Molla con due masse
Salve,
solito problemino delle due masse m1 ed m2 attaccate ad una molla di costante k su un piano liscio orizzontale, inizialmente ferme e compresse di d.
Rilasciata la compressione le masse iniziano ad oscillare.
Se la lunghezza a riposo della molla è L qual è l'equazione del moto delle due masse?
Il CM rimane fermo il quanto il risultante delle forze esterne è zero.
Considero un riferimento x che va da m1 ad m2 e pongo m1 all'origine.
Problema di due corpi soggetti ad una forza di interazione.
$m_1(dv_1)/dt=F_12$ e $ m_2 (dv_2)/dt=F_21$
da cui essendo $F_12 = - F_21$ si arriva a $\mu a_12 = F_12 = - k x$
dome $\mu$ è la massa ridotta e $ x(t) = x_2(t) - x_1(t) $
la soluzione di questa eq. differenz. è $x(t) = c_1cos\omega t + c_2 sin\omega t$
essendo ed $ \omega=(k/\mu)^(1/2)$
$c_1$ si trova imponendo $x_1(0) = 0$ e si ha $c_1 = L - d$
Bene la domanda è come calcolare c2?
solito problemino delle due masse m1 ed m2 attaccate ad una molla di costante k su un piano liscio orizzontale, inizialmente ferme e compresse di d.
Rilasciata la compressione le masse iniziano ad oscillare.
Se la lunghezza a riposo della molla è L qual è l'equazione del moto delle due masse?
Il CM rimane fermo il quanto il risultante delle forze esterne è zero.
Considero un riferimento x che va da m1 ad m2 e pongo m1 all'origine.
Problema di due corpi soggetti ad una forza di interazione.
$m_1(dv_1)/dt=F_12$ e $ m_2 (dv_2)/dt=F_21$
da cui essendo $F_12 = - F_21$ si arriva a $\mu a_12 = F_12 = - k x$
dome $\mu$ è la massa ridotta e $ x(t) = x_2(t) - x_1(t) $
la soluzione di questa eq. differenz. è $x(t) = c_1cos\omega t + c_2 sin\omega t$
essendo ed $ \omega=(k/\mu)^(1/2)$
$c_1$ si trova imponendo $x_1(0) = 0$ e si ha $c_1 = L - d$
Bene la domanda è come calcolare c2?
Risposte
"zorrok":
Bene la domanda è come calcolare c2?
Con la condizione iniziale sulla velocità. Poiché entrambe le estremità sono inizialmente ferme, anche la distanza relativa avrà derivata nulla:
\(\displaystyle \dot x(0)= 0\Rightarrow \left [-c_1\omega \sin\omega t+\omega c_2\cos\omega t \right]_{t=0}=0\Rightarrow \omega c_2=0 \Rightarrow c_2=0\)
Grazie della risposta.
Piccola aggiunta finale:
ho sbagliato a scrivere l'eq. differenziale che è ovviamente $\mu x'' = - k (x-L)$ con soluzione:
$x(t) = c1 cos\omega t + c2 sin \omega t + L$
e quindi in definitiva la soluzione corretta è
$x(t) = L - d cos\omega t$
come il mondo sapeva da qualche centinaio di anni!
Piccola aggiunta finale:
ho sbagliato a scrivere l'eq. differenziale che è ovviamente $\mu x'' = - k (x-L)$ con soluzione:
$x(t) = c1 cos\omega t + c2 sin \omega t + L$
e quindi in definitiva la soluzione corretta è
$x(t) = L - d cos\omega t$
come il mondo sapeva da qualche centinaio di anni!
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