Metodo dei vettori rotanti

[amivaleo]

ciao a tutti,
apro il thread qui, anche se l'argomento su cui ho bisogno di aiuto è prettamente matematico, ma i vettori rotanti si introducono in fisica quindi... boh


ho un problemino abbastanza stupido:
ho due sinusoidi con la stessa pulsazione
$x_1 (t) = A_1 sin (\omega t + \phi_1)$
$x_2 (t) = A_2 sin (\omega t + \phi_2)$
devo calcolarne la somma.

per l'ampiezza non ci son problemi, dato che uso il teorema dei coseni:
$A = \sqrt( A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2cos |\phi_1 - \phi_2| )$

ottengo quindi che la sinusoide somma è:
$x(t) = A sin (\omega t + \phi)$

ma non riesco a determinare $\phi$ .-.
un aiutino su come impostare la soluzione?

grazie in anticipo per l'aiuto

[Faussone]

Puoi ragionare, come nel titolo che hai dato al post, in termini di vettori rotanti (di fasori).
Il primo vettore lo puoi rappresentare su un piano rotante a velocità $omega$ come un vettore
$(A_1 cos phi_1, A_1 sin phi_1)$
similmente per il secondo vettore sullo stesso piano che sarà dato da
$(A_2 cos phi_2, A_2 sin phi_1)$

sommi poi i due vettori (detti fasori in questa rappresentazione) e ottieni la risultante da cui puoi determinare ampiezza e fase.

[amivaleo]

"Faussone":Puoi ragionare, come nel titolo che hai dato al post, in termini di vettori rotanti (di fasori).
Il primo vettore lo puoi rappresentare su un piano rotante a velocità $omega$ come un vettore
$(A_1 cos phi_1, A_1 sin phi_1)$
similmente per il secondo vettore sullo stesso piano che sarà dato da
$(A_2 cos phi_2, A_2 sin phi_1)$

sommi poi i due vettori (detti fasori in questa rappresentazione) e ottieni la risultante da cui puoi determinare ampiezza e fase.

ok, dovrei aver raggiunto l'epifania. la fase che cerco, deve soddisfare semplicemente:
$tan \phi = \frac (A_1 sin phi_1 + A_2 sin phi_2) ( A_1 cos phi_1 + A_2 cos phi_2 )$

dico bene?
che babbo che sono .-. continuavo ad andare in tilt pensando a dei vettori che ruotano su un sistema di riferimento fisso, quando invece avrei dovuto pensare ad un sistema di riferimento comovente (o "comobile" per evitare battutine sullo stato d'animo dei piani cartesiani )

bene, grazie allora

... so già che se tento di generalizzare il concetto con oggetti del tipo $x(t) = e^(i \omega t)$ vado in paranoia tutto il giorno