'unica molla con $k$ pari alla somma di quelle di ogni singola molla?
Se fossero un parallelo come mi dovrei comportare?
Grazie mille!
Risposte
In parallelo i $k$ si sommano. $k = k_1 + k_2 + k_3 + ...$
In serie i $k$ seguono questa formula $k = 1/(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3 + ... )$
In serie i $k$ seguono questa formula $k = 1/(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3 + ... )$
Grazie per l'aiuto Quinzio.
Se non chiedo troppo potresti aiutarmi a dimostrarlo? Stavo provando a dimostrare la legge per le molle in serie.
Considero un piano sul quale sono presenti due molle in serie, la molla numero $2$ è fissata a una parete, mentre la $1$ è agganciata a un corpo $C$ e alla $2$, il sistema si muove con una accelerazione $A$ (verso positivo).
Tenendo conto del terzo principio della dinamica applico la seconda legge di Newton a $C$ e a $1$ ottenendo:
$C: -F_(1C)=m_cA$
$1: F_(1C)-F_(12)=0$ (la massa di una molla ideale è trascurabile).
Ora, so che $F_(1C)=K_1X_1$ e $F_(12)=K_2X_2$.
Ipotizzando di aver trovato un'unica molla che faccia restare invariata la situazione del sistema tale molla esercita una forza esprimibile tramite la seconda legge di Newton sul corpo $C$:
$C': -(X_1+X_2)K_(eq)=m_cA$.
Considerando la legge su $1$ ottengo che la differenza dei moduli della forza elastica delle due molle è nulla, facendo qualche calcolo algebrico ottengo:
$X_1+X_2=(K_1X_2-K_2X_1)/(K_1-K_2)$.
Poi eguaglio i primi membri di $C:$ e $C':$ perchè entrambi uguali a $m_cA$.
A questo punto però non so più come andare avanti perchè ottengo che:
$K_(eq)=(K_1X_1)/(X_1+X_2)$ ma non riesco a ricavare algebricamente la formula per $K_(eq)$. È giusto il mio ragionamento e semplicemente non riesco a capire come eseguire algebricamente i passaggi necessari o ho proprio sbagliato a fare la dimostrazione? Grazie mille e buona serata!
Se non chiedo troppo potresti aiutarmi a dimostrarlo? Stavo provando a dimostrare la legge per le molle in serie.
Considero un piano sul quale sono presenti due molle in serie, la molla numero $2$ è fissata a una parete, mentre la $1$ è agganciata a un corpo $C$ e alla $2$, il sistema si muove con una accelerazione $A$ (verso positivo).
Tenendo conto del terzo principio della dinamica applico la seconda legge di Newton a $C$ e a $1$ ottenendo:
$C: -F_(1C)=m_cA$
$1: F_(1C)-F_(12)=0$ (la massa di una molla ideale è trascurabile).
Ora, so che $F_(1C)=K_1X_1$ e $F_(12)=K_2X_2$.
Ipotizzando di aver trovato un'unica molla che faccia restare invariata la situazione del sistema tale molla esercita una forza esprimibile tramite la seconda legge di Newton sul corpo $C$:
$C': -(X_1+X_2)K_(eq)=m_cA$.
Considerando la legge su $1$ ottengo che la differenza dei moduli della forza elastica delle due molle è nulla, facendo qualche calcolo algebrico ottengo:
$X_1+X_2=(K_1X_2-K_2X_1)/(K_1-K_2)$.
Poi eguaglio i primi membri di $C:$ e $C':$ perchè entrambi uguali a $m_cA$.
A questo punto però non so più come andare avanti perchè ottengo che:
$K_(eq)=(K_1X_1)/(X_1+X_2)$ ma non riesco a ricavare algebricamente la formula per $K_(eq)$. È giusto il mio ragionamento e semplicemente non riesco a capire come eseguire algebricamente i passaggi necessari o ho proprio sbagliato a fare la dimostrazione? Grazie mille e buona serata!
Ciao Quinzio, mi sono reso conto che potevo semplificare molto di più sapendo che $F_(C1)=F_(12)$ così facendo mi basta eguagliare tutto a $-m_cA$, poi ricavo $X_1$ e $X_2$ e le sostituisco in $F_(eq)$ e poi ricavo $K_(eq)$ semplificando massa e accelerazione.
Grazie di nuovo per l'aiuto e buona serata!
Grazie di nuovo per l'aiuto e buona serata!
Per quanto riguarda quelle in parallelo mi è sufficiente impostare le equazioni $C:$ e $C':$ e eguagliarne i primi membri ottenendo $K_1X_1+K_2X_2=K_(eq)X$ con $X=X_1=X_2$ da cui la tesi.
Grazie ancora e buona serata!
Grazie ancora e buona serata!
Certo.
Allora le molle in serie sono sottoposte alla stessa forza.
Prova a pensare a questo esempio: metti 3 bilance pesapersone una sopra all'altra e poi sali sopra all'ultima. Supponiamo che le bilance stesse siano leggerissime.
Che peso segnano le bilance ? Segnano tutte lo stesso peso, quello della persona sopra. Non si dividono il peso.
Giusto ? Sei convinto ?
Allora, appurato che segnano lo stesso peso perche' sono sottoposte alla stessa forza, passiamo alle molle.
Nell molla $F = k\Deltax$, dove $\Deltax$ e' lo spostamento dalla posizione di riposo.
Oppure $\Deltax = F/k$
Prendiamo 3 molle, lo spostamento totale e' $\Deltax = \Deltax_1 + \Deltax_2 +\Deltax_3 = F(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3)$
ovvero
$F = \Deltax 1/(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3)$
da cu si deduce che il $k$ complessivo e'
$k = 1/(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3)$
Allora le molle in serie sono sottoposte alla stessa forza.
Prova a pensare a questo esempio: metti 3 bilance pesapersone una sopra all'altra e poi sali sopra all'ultima. Supponiamo che le bilance stesse siano leggerissime.
Che peso segnano le bilance ? Segnano tutte lo stesso peso, quello della persona sopra. Non si dividono il peso.
Giusto ? Sei convinto ?
Allora, appurato che segnano lo stesso peso perche' sono sottoposte alla stessa forza, passiamo alle molle.
Nell molla $F = k\Deltax$, dove $\Deltax$ e' lo spostamento dalla posizione di riposo.
Oppure $\Deltax = F/k$
Prendiamo 3 molle, lo spostamento totale e' $\Deltax = \Deltax_1 + \Deltax_2 +\Deltax_3 = F(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3)$
ovvero
$F = \Deltax 1/(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3)$
da cu si deduce che il $k$ complessivo e'
$k = 1/(1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3)$
Grazie ancora per l'aiuto Quinzio, buona giornata!
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