Molla con carrello accelerato
Testo:
Un corpo puntiforme di massa $ m = 4 kg$ si trova in equilibrio statico sul pianale liscio di un carrello ad una distanza $d = 0.9 m$ dall’estremità libera di una molla ideale, disposta in configurazione orizzontale e avente l’altra estremità vincolata al punto O solidale al carrello.
Il carrello è a sua volta in quiete sul piano orizzontale e la molla ha costante elastica $k = 196 Nm−1$ lunghezza a riposo $l_0 = 0.5 m.$
Ad un certo istante il carrello viene messo in moto sul piano orizzontale verso destra con accelerazione di modulo costante $a_0 = 3.2 m/s^2 $.
Assumendo come istante t = 0 quello di impatto fra il corpo e l’estremità
libera della molla, determinare nel sistema di riferimento Oxy, solidale al carrello:
a) la velocità della massa m nell’istante di impatto contro l’estremità libera della molla;
b) il diagramma di tutte le forze (vere e fittizie) agenti sul corpo all’istante t = 0+;
c) l’equazione del moto del corpo per t > 0, nell’ipotesi che dopo l’urto il blocco rimanga attaccato alla
molla;
d) la posizione di equilibrio del corpo per t > 0;
e) la legge oraria del moto del corpo per t > 0, considerando la sua posizione e velocità all’istante t = 0;
f) la compressione massima della molla per t > 0.
IMMAGINE:
SOL.:
a)
$ { ( z(t)=d-1/2at^2 ),( v(t)=-at ):} $
da cui ricavo $ t=sqrt((2d)/a)= 2.48 s $ e $v~= 8m/s$
b)
Nel sistema di riferimento solidale al carrello, al momento di aggancio della massa con la molla, le forze agenti sono la forza elastica, e la forza apparente $F_t=-mveca_0$, che compare perché siamo nel sistema accelerato.
$ ma'=sumvecF_i -mveca_o $
c)
l'eqauzione del moto diventa, in base a quello scritto sopra: $ ma' + kDeltax = -ma_o $
d),e)
Ponendo $Deltax= chi$, $ ddotchi + w^2chi=-ma_o $ , con $w=k/m.$
La posizione d'equilibrio è data dalla soluzione particolare $chi=(-ma_o)/k=-0.06 m$
la soluzione è data dalla sol. dell'omogenea associata più una soluzione particolare, e dalle condizioni iniziali ricavo che la soluzione generale è $ chi(t)= ((ma_o)/k+l_o) cos(wt) - (ma_0)/k $ .
f)
Per la compressione massima ho ragionato così: quando è compressa, si inverte il suo moto, pertanto la velocità deve essere nulla nell'istante in cui è totalmente compressa.
Ho quindi derivato la soluzione generale di prima imponendo $ dotchi(t)=0 $ .
$ dotchi(t)=-w((ma_0)/k+l_0)sen(wt)=0 $ , da cui trovo $wt=kpi$ e per $k=1$ trovo il tempo di compressione massimo $t_c=pi/w=0.45 s$.
Può essere corretto ?
Un corpo puntiforme di massa $ m = 4 kg$ si trova in equilibrio statico sul pianale liscio di un carrello ad una distanza $d = 0.9 m$ dall’estremità libera di una molla ideale, disposta in configurazione orizzontale e avente l’altra estremità vincolata al punto O solidale al carrello.
Il carrello è a sua volta in quiete sul piano orizzontale e la molla ha costante elastica $k = 196 Nm−1$ lunghezza a riposo $l_0 = 0.5 m.$
Ad un certo istante il carrello viene messo in moto sul piano orizzontale verso destra con accelerazione di modulo costante $a_0 = 3.2 m/s^2 $.
Assumendo come istante t = 0 quello di impatto fra il corpo e l’estremità
libera della molla, determinare nel sistema di riferimento Oxy, solidale al carrello:
a) la velocità della massa m nell’istante di impatto contro l’estremità libera della molla;
b) il diagramma di tutte le forze (vere e fittizie) agenti sul corpo all’istante t = 0+;
c) l’equazione del moto del corpo per t > 0, nell’ipotesi che dopo l’urto il blocco rimanga attaccato alla
molla;
d) la posizione di equilibrio del corpo per t > 0;
e) la legge oraria del moto del corpo per t > 0, considerando la sua posizione e velocità all’istante t = 0;
f) la compressione massima della molla per t > 0.
IMMAGINE:
SOL.:
a)
$ { ( z(t)=d-1/2at^2 ),( v(t)=-at ):} $
da cui ricavo $ t=sqrt((2d)/a)= 2.48 s $ e $v~= 8m/s$
b)
Nel sistema di riferimento solidale al carrello, al momento di aggancio della massa con la molla, le forze agenti sono la forza elastica, e la forza apparente $F_t=-mveca_0$, che compare perché siamo nel sistema accelerato.
$ ma'=sumvecF_i -mveca_o $
c)
l'eqauzione del moto diventa, in base a quello scritto sopra: $ ma' + kDeltax = -ma_o $
d),e)
Ponendo $Deltax= chi$, $ ddotchi + w^2chi=-ma_o $ , con $w=k/m.$
La posizione d'equilibrio è data dalla soluzione particolare $chi=(-ma_o)/k=-0.06 m$
la soluzione è data dalla sol. dell'omogenea associata più una soluzione particolare, e dalle condizioni iniziali ricavo che la soluzione generale è $ chi(t)= ((ma_o)/k+l_o) cos(wt) - (ma_0)/k $ .
f)
Per la compressione massima ho ragionato così: quando è compressa, si inverte il suo moto, pertanto la velocità deve essere nulla nell'istante in cui è totalmente compressa.
Ho quindi derivato la soluzione generale di prima imponendo $ dotchi(t)=0 $ .
$ dotchi(t)=-w((ma_0)/k+l_0)sen(wt)=0 $ , da cui trovo $wt=kpi$ e per $k=1$ trovo il tempo di compressione massimo $t_c=pi/w=0.45 s$.
Può essere corretto ?
Risposte
Nel punto a mi risulta $ t = 0,75$ e $v = 2,4$.
Nel punto b che operano sulle forse c'è anche la forza peso compensata dalla reazione del tavolo.
Nel punto b che operano sulle forse c'è anche la forza peso compensata dalla reazione del tavolo.
a) Corretto, è proprio $sqrt(2d/a)$, devo aver commesso un errore con la calcolatrice.
b) hai ragione, mi sono dimenticato di aggiungerle. Il resto come ti sembra?
grazie mille
b) hai ragione, mi sono dimenticato di aggiungerle. Il resto come ti sembra?
grazie mille
Nel resto del ragionamento non riesco a seguirti. potresti spiegarti meglio?
Ho scritto l'equazione differenziale del moto e l'ho risolta (ottenendo così la legge oraria del corpo) ponendo $chi=Deltax$.
Per la compressione massima mi pare di essermi spiegato chiaramente, ossia quando è compressa la velocità è 0 e da l' ho ricavato il tempo
Per la compressione massima mi pare di essermi spiegato chiaramente, ossia quando è compressa la velocità è 0 e da l' ho ricavato il tempo
Per quanto riguarda la posizione di equilibrio mi sembra corretto il ragionamento solo che il segno della posizione a me risulta positivo. Se come origine prendiamo il punto in cui è attaccata la molla.
Non riesco a seguirti nell'impostazione della soluzione generale del l'equazione differenziale ma forse è un mio baco sulle equazioni differenziali. Per quello ti chiedevo di esplicitare meglio il ragionamento.
Sull'ultimo punto anche a me sembra corretto il ragionamento
Non riesco a seguirti nell'impostazione della soluzione generale del l'equazione differenziale ma forse è un mio baco sulle equazioni differenziali. Per quello ti chiedevo di esplicitare meglio il ragionamento.
Sull'ultimo punto anche a me sembra corretto il ragionamento
Ok, intanto grazie per la risposta... in ogni caso, ho sostituito con $a$ il termine $ddotchi$... in poche parole ho riscritto la legge di Newton in termini di deformazione della molla, ottenendo così un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti e l'ho risolta applicando il principio di sovrapposizione.
Ossia, l'integrale generale è dato dalla sol. dell'omogenea associata (che in questo caso è nota ed è $Asen(wt+phi)$ con $A$ e $phi$ che si determinano dalle condizioni iniziali ) e una sol. particolare (ottenuta imponendo $ddotchi =0$).
Ossia, l'integrale generale è dato dalla sol. dell'omogenea associata (che in questo caso è nota ed è $Asen(wt+phi)$ con $A$ e $phi$ che si determinano dalle condizioni iniziali ) e una sol. particolare (ottenuta imponendo $ddotchi =0$).
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