Miscelazione due correnti d'aria
Ciao. Ho questo esercizio
Due correnti di aria secca entrano e si miscelano adiabaticamente in un condotto circolare del diametro di $20 cm$. Una ha una portata in volume pari ad $1 l/s$, con una temperatura di $20°C$ alla pressione di $1$ bar ed entra alla velocità di $1m/s$; l'altra ha portata in massa doppia con temperatura di $60°C$, la pressione è pari ad $2$ bar ed entra a $2 m/s$. Calcolare le condizioni di uscita, velocità, temperatura e pressione.
Quando applico l'$e.e.m.$, scrivo:
$\dot{m_3}\frac{w^2_3}{2}-\dot{m_1}\frac{w^2_1}{2}+\int_{1}^{3}vdp=0$
Come posso risolvere quell'integrale?
Grazie.
Due correnti di aria secca entrano e si miscelano adiabaticamente in un condotto circolare del diametro di $20 cm$. Una ha una portata in volume pari ad $1 l/s$, con una temperatura di $20°C$ alla pressione di $1$ bar ed entra alla velocità di $1m/s$; l'altra ha portata in massa doppia con temperatura di $60°C$, la pressione è pari ad $2$ bar ed entra a $2 m/s$. Calcolare le condizioni di uscita, velocità, temperatura e pressione.
Quando applico l'$e.e.m.$, scrivo:
$\dot{m_3}\frac{w^2_3}{2}-\dot{m_1}\frac{w^2_1}{2}+\int_{1}^{3}vdp=0$
Come posso risolvere quell'integrale?
Grazie.
Risposte
Ho trovato che per un gas perfetto, se $Pv^n=cost$
$int_1^2vdp=RT_1n/(n-1)(1-v_1^(n-1)/v_2^(n-1))$.
A questo punto, posso sostituire $v_2$ con $RT_2/P_2$?
$int_1^2vdp=RT_1n/(n-1)(1-v_1^(n-1)/v_2^(n-1))$.
A questo punto, posso sostituire $v_2$ con $RT_2/P_2$?
Dai dati mi sembra di capire che possano essere presenti delle irrevrsibilità nella miscelazione.
Comunque, ammesso che queste non siano presenti, si possono ricavare temperatura e pressione dell'aria in uscita, utilizzando le equazioni di primo e secondo principio della termodinamica.
Comunque, ammesso che queste non siano presenti, si possono ricavare temperatura e pressione dell'aria in uscita, utilizzando le equazioni di primo e secondo principio della termodinamica.
Ho scritto tre equazioni per tre incognite:
$dot m_1(w_1^2/2+c_PT_1)+dotm_2(w_2^2/2+c_PT_2)=dotm_3(w_3^2/2+c_PT_3)$
$dotm_1+dotm_2=dotm_3 -> rho_1w_+rho_2w_2=rho_3w_3$
$\dot{m_3}\frac{w^2_3}{2}-\dot{m_1}\frac{w^2_1}{2}+\int_{1}^{3}vdp=0$
Va bene?
$dot m_1(w_1^2/2+c_PT_1)+dotm_2(w_2^2/2+c_PT_2)=dotm_3(w_3^2/2+c_PT_3)$
$dotm_1+dotm_2=dotm_3 -> rho_1w_+rho_2w_2=rho_3w_3$
$\dot{m_3}\frac{w^2_3}{2}-\dot{m_1}\frac{w^2_1}{2}+\int_{1}^{3}vdp=0$
Va bene?
"Mirino06":
Ho scritto tre equazioni per tre incognite:
$dot m_1(w_1^2/2+c_PT_1)+dotm_2(w_2^2/2+c_PT_2)=dotm_3(w_3^2/2+c_PT_3)$
$dotm_1+dotm_2=dotm_3 -> rho_1w_+rho_2w_2=rho_3w_3$
$\dot{m_3}\frac{w^2_3}{2}-\dot{m_1}\frac{w^2_1}{2}+\int_{1}^{3}vdp=0$
Va bene?
La terza equazione non va bene, non so se l'hai presa da Bernouilli, ma non puoi applicare Bernouilli in quel modo.
Bastano le prime due equazioni che hai scritto più il tener conto dell'equazione di stato (credo che vada bene considerare l'aria come gas perfetto). Ovviamente il tutto vale trascurando ogni possibile perdita.
Nella terza equazione il fatto è (credo) che manchi la portata a moltiplicare l'integrale. Se avessi avuto al posto dell'integrale $(p_3-p_1)/rho$, allora avrei fatto $dotm_3p_3/rho-dotm_1p_1/rho$.
Visto che $int_1^3vdp=(P_1v_1^n)/(1-n)(1/v_3^(n-1)-1/v_1^(n-1))$, introducendo la portata, non sarebbe
$dotm_3*(P_1v_1^n)/(1-n)1/v_3^(n-1)-dotm_1*(P_1v_1^n)/(1-n)1/v_1^(n-1)$
Usando l'equazione dei gas perfetti altrimenti, avrei $P_3=(P_1V_1^n)/V_3^n$? Ma come calcolo la massa per trovare il volume?
Visto che $int_1^3vdp=(P_1v_1^n)/(1-n)(1/v_3^(n-1)-1/v_1^(n-1))$, introducendo la portata, non sarebbe
$dotm_3*(P_1v_1^n)/(1-n)1/v_3^(n-1)-dotm_1*(P_1v_1^n)/(1-n)1/v_1^(n-1)$
Usando l'equazione dei gas perfetti altrimenti, avrei $P_3=(P_1V_1^n)/V_3^n$? Ma come calcolo la massa per trovare il volume?
La tua terza equazione non l'ho capita. Puoi spiegare che tipo di bilancio è?
Nella seconda equazione scritta nel secondo modo mancano le aree di passaggio.
Le incognite complete del problema sono: portata in massa in uscita $dotm_3$, densità in uscita $rho_3$, pressione in uscita $p_3$, temperatura in uscita $T_3$, velocità in uscita $w_3$.
La portata in massa si ricava semplicemente dall'equazione di continuità come somma delle due portate, mentre per ricavare pressione, temperatura e velocità si utilizzano il primo principio della termodinamica, il secondo principio della termodinamica, l'equazione di stato e l'espressione della velocità in uscita in funzione della densità, della portata in massa e della superficie della sezione di uscita.
Questo se non si vuole trascurare il contributodato dalla variazione dell'energia cinetica. Volendo trascurare questo contributo sono sufficienti, oltre all'equazione di continuità, il primo e secondo principio termodinamica, con entropia ed entalpia specifica espresse in funzione di pressione e temperatura del fluido.
Nella seconda equazione scritta nel secondo modo mancano le aree di passaggio.
Le incognite complete del problema sono: portata in massa in uscita $dotm_3$, densità in uscita $rho_3$, pressione in uscita $p_3$, temperatura in uscita $T_3$, velocità in uscita $w_3$.
La portata in massa si ricava semplicemente dall'equazione di continuità come somma delle due portate, mentre per ricavare pressione, temperatura e velocità si utilizzano il primo principio della termodinamica, il secondo principio della termodinamica, l'equazione di stato e l'espressione della velocità in uscita in funzione della densità, della portata in massa e della superficie della sezione di uscita.
Questo se non si vuole trascurare il contributodato dalla variazione dell'energia cinetica. Volendo trascurare questo contributo sono sufficienti, oltre all'equazione di continuità, il primo e secondo principio termodinamica, con entropia ed entalpia specifica espresse in funzione di pressione e temperatura del fluido.
Le sezioni sono uguali quindi ho omesso $A$.
La terza equazione l'avrei ricavata da qui: $(w_3^2-w_1^2)/2+g(z_3-z_1)+int_1^3vdp+R=0$
Per l'adiabatica ho $P_3=(P_1V_1^n)/V_3^n$: come calcolo massa per trovare il volume?
La terza equazione l'avrei ricavata da qui: $(w_3^2-w_1^2)/2+g(z_3-z_1)+int_1^3vdp+R=0$
Per l'adiabatica ho $P_3=(P_1V_1^n)/V_3^n$: come calcolo massa per trovare il volume?
@Mirino06
Quella terza equazione che scrivi non va bene, puoi dire che equazione hai considerato e come l'hai applicata?
Io semplicemente,applicherei le prime due equazioni che hai scritto (conservazione energia e conservazione della massa) più l'equazione di stato, tieni conto poi che $w_3=\frac{dot m_3}{rho_3 A}$ con $A$ superficie della sezione del tubo.
A questo punto rimangono come incognite la pressione e la temperatura finale, visto che la densità si esprime facilmente come funzione di pressione e temperatura.
Prima mi era sfuggito che occorreva un'altra equazione, basta a questo punto osservare che la variazione di entropia tra uscita ed ingresso (vanno considerati i due flussi ovviamente) deve essere nulla, visto che la miscelazione avviene in maniera adiabatica e senza perdite (per ipotesi).
Quella terza equazione che scrivi non va bene, puoi dire che equazione hai considerato e come l'hai applicata?
Io semplicemente,applicherei le prime due equazioni che hai scritto (conservazione energia e conservazione della massa) più l'equazione di stato, tieni conto poi che $w_3=\frac{dot m_3}{rho_3 A}$ con $A$ superficie della sezione del tubo.
A questo punto rimangono come incognite la pressione e la temperatura finale, visto che la densità si esprime facilmente come funzione di pressione e temperatura.
Prima mi era sfuggito che occorreva un'altra equazione, basta a questo punto osservare che la variazione di entropia tra uscita ed ingresso (vanno considerati i due flussi ovviamente) deve essere nulla, visto che la miscelazione avviene in maniera adiabatica e senza perdite (per ipotesi).
"Faussone":
@Mirino06
Quella terza equazione che scrivi non va bene, puoi dire che equazione hai considerato e come l'hai applicata?
Avevo preso l'equazione dell'energia meccanica $(w^2_3-w^2_1)/2+g(z_3-z_1)+int_1^3vdp+R=0$ ed avevo trascurato la variazione di quota e le perdite di carico. Dopodiché avevo inserito la portata in massa:
$dotm_3(w^2_3)/2-dotm_1(w^2_1)/2+int_1^3vdp=0$
Il problema perché non sapevo quale portata mettere a moltiplicare $int_1^3vdp$, se $dotm_1$ o $dotm_3$.
L'entalpia della portata di aria in uscita si può calcolare come somma dell'entalpia delle due portate di aria, considerate come separate all'uscita, con aria nelle stesse condizioni di temperatura, pressione e velocità.
Per ognuna delle due portate di aria quindi si può stabilire un indice $n$ della politropica seguita nella trasformazione. La trasformazione politropica ad ogni modo resta una traformazione ideale, reversibile, che condivide con la trasformazione reale subita da ognuno dei due gas (anche se reversibile) solo i valori di entalpia iniziale e finale, non i valori di lavoro e calore scambiato da ognuno.
Stabilito l'esponente della politropica $n$ per una portata d'aria è dato anche l'esponente per l'altra (con una politropica non è possibile rappresentare una trasformazione isocora per nessun valore dell'esponente).
Rimane l'indeterminazione sulle trasformazioni subite dai due fluidi, dipendente dalla presenza di effetti dissipativi.
Per ognuna delle due portate di aria quindi si può stabilire un indice $n$ della politropica seguita nella trasformazione. La trasformazione politropica ad ogni modo resta una traformazione ideale, reversibile, che condivide con la trasformazione reale subita da ognuno dei due gas (anche se reversibile) solo i valori di entalpia iniziale e finale, non i valori di lavoro e calore scambiato da ognuno.
Stabilito l'esponente della politropica $n$ per una portata d'aria è dato anche l'esponente per l'altra (con una politropica non è possibile rappresentare una trasformazione isocora per nessun valore dell'esponente).
Rimane l'indeterminazione sulle trasformazioni subite dai due fluidi, dipendente dalla presenza di effetti dissipativi.
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