Molla che si muove di moto armonico semplice
Un blocco di $4 kg$ è appeso ad una molla di costante elastica $50,0 kg_p*m^-1$. Un proiettile del peso di $ 50,0 g $ è sparato contro il blocco dal basso con velocità $ 150,0 ms^-1$ , e si arresta nel blocco.
(a) Trovare l'ampiezza del moto armonico risultante
(b) Quale percentuale di energia cinetica iniziale del proittile viene immagazzinata nell'oscillatore armonico? Si ha una perdita di energia in questo processo? Spiegare la risposta.
Io ho provato a risolvere in questo modo il primo punto :
Come nel disegno ho posto la mia $h=0$ per l'energia potenziale all'altezza del centro di massa del blocco quando questo si trova a riposo prima di essere colpito da un proiettile.
Dopodichè ho posto l'altezza $h_1=A$ dove con $A$, indico l'ampiezza del moto armonico, dove si inverte il moto del blocco dopo aver compiuto il primo quarto di oscillazione completa.
Ho scritto dunque :
$ (M+m)gA+ 1/2 k A^2 = 1/2 (M+m) (v_i)^2$
dove con $M$ indico la massa del blocco, $m$ la massa del proiettile e infine $v_i$ è la velocità iniziale del blocco che calcolo tramite la conservazione della quantità di moto :
$v_1=(mv_0)/(M+m)$ ($v_0$ è la velocità iniziale del proiettile)
Ebbene il risultato non mi viene , dovrebbe venire A=47 cm.
Dove sbaglio?
(a) Trovare l'ampiezza del moto armonico risultante
(b) Quale percentuale di energia cinetica iniziale del proittile viene immagazzinata nell'oscillatore armonico? Si ha una perdita di energia in questo processo? Spiegare la risposta.
Io ho provato a risolvere in questo modo il primo punto :
Come nel disegno ho posto la mia $h=0$ per l'energia potenziale all'altezza del centro di massa del blocco quando questo si trova a riposo prima di essere colpito da un proiettile.
Dopodichè ho posto l'altezza $h_1=A$ dove con $A$, indico l'ampiezza del moto armonico, dove si inverte il moto del blocco dopo aver compiuto il primo quarto di oscillazione completa.
Ho scritto dunque :
$ (M+m)gA+ 1/2 k A^2 = 1/2 (M+m) (v_i)^2$
dove con $M$ indico la massa del blocco, $m$ la massa del proiettile e infine $v_i$ è la velocità iniziale del blocco che calcolo tramite la conservazione della quantità di moto :
$v_1=(mv_0)/(M+m)$ ($v_0$ è la velocità iniziale del proiettile)
Ebbene il risultato non mi viene , dovrebbe venire A=47 cm.
Dove sbaglio?
Risposte
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L'errore sta nella scrittura della variazione di energia potenziale. Quella gravitazionale aumenta ma quella elastica diminuisce e quindi nell'equazione di bilancio che hai scritto:
\(\displaystyle \Delta U=-\Delta E_c \) dove \(\displaystyle \Delta U = \Delta U_{GRAV} + \Delta U_{ELAS} \) devi porre
\(\displaystyle \Delta U_{ELAS} =-\frac{1}{2}kA^2 \)
\(\displaystyle \Delta U=-\Delta E_c \) dove \(\displaystyle \Delta U = \Delta U_{GRAV} + \Delta U_{ELAS} \) devi porre
\(\displaystyle \Delta U_{ELAS} =-\frac{1}{2}kA^2 \)
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