Molla reale appesa ad un estremo, Allungamento finale
Come da presentazione, scrivo già un problema che mi tiene fermo da ieri sera, e che data la vicinanza della data d'esame contribuisce alla preoccupazione e al nervosismo D:
È data una molla (reale) di costante elastica $k$ e lunghezza $l$, considerata monodimensionale, e di densità lineare $rho$. La molla viene appesa per un estremo, lasciandola libera di estendersi secondo il suo peso. Viene richiesto di calcolare l'allungamento massimo subito (o la lunghezza massima, è indifferente) dalla molla.
Svolgimento (per chi volesse seguire cosa mi hanno consigliato, sono aperto anche e volentieri a ricominciare da zero ;D)
Ho cercato per due ore buone su internet, in qualsiasi lingua possa utilizzare (beh, "Italiano" ed "Inglese" non sono poi così tante lingue), ma con scarsi risultati... Mannaggia alle molle e al loro utilizzo nelle sospensioni, quando sto studiando Fisica! D:
Sfogo vano a parte, ho deciso di chiedere qua, sperando di riuscire a sbloccare la mia testa. Grazie mille a chiunque cercherà di risolvere il mio dilemma, spero possa risultare utile anche ad altri, visto che cercando ho trovato soltanto molle ideali...
È data una molla (reale) di costante elastica $k$ e lunghezza $l$, considerata monodimensionale, e di densità lineare $rho$. La molla viene appesa per un estremo, lasciandola libera di estendersi secondo il suo peso. Viene richiesto di calcolare l'allungamento massimo subito (o la lunghezza massima, è indifferente) dalla molla.
Svolgimento (per chi volesse seguire cosa mi hanno consigliato, sono aperto anche e volentieri a ricominciare da zero ;D)
Ho cercato per due ore buone su internet, in qualsiasi lingua possa utilizzare (beh, "Italiano" ed "Inglese" non sono poi così tante lingue), ma con scarsi risultati... Mannaggia alle molle e al loro utilizzo nelle sospensioni, quando sto studiando Fisica! D:
Sfogo vano a parte, ho deciso di chiedere qua, sperando di riuscire a sbloccare la mia testa. Grazie mille a chiunque cercherà di risolvere il mio dilemma, spero possa risultare utile anche ad altri, visto che cercando ho trovato soltanto molle ideali...
Risposte
L'equazione differenziale risolutiva è:
$-k (du)/(dx)=mg$
con $m$ densità lineare di massa.
Per ricavarla ti conviene considerare un pezzetto di molla lungo $Delta x$ e vedere le forze che agiscono su quel pezzetto.
In pratica avremmo che nella faccia più in alto agirà una forza di richiamo della molla dovuta al resto della molla pari a $k u(x)$ diretta verso l'alto, mentre nella faccia più in basso agirà una forza di richiamo della molla dovuta al resto della molla pari a $ku (x+Delta x)$ verso verso il basso, infine nel baricentro del pezzo $Deltax$ una forza peso $m Delta x g$ verso il basso.
Possiamo approssimare
$k u (x+Delta x) ~~ k u(x)+k (du)/(dx) Delta x$ sostituirlo nella equazione di equilibrio che viene fuori e mandare $Delta x$ a zero (l'approssimazione diventa quindi un'uguaglianza a quel punto)...
EDIT: Precisate meglio le forze.
$-k (du)/(dx)=mg$
con $m$ densità lineare di massa.
Per ricavarla ti conviene considerare un pezzetto di molla lungo $Delta x$ e vedere le forze che agiscono su quel pezzetto.
In pratica avremmo che nella faccia più in alto agirà una forza di richiamo della molla dovuta al resto della molla pari a $k u(x)$ diretta verso l'alto, mentre nella faccia più in basso agirà una forza di richiamo della molla dovuta al resto della molla pari a $ku (x+Delta x)$ verso verso il basso, infine nel baricentro del pezzo $Deltax$ una forza peso $m Delta x g$ verso il basso.
Possiamo approssimare
$k u (x+Delta x) ~~ k u(x)+k (du)/(dx) Delta x$ sostituirlo nella equazione di equilibrio che viene fuori e mandare $Delta x$ a zero (l'approssimazione diventa quindi un'uguaglianza a quel punto)...
EDIT: Precisate meglio le forze.
Ti ringrazio per la risposta, non avevo proprio pensato all'approssimazione tramite la derivata, e sono partito sparato senza impostare l'equilibrio tra le forze. Mi trovo quindi in questa situazione:
Uploaded with ImageShack.us
Dove, come mi hai consigliato, considererò $\Deltax$ come una parte finita di molla, che porterò poi a tendere a zero.
In rosso ho indicato le forze coinvolte: $F'=ku(x)$ verso l'alto, che è la forza di richiamo della parte superiore, $P=\rho g$, il peso del frammento $\Deltax$, e $F''=ku(x+\Delta x)$, la forza di richiamo della parte inferiore a $u(x+\Deltax)$.
Ho però due domande:
Uploaded with ImageShack.us
Dove, come mi hai consigliato, considererò $\Deltax$ come una parte finita di molla, che porterò poi a tendere a zero.
In rosso ho indicato le forze coinvolte: $F'=ku(x)$ verso l'alto, che è la forza di richiamo della parte superiore, $P=\rho g$, il peso del frammento $\Deltax$, e $F''=ku(x+\Delta x)$, la forza di richiamo della parte inferiore a $u(x+\Deltax)$.
Ho però due domande:
- -Alla forza [tex]F''[/tex] non dovrei aggiungere la forza peso del tratto di molla al di sotto di $u(x+\Deltax)$? O devo considerarlo annullato dall'estensione subita dal tratto $\Deltax$?
-Sempre [tex]F''[/tex]: come mai il suo valore è $ku(x+\Deltax)$? Non si tratta di $k[l-u(x+\Deltax)]$? (O sto sbagliando a considerare $u(x)$?) [/list:u:3pp5w9bz]
Per la prima domanda quando isoli il pezzetto $Delta x$ devi solo tenere in conto della forza che il resto di molla esercita sul pezzo isolato a causa dell'allungamento, il peso dei pezzi fuori non partecipa (o se vuoi è tenuto già in conto dalle forze di richiamo del resto della molla che sono influenzate dal peso).
Per la seconda devi considerare che in ogni punto la forza di richiamo della molla è pari a $k u(x)$, infatti con $u(x)$ intendo l'allungamento totale della molla nel punto $x$.
Per la seconda devi considerare che in ogni punto la forza di richiamo della molla è pari a $k u(x)$, infatti con $u(x)$ intendo l'allungamento totale della molla nel punto $x$.
Cavolotti, ce l'ho fatta!
Grazie mille dell'aiuto, Faussone, avevo ripetuto due volte la stessa dimenticanza: imporre la staticità del sistema!
Il mio dubbio nasceva infatti dal fatto che avevo dimenticato una considerazione: una volta raggiunto la staticità, per non esserci nuova estensione, devono necessariamente annullarsi in ogni punto peso e richiamo! (E ce ne ho messo di tempo per capirla!)
Grazie mille per l'aiuto, dopo aver letto il tuo secondo post sono stato illuminato in auto e ho capito cosa intendevi!
-Giordano
Grazie mille dell'aiuto, Faussone, avevo ripetuto due volte la stessa dimenticanza: imporre la staticità del sistema!
Il mio dubbio nasceva infatti dal fatto che avevo dimenticato una considerazione: una volta raggiunto la staticità, per non esserci nuova estensione, devono necessariamente annullarsi in ogni punto peso e richiamo! (E ce ne ho messo di tempo per capirla!)
Grazie mille per l'aiuto, dopo aver letto il tuo secondo post sono stato illuminato in auto e ho capito cosa intendevi!
-Giordano
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