Molla lungo piano inclinato
La mia domanda è la seguente:
Supponiamo di avere un piano inclinato di un certo angolo $\theta$ . Sul piano inclinato vi è un corpo puntiforme ad una certa altezza h. Alla base del piano inclinao è posizionata una molla di lunghezza a riposo x.
Sapendo che il piano è liscio, si lascia cadere il corpo lungo il piano inclinato. Si vuole calcolare l'elongazione massima della molla nel momento in cui il corpo raggiungie la molla. Ovvero una volta che il corpo avrà raggiunto la molla quest'ultima si comprimerà di un certo dx per poi lanciare nuovamente il corpo su per il piano inclinato, quello che viene chiesto è trovare dx.
Solitamente questo problema viene risolto ponendo che nel momento in cui il corpo è fermo e la molla è compressa tutta l'energia meccanica sia diventata energia potenziale elastica, ovvero:
$mgh=1/2 k(dx^2)$
$dx=\sqrt{2mgh/k}$
Qui arriva il mio dubbio:
Usando la formula appena presentata si pone che il punto di minimo dell'energia potenziale sia quello in cui il corpo va a contatto con la molla, il quale dista h dal punto in cui inizia il moto. Il problema che mi pongo è che man mano che la molla si comprime il corpo continua a scendere lungo il piano inclinato comprimendo la molla, e dunque il valore dell'energia potenziale non è più 0 come si suppone utilizzando la formula precedente.
Quello che ho pensato di fare tenendo conto di ciò è:
$mgh=1/2 k(dx^2)+mg(x-dx)sin(\theta)$
Da cui:
$dx=\frac{mgsin(\theta) \pm sqrt{(mgsin(\theta))^2 -2k(mgxsin(\theta)-mgh)}}{k}$
(Ho posto il punto di minimo dell'energia potenziale il punto della molla più lontano dal corpo ed ho considerato h come l'altezza del corpo rispetto al punto che ho considerato come 0 per non complicare i calcoli)
Suppongo che sostituendo i simboli con dei valori una delle due soluzioni sia inverosimile e si possa così scegliere quella corretta.
Volevo sapere se il raggionamento fatto da me fosse corretto, e dunque la prima formula che ho mostrato sia un approssimazione di quello che ho fatto io, e se no perchè.
Ringrazio in anticipo tutti coloro che vorranno aiutarmi a risolvere il mio problema.
Supponiamo di avere un piano inclinato di un certo angolo $\theta$ . Sul piano inclinato vi è un corpo puntiforme ad una certa altezza h. Alla base del piano inclinao è posizionata una molla di lunghezza a riposo x.
Sapendo che il piano è liscio, si lascia cadere il corpo lungo il piano inclinato. Si vuole calcolare l'elongazione massima della molla nel momento in cui il corpo raggiungie la molla. Ovvero una volta che il corpo avrà raggiunto la molla quest'ultima si comprimerà di un certo dx per poi lanciare nuovamente il corpo su per il piano inclinato, quello che viene chiesto è trovare dx.
Solitamente questo problema viene risolto ponendo che nel momento in cui il corpo è fermo e la molla è compressa tutta l'energia meccanica sia diventata energia potenziale elastica, ovvero:
$mgh=1/2 k(dx^2)$
$dx=\sqrt{2mgh/k}$
Qui arriva il mio dubbio:
Usando la formula appena presentata si pone che il punto di minimo dell'energia potenziale sia quello in cui il corpo va a contatto con la molla, il quale dista h dal punto in cui inizia il moto. Il problema che mi pongo è che man mano che la molla si comprime il corpo continua a scendere lungo il piano inclinato comprimendo la molla, e dunque il valore dell'energia potenziale non è più 0 come si suppone utilizzando la formula precedente.
Quello che ho pensato di fare tenendo conto di ciò è:
$mgh=1/2 k(dx^2)+mg(x-dx)sin(\theta)$
Da cui:
$dx=\frac{mgsin(\theta) \pm sqrt{(mgsin(\theta))^2 -2k(mgxsin(\theta)-mgh)}}{k}$
(Ho posto il punto di minimo dell'energia potenziale il punto della molla più lontano dal corpo ed ho considerato h come l'altezza del corpo rispetto al punto che ho considerato come 0 per non complicare i calcoli)
Suppongo che sostituendo i simboli con dei valori una delle due soluzioni sia inverosimile e si possa così scegliere quella corretta.
Volevo sapere se il raggionamento fatto da me fosse corretto, e dunque la prima formula che ho mostrato sia un approssimazione di quello che ho fatto io, e se no perchè.
Ringrazio in anticipo tutti coloro che vorranno aiutarmi a risolvere il mio problema.
Risposte
Quando la compressione della molla non à trascurabile dal punto di vista dell'energia potenziale gravitazionale 'approccio più semplice è quello di considerare il $Delta x$ nel relativo termine ovvero porre (supponiamo che h sia la totale altezza e $h-x*sin(theta)$ l'altezza del punto di impatto):
$mg(h- x sin(theta) + Delta x*sin(theta))= 1/2k*(Delta x)^2$
da cui si ricava $Delta x$.
Nota che la formula è uguale alla tua, sono solo riarrangiati i termini per mettere meglio in evidenza e separare il contributo gravitazionale da quello elastico. Quanto alla soluzione da prendere si osserva che il termine $2kmg(h-xsin(theta))$ dentro la radice è positivo e quindi il termine sotto radice è maggiore di $mgsin(theta)$. Quindi per evitare $Delta x$ negative, la soluzione da prendere è quella positiva.
Infine se supponiamo $(x-Deltax)sin(theta)$ trascurabile rispetto ad $h$ la formula iniziale si trasforma in quella classica.
$mg(h- x sin(theta) + Delta x*sin(theta))= 1/2k*(Delta x)^2$
da cui si ricava $Delta x$.
Nota che la formula è uguale alla tua, sono solo riarrangiati i termini per mettere meglio in evidenza e separare il contributo gravitazionale da quello elastico. Quanto alla soluzione da prendere si osserva che il termine $2kmg(h-xsin(theta))$ dentro la radice è positivo e quindi il termine sotto radice è maggiore di $mgsin(theta)$. Quindi per evitare $Delta x$ negative, la soluzione da prendere è quella positiva.
Infine se supponiamo $(x-Deltax)sin(theta)$ trascurabile rispetto ad $h$ la formula iniziale si trasforma in quella classica.
"ingres":
Quando la compressione della molla non à trascurabile dal punto di vista dell'energia potenziale gravitazionale 'approccio più semplice è quello di considerare il $Delta x$ nel relativo termine ovvero porre (supponiamo che h sia la totale altezza e $h-x*sin(theta)$ l'altezza del punto di impatto):
$mg(h- x sin(theta) + Delta x*sin(theta))= 1/2k*(Delta x)^2$
da cui si ricava $Delta x$.
Nota che la formula è uguale alla tua, sono solo riarrangiati i termini per mettere meglio in evidenza e separare il contributo gravitazionale da quello elastico. Quanto alla soluzione da prendere si osserva che il termine $2kmg(h-xsin(theta))$ dentro la radice è positivo e quindi il termine sotto radice è maggiore di $mgsin(theta)$. Quindi per evitare $Delta x$ negative, la soluzione da prendere è quella positiva.
Infine se supponiamo $(x-Deltax)sin(theta)$ trascurabile rispetto ad $h$ la formula iniziale si trasforma in quella classica.
Grazie mille per la risposta, sei stato chiarissimo!
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