Molla e accelerazione massima
ammettiamo che ci sia una molla ideale di costante elastica k fissata ad un telaio ad una estremità e collegata ad una massa m all'altra, so che v(0)=0, si trascurino tutti gli attriti, non conosco la posizione iniziale rispetto ad un riferimento solidale con la posizione dell'estremità libera della molla a riposo, ma so che la molla per effetto di una forza F(t), di cui non si conosce l'espressione, sempre diretta nello stesso verso si accorcia di un delta x, poi il sistema si ferma. è possibile dire qualcosa sull'accelerazione massima della massa? se no, perchè?
Risposte
"gaussz":
ammettiamo che ci sia una molla ideale di costante elastica k fissata ad un telaio ad una estremità e collegata ad una massa m all'altra, so che v(0)=0, si trascurino tutti gli attriti, non conosco la posizione iniziale rispetto ad un riferimento solidale con la posizione dell'estremità libera della molla a riposo, ma so che la molla per effetto di una forza F(t), di cui non si conosce l'espressione, sempre diretta nello stesso verso si accorcia di un delta x, poi il sistema si ferma. è possibile dire qualcosa sull'accelerazione massima della massa? se no, perchè?
Dovresti essere solo un pò più chiaro, immagino che $v(t)$ sia la velocità della massa $m$ dopo un tempo $t$...
Vediamo se riesco a dirti qualcosa di utile. Una molla ideale di solito in quiete ha una lunghezza nulla e se fissato un suo estremo a un punto e tesa fino a una lunghezza $l$ allora essa esercità sull'estremo libero una forza $kl$, quindi se nell'estremo libero c'è legata una massa $m$ essa subisce un accelerazione $kl/m$.
Ma questo di sicuro lo sapevi già, magari se spieghi meglio qualcuno riesce ad aiutarti
Ciao!
Una molla ideale di solito in quiete ha una lunghezza nulla
io ho detto:
non conosco la posizione iniziale rispetto ad un riferimento solidale con la posizione dell'estremità libera della molla a riposo
cioè non conosco la lunghezza della molla a riposo e nemmeno quanto è accorciata inizialmente.
quindi se nell'estremo libero c'è legata una massa $m$ essa subisce un accelerazione $kl/m$.
non è affatto vero!! poichè sulla massa non agisce solo k*l, ma, come ho detto agisce anche F(t)! (forza in funzione del tempo (se non si era capito))
spero di essermi spiegato.
"gaussz":quindi se nell'estremo libero c'è legata una massa $m$ essa subisce un accelerazione $kl/m$.
non è affatto vero!! poichè sulla massa non agisce solo k*l, ma, come ho detto agisce anche F(t)! (forza in funzione del tempo (se non si era capito))
spero di essermi spiegato.
Ok, adesso è chiaro oltre alla forza provocata dalla molla c'è anche un altra forza, io pensavo che $F(t)$ fosse la forza provocata dalla molla.
Ciao!
Ciao! 
Allora,se ho capito il testo,
secondo la meccanica classica dovrebbe essere
a(t)=k(L-x(t))-F(t)/m con L= lunghezza molla a riposo.
Da cui per l'arbitrarietà di F, a(t) può essere grande a piacere.
Ma probabilmente mi sfugge qualcosa, visto che questo sicuramente lo sai.
Allora,se ho capito il testo,
secondo la meccanica classica dovrebbe essere
a(t)=k(L-x(t))-F(t)/m con L= lunghezza molla a riposo.
Da cui per l'arbitrarietà di F, a(t) può essere grande a piacere.
Ma probabilmente mi sfugge qualcosa, visto che questo sicuramente lo sai.
hai ragione tu:
.... ti sfugge qualcosa!
x(t) è legata ad F(t) da une eq. differenziale, quindi a(t) potrebbe non essere grande a piacere. il problema è più matematico che fisico, ma l'ho postato qui... se qualcuno riesce a 'matematizzarlo'... io non ci sono riuscito, forse c'entra qualcosa la convoluzione.
.... ti sfugge qualcosa!
x(t) è legata ad F(t) da une eq. differenziale, quindi a(t) potrebbe non essere grande a piacere. il problema è più matematico che fisico, ma l'ho postato qui... se qualcuno riesce a 'matematizzarlo'... io non ci sono riuscito, forse c'entra qualcosa la convoluzione.
so che potrebbe sembrare un problema campato in aria, ma così non è.
io sono arrivato alla conclusione che l'accelerazione massima della massa è sempre la stessa nel caso di F(t) impulsiva o sinusoide(ovviamente presa nell'intervallo in cui agisce, cioè tra 0 e pi greco sempre dello stesso segno), nell'istante finale in cui la velocità torna ad annullarsi (come ho detto, il sistema si ferma), l'accelerazione è diretta nel verso che tende a riportare la molla alla situazione di equilibrio, la F(t)=0 quando la molla ha raggiunto la massima elongazione ma porebbe essere =0 anche prima, la velocità è nulla solo nell'istante iniziale-finale, di ciò che succede dopo non me ne importa, inoltre per essere più precisi, agisce sempre sul sistema una ulteriore forza pari a k*x con x indico x=posizione iniziale della massa in equilibrio, quindi la forza F(t) è scomponibile in una F0+F'(t) dove F0=k*x, quindi da ciò deduco che non conta la lunghezza della molla a riposo in quanto se si scrive l'equazione differenziale si semplifica k*x con F0.
ricapitolando, il problema si può semplificare in questo modo:
DATI del problema:delta x,k,m,F(t) sempre dello stesso segno.
una molla ideale a riposo, di costante elastica k e lunghezza a riposo sconosciuta, è vincolata da una parte e agganciata ad una massa m dall'altra, si trascurino tutti gli attriti,campi gravitazionali,etc.. ad un certo istante t=0,( t è il tempo), una parturbazione F(t) di cui non conosciamo l'espressione ma sappiamo che è sempre diretta nello stesso verso, inizia ad agire e fa accorciare la molla di un delta x. Si sa che nel momento in cui la molla ha raggiunto la massima elongazione F(t)=0. Durante il movimento della massa la velocità è nulla solo nell'istante iniziale e nell'istante in cui ha raggiunto la massima elongazione, del moto successivo della massa non mi interessa, ma mi interessa sapere se è possibile stabilire una relazione tra l'accelerazione massima della massa e i DATI del problema, indipendentemente dalla F(t), dimostrandolo attraverso passaggi matematici.
Grazie per qualsiasi vostro contributo,
Gaussz
io sono arrivato alla conclusione che l'accelerazione massima della massa è sempre la stessa nel caso di F(t) impulsiva o sinusoide(ovviamente presa nell'intervallo in cui agisce, cioè tra 0 e pi greco sempre dello stesso segno), nell'istante finale in cui la velocità torna ad annullarsi (come ho detto, il sistema si ferma), l'accelerazione è diretta nel verso che tende a riportare la molla alla situazione di equilibrio, la F(t)=0 quando la molla ha raggiunto la massima elongazione ma porebbe essere =0 anche prima, la velocità è nulla solo nell'istante iniziale-finale, di ciò che succede dopo non me ne importa, inoltre per essere più precisi, agisce sempre sul sistema una ulteriore forza pari a k*x con x indico x=posizione iniziale della massa in equilibrio, quindi la forza F(t) è scomponibile in una F0+F'(t) dove F0=k*x, quindi da ciò deduco che non conta la lunghezza della molla a riposo in quanto se si scrive l'equazione differenziale si semplifica k*x con F0.
ricapitolando, il problema si può semplificare in questo modo:
DATI del problema:delta x,k,m,F(t) sempre dello stesso segno.
una molla ideale a riposo, di costante elastica k e lunghezza a riposo sconosciuta, è vincolata da una parte e agganciata ad una massa m dall'altra, si trascurino tutti gli attriti,campi gravitazionali,etc.. ad un certo istante t=0,( t è il tempo), una parturbazione F(t) di cui non conosciamo l'espressione ma sappiamo che è sempre diretta nello stesso verso, inizia ad agire e fa accorciare la molla di un delta x. Si sa che nel momento in cui la molla ha raggiunto la massima elongazione F(t)=0. Durante il movimento della massa la velocità è nulla solo nell'istante iniziale e nell'istante in cui ha raggiunto la massima elongazione, del moto successivo della massa non mi interessa, ma mi interessa sapere se è possibile stabilire una relazione tra l'accelerazione massima della massa e i DATI del problema, indipendentemente dalla F(t), dimostrandolo attraverso passaggi matematici.
Grazie per qualsiasi vostro contributo,
Gaussz
CONTINUA A SFUGGIRMI QUALCOSA,ANZI DI PIU'! 
Ma non sarà che cerchi di complicare un problema semplice?
Comunque sia, rimango della mia opinione,cioè l'accelerazione può essere grande a piacere.
Se vuoi una 'matematizzazione' del problema, ma credevo di aver scritto una eq. differenziale non una dissertazione filosofica, allora posso far notare che quanto chiedi
è esattamente uguale a porsi la seguente domanda:
Data una qualsiasi funzione continua v(t) in un intervallo I chiuso , nulla agli estremi,(condizione in realtà irrilevante) e con integrale su I uguale ad S (altra condizione irrilevante) esiste una costante sempre maggiore del valore assunto dalla derivata? (in un qualsiasi punto di I e per ogni v(t) del tipo suddetto) In altre parole credo si possa dire
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE CONTINUA IN UN INTERVALLO CHIUSO E LIMITATO E'
LIMITATA?
La tua risposta pare sia positiva e cerchi di determinare questa costante.
Non prendertela ma non riesco proprio a seguirti.
Ma anche ritornando alla fisica non ti insospettisce il fatto che una grandissima accelerazione può anche produrre solo una piccolissima variazione della velocità?
Ciao!
Ma non sarà che cerchi di complicare un problema semplice?
Comunque sia, rimango della mia opinione,cioè l'accelerazione può essere grande a piacere.
Se vuoi una 'matematizzazione' del problema, ma credevo di aver scritto una eq. differenziale non una dissertazione filosofica, allora posso far notare che quanto chiedi
è esattamente uguale a porsi la seguente domanda:
Data una qualsiasi funzione continua v(t) in un intervallo I chiuso , nulla agli estremi,(condizione in realtà irrilevante) e con integrale su I uguale ad S (altra condizione irrilevante) esiste una costante sempre maggiore del valore assunto dalla derivata? (in un qualsiasi punto di I e per ogni v(t) del tipo suddetto) In altre parole credo si possa dire
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE CONTINUA IN UN INTERVALLO CHIUSO E LIMITATO E'
LIMITATA?
La tua risposta pare sia positiva e cerchi di determinare questa costante.
Non prendertela ma non riesco proprio a seguirti.
Ma anche ritornando alla fisica non ti insospettisce il fatto che una grandissima accelerazione può anche produrre solo una piccolissima variazione della velocità?
Ciao!
si il senso è più omeno questo, però la v(t) nell'intervallo son la classe di funzioni che soddisfa l'eq. differenziale del problema.
se l'accelerazione è troppo grande poi la massa non si ferma a quota delta x perchè F(t) è sempre diretta nello stesso verso e pre l'azione d'inerzia potrebbe non fermarsi a quota x.
non ti insospettisce il fatto che una grandissima accelerazione può anche produrre solo una piccolissima variazione della velocità?
se l'accelerazione è troppo grande poi la massa non si ferma a quota delta x perchè F(t) è sempre diretta nello stesso verso e pre l'azione d'inerzia potrebbe non fermarsi a quota x.
Ciao
Mi dispiace ma devo correggerti: il punto è proprio questo con F(t) arbitraria posso sempre
ottenere un'accelerazione grande a piacere , in un certo dt (ovvio non per tutto il tempo
che voglio), diciamo all'inzio,tale che la massa, 'frenata' dalla forza della molla, si fermi comunque anche appena dopo che la molla comincia ad opporsi ad F. (percorrendo quindi un breve spazio.)
Il che matematicamente significa proprio che una funzione continua v(t), anche se limitata può avere derivata grande a piacere (in almeno un punto).
Quindi se non poni IPOTESI PIU' RESTRITTIVE il problema é veramente banale.
Ma dopotutto meglio così visto che è risolto!
Mi dispiace ma devo correggerti: il punto è proprio questo con F(t) arbitraria posso sempre
ottenere un'accelerazione grande a piacere , in un certo dt (ovvio non per tutto il tempo
che voglio), diciamo all'inzio,tale che la massa, 'frenata' dalla forza della molla, si fermi comunque anche appena dopo che la molla comincia ad opporsi ad F. (percorrendo quindi un breve spazio.)
Il che matematicamente significa proprio che una funzione continua v(t), anche se limitata può avere derivata grande a piacere (in almeno un punto).
Quindi se non poni IPOTESI PIU' RESTRITTIVE il problema é veramente banale.
Ma dopotutto meglio così visto che è risolto!
ma..., ripeto che v(t) appartiene alla classe di funzioni che soddisfa l'eq. differenziale, non vedo dimostrazioni del tuo ragionamento
e poi ci sono le condizioni al contorno che x(0)=0, V(0)=0, V(tfin)=0, x(tfin)=0.
ehm....cioè x(tfin)=delta x
Ciao!
la v(t) considerata soddisfa tutte le condizioni richieste. Capisco la tua perplessità. Ti chiedi se una tale v(t) è compatibile con F(t) diretta sempre nello stesso verso e grande a piacere( in un istante arbitrario). La risposta è si!
Metti che dopo un dt dall'inizio in cui agisce F, la velocità non deve superare un valore w, altrimenti la massa m non si arresta nello spazio voluto (ma ad essere pignoli questo spazio non lo avevi delimitato,una molla ideale può essere anche lunghissima,comunque è irrilevante)Dunque poichè F è arbitraria basta sceglierla composta da una forza che annulla la reazione della molla ( questo per semplificare,infatti la molla è irrilevante,come le condizioni al contorno.) e da una forza G costante e grande a piacere e dunque che imprime ad m una accelerazione grande a piacere, G/m,
ma e, qui è il "trucco",
che agisce in un tempo molto piccolo, nel nostro caso , dt <=(1/w)G/m
ed il gioco è fatto! Meglio non so spiegarmi!
NB. Ho definito F(t) solo in dt, negli istanti successivi cambierà per rispettare le condizioni e lo si può fare senza problemi tanto l'accelerazione grande a piacere è già stata raggiunta!
la v(t) considerata soddisfa tutte le condizioni richieste. Capisco la tua perplessità. Ti chiedi se una tale v(t) è compatibile con F(t) diretta sempre nello stesso verso e grande a piacere( in un istante arbitrario). La risposta è si!
Metti che dopo un dt dall'inizio in cui agisce F, la velocità non deve superare un valore w, altrimenti la massa m non si arresta nello spazio voluto (ma ad essere pignoli questo spazio non lo avevi delimitato,una molla ideale può essere anche lunghissima,comunque è irrilevante)Dunque poichè F è arbitraria basta sceglierla composta da una forza che annulla la reazione della molla ( questo per semplificare,infatti la molla è irrilevante,come le condizioni al contorno.) e da una forza G costante e grande a piacere e dunque che imprime ad m una accelerazione grande a piacere, G/m,
ma e, qui è il "trucco",
che agisce in un tempo molto piccolo, nel nostro caso , dt <=(1/w)G/m
ed il gioco è fatto! Meglio non so spiegarmi!
NB. Ho definito F(t) solo in dt, negli istanti successivi cambierà per rispettare le condizioni e lo si può fare senza problemi tanto l'accelerazione grande a piacere è già stata raggiunta!
mi dispiace ma non mi convince, proverò a postare più tardi il problema matematico relativo nella sezione università così poi vediamo. 
ps: per risolvere il porb. di cauchy occorrono due condizioni al contorno, io ne ho fornite 4, ora che ci penso si conosce anche tfin, dalle due in più si può forse restringere il campo delle possibili F(t). ciao e grazie per il tuo contributo!
NB: F(t) deve avere senso fisico, pertanto è continua e derivabile nell'intervallo.
NMoltoBene: è evidente che le azioni d'inerzia dipendono dall'accelerazione istantanea e che l'accelerazione istantanea dipenda da da F(t)
ps: per risolvere il porb. di cauchy occorrono due condizioni al contorno, io ne ho fornite 4, ora che ci penso si conosce anche tfin, dalle due in più si può forse restringere il campo delle possibili F(t). ciao e grazie per il tuo contributo!
NB: F(t) deve avere senso fisico, pertanto è continua e derivabile nell'intervallo.
NMoltoBene: è evidente che le azioni d'inerzia dipendono dall'accelerazione istantanea e che l'accelerazione istantanea dipenda da da F(t)
eh, eh Ottusangolo a quanto pare avevo ragione io.
Oh, questa si che è bella! E me l'ero persa!
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