Modulo di un vettore in coordinate polari
Salve a tutti, devo risolvere un problema di elettromagnetismo in coordinate polari: una carica che si muove di moto circolare uniforme. Devo esprimere la sua posizione in coordinate polari, quindi ho scritto
$ \vec{r} = A \hat{r} + wt \hat{theta} $
dove A è il raggio della circonferenza in cui si muove e w è la velocità angolare.
Il primo dubbio è... è corretta questa espressione?
Il secondo dubbio è come ne calcolo il modulo (semplicemente $ \sqrt{A^2+ (wt)^2}$ ?)e poi il prodotto vettoriale con un altro vettore qualsiasi sempre in coordinate polari (valgono le stesse regole delle coordinate cartesiane, in cui considero come terna $ \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{z}$, dato che ho simmetria cilindrica?). So che potrei passare alle coordinate cartesiane e poi ritrasformare, ma preferirei restare nelle coordinate polari.
Grazie mille per l'aiuto.
$ \vec{r} = A \hat{r} + wt \hat{theta} $
dove A è il raggio della circonferenza in cui si muove e w è la velocità angolare.
Il primo dubbio è... è corretta questa espressione?
Il secondo dubbio è come ne calcolo il modulo (semplicemente $ \sqrt{A^2+ (wt)^2}$ ?)e poi il prodotto vettoriale con un altro vettore qualsiasi sempre in coordinate polari (valgono le stesse regole delle coordinate cartesiane, in cui considero come terna $ \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{z}$, dato che ho simmetria cilindrica?). So che potrei passare alle coordinate cartesiane e poi ritrasformare, ma preferirei restare nelle coordinate polari.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Il modulo va bene, dato che i versori $vecr$ e $vectheta$ sono ortgonali.
Anche per il prodotto vettoriale non cambia nulla: se vuoi il risultato in coordinate polari, devi mettere le coordinate polari dei 2 vettori e procedere identicamente come faresti se fossero 2 vettori in coordinate cartesiane
Anche per il prodotto vettoriale non cambia nulla: se vuoi il risultato in coordinate polari, devi mettere le coordinate polari dei 2 vettori e procedere identicamente come faresti se fossero 2 vettori in coordinate cartesiane
"professorkappa":
Il modulo va bene, dato che i versori $vecr$ e $vectheta$ sono ortgonali.
Come, "il modulo va bene"? $sqrt(A^2 + (omegat)^2$ ?? Un moto uniforme con modulo della velocità che dipende dal tempo?
In effetti a me verrebbe da considerare come modulo solo la lunghezza effettiva del vettore, quindi A (cosa che si ottiene anche facendo il conto con le coordinate cartesiane). Solo che poi non mi tornerebbe il prodotto scalare, con cui, comunque, potrei trovare il modulo del vettore. E quindi sorge un'altra domanda.... il prodotto scalare e/o vettoriale, si fanno veramente nello stesso modo delle coordinate cartesiane?
Non avevo letto l'incipit, solo il titolo e pensavo chiedessi il modulo di quel vettore
Ovviamente il modulo di un vettore $vecr$ come lo esprimi e' quello che hai scritto tu. Ma quella non e la rappresentazione di un punto che si muove di moto circolare uniforme.
In coordinate polari il punto e' rappresentato dalla distanza dal polo e dall'angolo che forma con un asse arbitrario (normalmente x), quindi per il moto circolare uniforme da una coppia del tipo $(r,omegat)$. Il modulo e' r.
La velocita' del punto e' la somma di una componente velocita' lungo r e di una componente ortogonale:
Derivando il raggio vettore $vecr=r*vecu)r$ si ottiene
$v=[dr]/[dt]=dotr*vecu_r+r[dvecu_r]/[dt]=dotr*vecu_r+romega*vecu_[theta]$
che. se il moto e' circolare uniforme, si riduce a $v=romega*vecu_[theta]$
Il prodotto tra vettori restano immutati poiche ' non sono legati al sistema di riferimento, ma sono operazioni tra vettori
Ovviamente il modulo di un vettore $vecr$ come lo esprimi e' quello che hai scritto tu. Ma quella non e la rappresentazione di un punto che si muove di moto circolare uniforme.
In coordinate polari il punto e' rappresentato dalla distanza dal polo e dall'angolo che forma con un asse arbitrario (normalmente x), quindi per il moto circolare uniforme da una coppia del tipo $(r,omegat)$. Il modulo e' r.
La velocita' del punto e' la somma di una componente velocita' lungo r e di una componente ortogonale:
Derivando il raggio vettore $vecr=r*vecu)r$ si ottiene
$v=[dr]/[dt]=dotr*vecu_r+r[dvecu_r]/[dt]=dotr*vecu_r+romega*vecu_[theta]$
che. se il moto e' circolare uniforme, si riduce a $v=romega*vecu_[theta]$
Il prodotto tra vettori restano immutati poiche ' non sono legati al sistema di riferimento, ma sono operazioni tra vettori
Ok, grazie.
Se io dovessi trovare il modulo della differenza tra il raggio vettore della particella ($\vec{r_p}= (r_p, \omega t)$)e un vettore $\vec{r}=r\hat{r}+\theta\hat{theta}$ generico del piano, otterrei un vettore $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r_p}=(r-r_p)\hat{r}+(\theta - \omega t)\hat{\theta}$, giusto? E se dovessi considerare il modulo di questo, sarebbe sempre $r-r_p$, come nel caso di $\vec{r_p}$?
Se io dovessi trovare il modulo della differenza tra il raggio vettore della particella ($\vec{r_p}= (r_p, \omega t)$)e un vettore $\vec{r}=r\hat{r}+\theta\hat{theta}$ generico del piano, otterrei un vettore $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r_p}=(r-r_p)\hat{r}+(\theta - \omega t)\hat{\theta}$, giusto? E se dovessi considerare il modulo di questo, sarebbe sempre $r-r_p$, come nel caso di $\vec{r_p}$?
No, ti conviene portare tutto in cooridnate cartesiane, lavori molto meglio.
la differenza tra il vettore $(r,theta)$ in coordinate cilindriche e quello di tipo $(x,y)$ e' $rcostheta-x,rsintheta-y$.
Se poi vuoi lo puoi ri-esprimere in coordinate polari.
la differenza tra il vettore $(r,theta)$ in coordinate cilindriche e quello di tipo $(x,y)$ e' $rcostheta-x,rsintheta-y$.
Se poi vuoi lo puoi ri-esprimere in coordinate polari.
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