Misura di deformazione indipendente dalla scelta delle basi
il mio prof. a lezione ha detto:
vogliamo introdurre delle misure di deformazione che prescindano dalla scelta delle basi.
ho due configurazioni:
di Riferimento c'è il corpo [tex]\mathcal{B}\subset \mathbb{R}^3[/tex]
Attuale la regione occupata dal corpo è diversa [tex]\mathcal{B}_a\subset \hat{\mathbb{R}}^3[/tex]
Il problema a detta sua è che [tex]\mathbb{R}^3[/tex] e [tex]\hat{\mathbb{R}}^3[/tex] possono avere due basi diverse
espresse magari fisicamente una in pollici e l'altra in metri.
io ho insomma due basi potenzialmente molto diverse [tex]\{e_A\}\subset \hat{\mathbb{R}}^3[/tex] e [tex]\{e_i\}\subset \hat{\mathbb{R}}^3[/tex]
se voglio comparare due lunghezze devo trasportare tutto nello stesso sistema di coordinate, e questo mi torna.
Poi nel calcolo fa
[tex]\frac{dl_a^2- dl^2}{dl^2}[/tex] e per quanto detto sopra
si scrive [tex]dl_a^2=dy\cdot dy=dx^T F^T \cdot F dx[/tex] e si sostituisce dentro facendo i calcoli e arrivando al tensore di Cauchy-Green eccetera eccetera.
Quello che non mi è chiaro è se si sia effettivamente risolto il problema dei confronti.
Ovvero [tex]F[/tex] porta coordinate della configurazione di Riferimento in coordinate della configurazione Attuale, quindi non è vero che stiamo comparando coordinate nello stesso ambiente, perché la matrice che cambiava le coordinate è rimasta, o no?
Aiuto, sono un pò confuso.
vogliamo introdurre delle misure di deformazione che prescindano dalla scelta delle basi.
ho due configurazioni:
di Riferimento c'è il corpo [tex]\mathcal{B}\subset \mathbb{R}^3[/tex]
Attuale la regione occupata dal corpo è diversa [tex]\mathcal{B}_a\subset \hat{\mathbb{R}}^3[/tex]
Il problema a detta sua è che [tex]\mathbb{R}^3[/tex] e [tex]\hat{\mathbb{R}}^3[/tex] possono avere due basi diverse
espresse magari fisicamente una in pollici e l'altra in metri.
io ho insomma due basi potenzialmente molto diverse [tex]\{e_A\}\subset \hat{\mathbb{R}}^3[/tex] e [tex]\{e_i\}\subset \hat{\mathbb{R}}^3[/tex]
se voglio comparare due lunghezze devo trasportare tutto nello stesso sistema di coordinate, e questo mi torna.
Poi nel calcolo fa
[tex]\frac{dl_a^2- dl^2}{dl^2}[/tex] e per quanto detto sopra
si scrive [tex]dl_a^2=dy\cdot dy=dx^T F^T \cdot F dx[/tex] e si sostituisce dentro facendo i calcoli e arrivando al tensore di Cauchy-Green eccetera eccetera.
Quello che non mi è chiaro è se si sia effettivamente risolto il problema dei confronti.
Ovvero [tex]F[/tex] porta coordinate della configurazione di Riferimento in coordinate della configurazione Attuale, quindi non è vero che stiamo comparando coordinate nello stesso ambiente, perché la matrice che cambiava le coordinate è rimasta, o no?
Aiuto, sono un pò confuso.
Risposte
ripensandoci
[tex]F dx = F_{iA} dx_A[/tex]
[tex]F^T F dx=F_{Bi} F_{iA} dx_A= C_{BA} dx_A[/tex]
e effettivamente dipendono solo dalle coordinate con le lettere grandi che sono quelle nella config di riferimento...
ho trasportato il prodotto scalare in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] nel prodotto scalare in [tex]\hat{\mathbb{R}}^3[/tex] mediante l'aggiunto
mi torna, così adesso posso fare le differenze dato che sono nelle stesse coordinate.
Però mi pare più una riscrittura, piuttosto che un'effettiva necessità.
Mi spiego: se io avessi calcolato il prodotto scalare in [tex]\hat{\mathbb{R}}^3[/tex] [tex]dl_a=dy\cdot dy[/tex]
e poi avessi calcolato [tex]\frac{dl_a-dl}{dl}[/tex] avrei ottenuto lo stesso risultato,
ho solo manipolato un pò i termini per dare una scrittura che mi piace di più, non ho fatto una cosa necessaria per trovare il risultato, giusto?
Perché in questo i miei appunti sono un pò confusi.
[tex]F dx = F_{iA} dx_A[/tex]
[tex]F^T F dx=F_{Bi} F_{iA} dx_A= C_{BA} dx_A[/tex]
e effettivamente dipendono solo dalle coordinate con le lettere grandi che sono quelle nella config di riferimento...
ho trasportato il prodotto scalare in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] nel prodotto scalare in [tex]\hat{\mathbb{R}}^3[/tex] mediante l'aggiunto
mi torna, così adesso posso fare le differenze dato che sono nelle stesse coordinate.
Però mi pare più una riscrittura, piuttosto che un'effettiva necessità.
Mi spiego: se io avessi calcolato il prodotto scalare in [tex]\hat{\mathbb{R}}^3[/tex] [tex]dl_a=dy\cdot dy[/tex]
e poi avessi calcolato [tex]\frac{dl_a-dl}{dl}[/tex] avrei ottenuto lo stesso risultato,
ho solo manipolato un pò i termini per dare una scrittura che mi piace di più, non ho fatto una cosa necessaria per trovare il risultato, giusto?
Perché in questo i miei appunti sono un pò confusi.
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