Modulo vettori segno e direzione
Salve
Faccio un po' di confusione sul verso dei vettori espressi col modulo. Se ho due vettori con la stessa direzione e verso opposto sarà cosí $vec x = -vec y $.
Se considero invece dei moduli cosí $v=-u$ cosa significa?
Direi che$ v $ha stesso modulo e verso opposto di $u$ ma allora se porto u al di la dell 'uguale $u + v =0$ avendo lo stesso segno, hanno lo stesso verso? Se cosí fosse é perché "spostando" $u$ compiamo un operazione su esso?
Grazie
Faccio un po' di confusione sul verso dei vettori espressi col modulo. Se ho due vettori con la stessa direzione e verso opposto sarà cosí $vec x = -vec y $.
Se considero invece dei moduli cosí $v=-u$ cosa significa?
Direi che$ v $ha stesso modulo e verso opposto di $u$ ma allora se porto u al di la dell 'uguale $u + v =0$ avendo lo stesso segno, hanno lo stesso verso? Se cosí fosse é perché "spostando" $u$ compiamo un operazione su esso?
Grazie
Risposte
Il modulo è per definizione una lunghezza, quindi una quantità positiva.
Se indichi v = -u intendi due vettori, non due moduli, vettori che hanno lo stesso modulo cioè |v| = |u| e verso opposto.
Se indichi v = -u intendi due vettori, non due moduli, vettori che hanno lo stesso modulo cioè |v| = |u| e verso opposto.
si hai ragione, io intendo la parte scalare del vettore sottointentendo il versore.
ad esempio se io sparo con un fucile da fermo, essendo questo un sistema isolato la quantità di moto si conserva allora sarà:
$Mvec V + mvec v = 0$ dove $M , vec V$ sono la massa e la velocità del fucile , $m ,vec v$ la massa e la velocità del proiettile.
se considero la parte scalare, so che il fucile rincula in verso opposto a quello del proiettile (scegliendo come verso positivo quello del verso della velocià del proiettile) , allora (passando alla "parte scalare") sarà $mv - MV =0 $ , cioè vettori con stesso modulo e verso opposto, ma se scrivo così $MV = mv$ direi che sono 2 vettori con stesso verso e stesso modulo!
Oppure ancora riferendomi a questa discussione, viewtopic.php?f=19&t=146265,
vedo che $mgcosθ−N=m(v^2)/R$ significa che $m(v^2)/R$ ha stesso modulo e verso della normale meno la componente del peso, ma portando al di là dell'uguale l'accelerazione centripeta direi che ha stesso verso della normale!
Perciò quale è la verità? Accade perchè spostandoli al di là dell'uguale compiamo un'operazione sui vettori?
E' un dubbio abbastanza stupido,però vorrei togliermelo.
ad esempio se io sparo con un fucile da fermo, essendo questo un sistema isolato la quantità di moto si conserva allora sarà:
$Mvec V + mvec v = 0$ dove $M , vec V$ sono la massa e la velocità del fucile , $m ,vec v$ la massa e la velocità del proiettile.
se considero la parte scalare, so che il fucile rincula in verso opposto a quello del proiettile (scegliendo come verso positivo quello del verso della velocià del proiettile) , allora (passando alla "parte scalare") sarà $mv - MV =0 $ , cioè vettori con stesso modulo e verso opposto, ma se scrivo così $MV = mv$ direi che sono 2 vettori con stesso verso e stesso modulo!
Oppure ancora riferendomi a questa discussione, viewtopic.php?f=19&t=146265,
vedo che $mgcosθ−N=m(v^2)/R$ significa che $m(v^2)/R$ ha stesso modulo e verso della normale meno la componente del peso, ma portando al di là dell'uguale l'accelerazione centripeta direi che ha stesso verso della normale!
Perciò quale è la verità? Accade perchè spostandoli al di là dell'uguale compiamo un'operazione sui vettori?
E' un dubbio abbastanza stupido,però vorrei togliermelo.
Qua per farmi capire mi tocca complicare cose che in realtà sono semplici.
Però se vogliamo capire come funzionano le cose credo serve proprio fare i pignoli.
Quando si dice che la quantità di moto è nulla sia prima che dopo lo sparo del fucile, si dice in realtà che è un vettore nullo.
[tex]\displaystyle M\bar V + m\bar v = \bar 0[/tex]
In questa relazione supponiamo di conoscere il vettore v (velocità del proiettile) e di voler trovare il vettore V (velocità del rinculo).
Questa somma va intesa a sinistra come somma vettoriale, cioè con la nota regola che il secondo vettore prende origine dalla punta del precedente e il vettore somma si ottiene partendo dalla coda del primo e arrivando alla punta del secondo vettore. A destra si dice che il risultato di questa somma vettoriale è il vettore nullo.
Adesso supponiamo che il fucile spari nella direzione x, allora stabiliamo a priori di preassegnare come positivo il verso secondo x crescenti.
Dunque per la convenzione appena decisa, affermiamo che i vettori che ci interessano sono equivalenti a vettori unitari (cioè versori) orientati secondo il verso x crescente moltiplicati per scalari, cioè riscriviamo la somma in questo modo:
[tex]\displaystyle MV{{\bar u}_x} + mv{{\bar u}_x} = 0{{\bar u}_x}[/tex]
ovvero
[tex]\displaystyle \left( {MV + mv} \right){{\bar u}_x} = 0{{\bar u}_x}[/tex]
Abbiamo dunque a sinistra e a destra vettori unitari concordi, moltiplicati per certi scalari. Come dire, dunque, che gli scalari rappresentano le componenti secondo l'asse impostato dai versori (vettori unitari) di due vettori uguali.
A questo punto eliminiamo i versori e lavoriamo solo con le componenti:
[tex]\displaystyle MV + mv = 0[/tex]
ovvero
[tex]\displaystyle V = - \frac{m}{M}v[/tex]
e riscriviamo il vettore incognito che volevamo trovare:
[tex]\displaystyle V{{\bar u}_x} = - \frac{m}{M}v{{\bar u}_x}[/tex]
Questa relazione dice a secondo membro che il vettore incognito ha componente [tex]- \frac{m}{M}v[/tex] rispetto alla direzione preimpostata, cioè negativa; il che siglifica che se lo volessi disegnare lo disegnerei con la punta rivolta a sinistra, cioè in verso contrario al versore prefissato.
Tutto questo discorso per dire che quelle che si trovano con i calcoli algebrici non sono i moduli dei vettori, ma le componenti secondo la direzione prefissata a priori. Se queste componenti sono positive vuol dire che il vettore incognito è diretto in modo concorde con il versore prefissato, se queste componenti sono negative allora il vettore incognito ha verso opposto rispetto a quello del versore prefissato.
Passo adesso al secondo esempio.
La relazione vettoriale da considerare è la seguente:
[tex]\displaystyle mg\cos \theta {{\bar u}_{ - R}} + N{{\bar u}_R} = m\frac{{{v^2}}}{R}{{\bar u}_{ - R}}[/tex]
Analizziamo questa relazione.
Essa dice: "La somma delle forze che agiscono sul corpo che scivola (poste a sinistra del segno di =) deve corrispondere alla forza centripeta (a destra dell'uguale), poiché il corpo percorre una traiettoria circolare"
Nota che ho detto somma intendendo somma vettoriale, cioè sempre con la regoletta punta-coda dei vettori da sommare).
Così come l'ho scritta essa presuppone che io abbia prefissato un versore [tex]{{\bar u}_{ - R}}[/tex] diretto da un punto P della circonferenza verso il centro O (ho scritto -R per indicare che è diretto in verso contrario rispetto a un raggio crescente), e il verso è plausibile tenuto conto da quale parte tira la forza peso, e che abbia disegnato un versore [tex]{{\bar u}_R}[/tex] diretto dal punto P verso l'esterno, e anche questo verso è plausibile considerato che i piani lisci hanno reazioni normali dirette verso l'esterno. Chiaramente i due versori hanno versi opposti.
Però siccome io per fare i calcoli algebrici devo ricondurmi sempre ad avere lo stesso versore sia a destra che a sinistra del segno di uguale, faccio la seguente sostituzione [tex]{{\bar u}_R} = - {{\bar u}_{ - R}}[/tex]. Allora posso scrivere la relazione vettoriale in quest'altro modo:
[tex]\begin{array}{l}
mg\cos \theta {{\bar u}_{ - R}} - N{{\bar u}_{ - R}} = m\frac{{{v^2}}}{R}{{\bar u}_{ - R}} \\
\left( {mg\cos \theta - N} \right){{\bar u}_{ - R}} = m\frac{{{v^2}}}{R}{{\bar u}_{ - R}} \\
mg\cos \theta - N = m\frac{{{v^2}}}{R} \\
\end{array}[/tex]
L'ultima relazione rappresenta soltanto componenti di vettori secondo il verso predefinito dal versore unico che abbiamo deciso di utilizzare, cioè [tex]{{\bar u}_{ - R}}[/tex].
A questo punto mi fermo e mi chiedo: ma con tutte queste spiegazioni gli avrò chiarito le idee, oppure gliele avrò confuse ancora di più?
Però se vogliamo capire come funzionano le cose credo serve proprio fare i pignoli.
Quando si dice che la quantità di moto è nulla sia prima che dopo lo sparo del fucile, si dice in realtà che è un vettore nullo.
[tex]\displaystyle M\bar V + m\bar v = \bar 0[/tex]
In questa relazione supponiamo di conoscere il vettore v (velocità del proiettile) e di voler trovare il vettore V (velocità del rinculo).
Questa somma va intesa a sinistra come somma vettoriale, cioè con la nota regola che il secondo vettore prende origine dalla punta del precedente e il vettore somma si ottiene partendo dalla coda del primo e arrivando alla punta del secondo vettore. A destra si dice che il risultato di questa somma vettoriale è il vettore nullo.
Adesso supponiamo che il fucile spari nella direzione x, allora stabiliamo a priori di preassegnare come positivo il verso secondo x crescenti.
Dunque per la convenzione appena decisa, affermiamo che i vettori che ci interessano sono equivalenti a vettori unitari (cioè versori) orientati secondo il verso x crescente moltiplicati per scalari, cioè riscriviamo la somma in questo modo:
[tex]\displaystyle MV{{\bar u}_x} + mv{{\bar u}_x} = 0{{\bar u}_x}[/tex]
ovvero
[tex]\displaystyle \left( {MV + mv} \right){{\bar u}_x} = 0{{\bar u}_x}[/tex]
Abbiamo dunque a sinistra e a destra vettori unitari concordi, moltiplicati per certi scalari. Come dire, dunque, che gli scalari rappresentano le componenti secondo l'asse impostato dai versori (vettori unitari) di due vettori uguali.
A questo punto eliminiamo i versori e lavoriamo solo con le componenti:
[tex]\displaystyle MV + mv = 0[/tex]
ovvero
[tex]\displaystyle V = - \frac{m}{M}v[/tex]
e riscriviamo il vettore incognito che volevamo trovare:
[tex]\displaystyle V{{\bar u}_x} = - \frac{m}{M}v{{\bar u}_x}[/tex]
Questa relazione dice a secondo membro che il vettore incognito ha componente [tex]- \frac{m}{M}v[/tex] rispetto alla direzione preimpostata, cioè negativa; il che siglifica che se lo volessi disegnare lo disegnerei con la punta rivolta a sinistra, cioè in verso contrario al versore prefissato.
Tutto questo discorso per dire che quelle che si trovano con i calcoli algebrici non sono i moduli dei vettori, ma le componenti secondo la direzione prefissata a priori. Se queste componenti sono positive vuol dire che il vettore incognito è diretto in modo concorde con il versore prefissato, se queste componenti sono negative allora il vettore incognito ha verso opposto rispetto a quello del versore prefissato.
Passo adesso al secondo esempio.
La relazione vettoriale da considerare è la seguente:
[tex]\displaystyle mg\cos \theta {{\bar u}_{ - R}} + N{{\bar u}_R} = m\frac{{{v^2}}}{R}{{\bar u}_{ - R}}[/tex]
Analizziamo questa relazione.
Essa dice: "La somma delle forze che agiscono sul corpo che scivola (poste a sinistra del segno di =) deve corrispondere alla forza centripeta (a destra dell'uguale), poiché il corpo percorre una traiettoria circolare"
Nota che ho detto somma intendendo somma vettoriale, cioè sempre con la regoletta punta-coda dei vettori da sommare).
Così come l'ho scritta essa presuppone che io abbia prefissato un versore [tex]{{\bar u}_{ - R}}[/tex] diretto da un punto P della circonferenza verso il centro O (ho scritto -R per indicare che è diretto in verso contrario rispetto a un raggio crescente), e il verso è plausibile tenuto conto da quale parte tira la forza peso, e che abbia disegnato un versore [tex]{{\bar u}_R}[/tex] diretto dal punto P verso l'esterno, e anche questo verso è plausibile considerato che i piani lisci hanno reazioni normali dirette verso l'esterno. Chiaramente i due versori hanno versi opposti.
Però siccome io per fare i calcoli algebrici devo ricondurmi sempre ad avere lo stesso versore sia a destra che a sinistra del segno di uguale, faccio la seguente sostituzione [tex]{{\bar u}_R} = - {{\bar u}_{ - R}}[/tex]. Allora posso scrivere la relazione vettoriale in quest'altro modo:
[tex]\begin{array}{l}
mg\cos \theta {{\bar u}_{ - R}} - N{{\bar u}_{ - R}} = m\frac{{{v^2}}}{R}{{\bar u}_{ - R}} \\
\left( {mg\cos \theta - N} \right){{\bar u}_{ - R}} = m\frac{{{v^2}}}{R}{{\bar u}_{ - R}} \\
mg\cos \theta - N = m\frac{{{v^2}}}{R} \\
\end{array}[/tex]
L'ultima relazione rappresenta soltanto componenti di vettori secondo il verso predefinito dal versore unico che abbiamo deciso di utilizzare, cioè [tex]{{\bar u}_{ - R}}[/tex].
A questo punto mi fermo e mi chiedo: ma con tutte queste spiegazioni gli avrò chiarito le idee, oppure gliele avrò confuse ancora di più?
Si, i vettori in un'equazione si comportano come i numeri, quindi se li vuoi portare da sinistra a destra devi cambiargli segno, che corrisponde a cambiare verso al vettore.
Sei stato chiaro e ti ringrazio. Hai ragione bisogna essere pignoli e rigorosi per evitare ambiguità 
Quindi ogni volta che vediamo scritta una equazione di fisica o la scriviamo ,tramite vettori ,sottointendiamo sempre un versore comune a tutte le componenti dell equazione. Se avró ancora dubbi chiederò
Grazie mille!!!
Quindi ogni volta che vediamo scritta una equazione di fisica o la scriviamo ,tramite vettori ,sottointendiamo sempre un versore comune a tutte le componenti dell equazione. Se avró ancora dubbi chiederò
Grazie mille!!!
"Cuppls":
Quindi ogni volta che vediamo scritta una equazione di fisica o la scriviamo ,tramite vettori ,sottointendiamo sempre un versore comune a tutte le componenti dell equazione. Se avró ancora dubbi chiederò
Grazie mille!!!
Se intendi che i due membri di un'equazione vettoriale sono vettori con lo stesso verso modulo e direzione si
Volendo riassumere in poche parole:
quando si fanno calcoli vettoriali è comodo definire una terna di versori ortogonali (nello spazio, oppure due o uno a seconda delle dimensioni del problema) che faccia da base per i calcoli.
Per ogni vettore vengono prese le sue componenti rispetto a questa terna. Se le componenti sono discordi coi versori della base allora alle componenti si premette il segno meno. E a queste componenti si applicano poi le operazioni algebriche consuete.
Ci sono differenze concettuali fondamentali tra modulo e componenti. Anche ammettendo di prendere un riferimento parallelo al vettore in esame, e quindi in questo caso il modulo accidentalmente coincide col valore assoluto dell'unica componente presente, le grosse differenze sono due:
-il modulo è una grandezza sempre positiva, rappresenta la lunghezza del vettore, mentre le componenti sono la proiezione del vettore su un riferimento, dunque possono essere positive o negative
-il modulo è una grandezza invariante rispetto a qualsiasi rotazione della terna di riferimento, mentre invece le componenti no, sono strettamente dipendenti dal riferimento adottato.
quando si fanno calcoli vettoriali è comodo definire una terna di versori ortogonali (nello spazio, oppure due o uno a seconda delle dimensioni del problema) che faccia da base per i calcoli.
Per ogni vettore vengono prese le sue componenti rispetto a questa terna. Se le componenti sono discordi coi versori della base allora alle componenti si premette il segno meno. E a queste componenti si applicano poi le operazioni algebriche consuete.
Ci sono differenze concettuali fondamentali tra modulo e componenti. Anche ammettendo di prendere un riferimento parallelo al vettore in esame, e quindi in questo caso il modulo accidentalmente coincide col valore assoluto dell'unica componente presente, le grosse differenze sono due:
-il modulo è una grandezza sempre positiva, rappresenta la lunghezza del vettore, mentre le componenti sono la proiezione del vettore su un riferimento, dunque possono essere positive o negative
-il modulo è una grandezza invariante rispetto a qualsiasi rotazione della terna di riferimento, mentre invece le componenti no, sono strettamente dipendenti dal riferimento adottato.
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