Molla con carrucola (ultimo es.)

[feddy]

buongiorno, questo è l'ultimo esercizio delle dispense sulla statica del punto materiale, purtroppo non sono presenti le soluzioni e pertanto vorrei una conferma

Testo:
Nel sistema rappresentato in figura un corpo A di massa $m = 5 kg$, posto su un piano inclinato liscio formante un angolo $\alpha=30°$ con l’orizzontale, è fissato all'estremità di una molla, avente lunghezza di riposo $l_o = 0.8 m$ e costante elastica$ k = 196 N/m.$
L’altra estremità della molla è fissata ad un gancio O solidale al piano inclinato.
Un filo inestensibile che passa nella gola di una carrucola disposta verticalmente collega il corpo A al corpo B, pure di massa $m = 5 kg$, che pende verticalmente. Le masse del filo, della molla e della carrucola C sono trascurabili rispetto alla massa dei due corpi.
Il sistema è in condizioni di equilibrio statico.

Determinare nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy con l’origine O e l’asse x parallelo al piano inclinato:
a)Tensione del filo per t<0
b)posizione di equilibrio di A
c)la reazione del punto $O$ di aggancio della molla al piano inclinato
d)la reazione $R_c$ C dell’asse passante per il centro della carrucola C.



il sistema di riferimento è incardinato sul piano inclinato, con l'asse x rivolto verso l'alto .

SOL.:

a)
Su $A$ agisce la tensione del filo, la forza peso (verso il basso) e la forza elastica(verso il basso).
A:$vecT +vecP + vecF_el=vec0$

proiettando sull'asse x:
A: $T-mgsenalpha - kDeltax=0$

B: $vecP+vecT=vec0$
in B proiettiamo sull'asse x e y, poiché essendo verticali avranno , sia il peso sia la tensione, due componenti.

Componenti di P
$P_x=Pcos(pi/2 +alpha)=-Psenalpha$
$P_y=Pcos(pi + alpha)=-Pcosalpha$

Componenti di T
$T_x=Tcos(pi/2 - alpha)=Tsenalpha$
$T_y=Tcos(alpha)=Tcosalpha$

$ { ( x:Tsenalpha - Psenalpha=0 ),( y: Tcosalpha-Pcosalpha=0 ):} $

da cui segue che $T=P$.


b)
Calcolo il $Deltax$ della molla.

dall'equazione delle forze agenti su A ricavo $Deltax$.
A: $T-mgsenalpha - kDeltax=0$
$Deltax=(T- mgsenalpha)/k$,
$Deltax=0.125 m$


c)in $O$ agisce la forza peso (componente parallela al piano inclinato) , la forza elastica, e la reazione O del piano.
O: $vecP+vecF_el+vecR_o=0$

$R_o-kDeltax-mgsenalpha=0$, da cui $R_o=kDeltax+mgsenalpha=48.025 N$

d) Sulla carrucola in $C$ agisce la tensione T, che proviene sia dalla massa B che dalla massa A. Agirà anche la reazione $R_c$.
Scomponiamo la tensione T (dalla parte di A ha la direzione solo dell'asse x) dalla parte di B.

$T_x=Tcos(pi/2+alpha)=-Tsenalpha$
$T_y=Tcos(pi+alpha)=-Tcosalpha$

Proietto la reazione della carrucola sui due assi:
$R_c_x=R_c cos(alpha)$
$R_c_y=R_c cos(pi/2 -a)= R_c senalpha$


Posso ora fare l'analisi della forza che agisce su $C$.

$ { ( x:-T -Tsenalpha+R_c cosalpha=0 ),( y: -Tcosalpha +R_csenalpha=0 ):} $

Da cui ricavo che $R_c=Tcot(alpha)=85 N$.



Può essere corretto ? aldilà dei valori numerici.

[Sk_Anonymous]

"feddy":buongiorno, questo è l'ultimo esercizio delle dispense sulla statica del punto materiale, purtroppo non sono presenti le soluzioni e pertanto vorrei una conferma
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a)
Su $A$ agisce la tensione del filo, la forza peso (verso il basso) e la forza elastica(verso il basso).
A:$vecT +vecP + vecF_el=vec0$

proiettando sull'asse x:
A: $T-mgsenalpha - kDeltax=0$

ok

B: $vecP+vecT=vec0$
in B proiettiamo sull'asse x e y, poiché essendo verticali avranno , sia il peso sia la tensione, due componenti.

Componenti di P
$P_x=Pcos(pi/2 +alpha)=-Psenalpha$
$P_y=Pcos(pi + alpha)=-Pcosalpha$

Componenti di T
$T_x=Tcos(pi/2 - alpha)=Tsenalpha$
$T_y=Tcos(alpha)=Tcosalpha$

$ { ( x:Tsenalpha - Psenalpha=0 ),( y: Tcosalpha-Pcosalpha=0 ):} $

da cui segue che $T=P$.

hai fatto un sacco di passaggi non necessari, per arrivare a concludere che deve essere, per i moduli delle forze : $T=P = m_Bg $. Lo potevi dire subito, visto che hai già scritto fin dall'inizio la condizione di equilibrio alla traslazione verticale di B :

$vecP+vecT=vec0$

b)
Calcolo il $Deltax$ della molla.

dall'equazione delle forze agenti su A ricavo $Deltax$.
A: $T-mgsenalpha - kDeltax=0$
$Deltax=(T- mgsenalpha)/k$,
$Deltax=0.125 m$

ok

c)in $O$ agisce la forza peso (componente parallela al piano inclinato) , la forza elastica, e la reazione O del piano.
O: $vecP+vecF_el+vecR_o=0$

$R_o-kDeltax-mgsenalpha=0$, da cui $R_o=kDeltax+mgsenalpha=48.025 N$

Non mi pare proprio . Il punto O è sollecitato dalla trazione della molla , che si allunga di $Deltax=0.125 m$ . Per cui basta moltiplicare l'allungamento per la costante elastica . Rivedi il tuo procedimento, perché c'è qualche errore.

d) Sulla carrucola in $C$ agisce la tensione T, che proviene sia dalla massa B che dalla massa A. Agirà anche la reazione $R_c$.
Scomponiamo la tensione T (dalla parte di A ha la direzione solo dell'asse x) dalla parte di B.

$T_x=Tcos(pi/2+alpha)=-Tsenalpha$
$T_y=Tcos(pi+alpha)=-Tcosalpha$

Proietto la reazione della carrucola sui due assi:
$R_c_x=R_c cos(alpha)$
$R_c_y=R_c cos(pi/2 -a)= R_c senalpha$


Posso ora fare l'analisi della forza che agisce su $C$.

$ { ( x:-T -Tsenalpha+R_c cosalpha=0 ),( y: -Tcosalpha +R_csenalpha=0 ):} $

Da cui ricavo che $R_c=Tcot(alpha)=85 N$.

Il risultato finale è corretto. Ma avresti potuto ricavarlo molto più speditamente . Scomponi la tensione $vecT$ applicata da B alla carrucola in una componente $T_x = T sen30º = 1/2T $ parallela al piano inclinato , e una componente $T_y = Tcos30º$ perpendicolare al piano inclinato .
LA $T_x$ si somma con la $T$ dovuta ad $A$ , e quindi, in modulo :

$R_(cx) = T + T_x = T + 1/2T = 1.5T = 73.575 N $ .

La componente $R_(cy)$ è data , in modulo , da $T_y = Tcos30º = 42.478 N $.

Applicando il teorema di Pitagora , puoi ricavare il valore di $ R_c$ . E volendo ti puoi trovare pure l'angolo che il vettore $vecR_c$ forma col piano inclinato.

[feddy]

Grazie per gli accorgimenti e per le conferme il punto che ho sbagliato e chiarissimo, si vede che ero cotto mentre stavo scrivendo; )