METODI MATEMATICI PER LA FISICA (Autovalori e autovettori)

SassoMuschioso
Raga, mi servirebbe un aiuto perchè sto un pò impazzendo. Non riesco a capire la filosofia per calcolare gli autovettori. Trovo gli autovalori, magari qualche autovettore semplice ma quando il "gioco" si fa serio, non mi tornano le cose;
Dunque:

Calcolare gli autovettori della seguente matrice:
$ ((sqrt(3)/2,0,1/2),(0,-i,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2)) $

Bene, sapendo che questa è una matrice unitaria in quanto si vede subito AA* = 1 (matrice identità)
$\Rightarrow$ autovalori di modulo 1 ed autovettori ortonormali ; questo ci piace :D

Bene mi calcolo gli autovalori tramite il polinomio caratteristico. e trovo i seguenti valori:

$\lambda_1 = -i $

$\lambda_2 = (sqrt(3) +i)/(2) $

$\lambda_3 = (sqrt(3) -i)/(2) $

E finqui ci sono. Adesso mi devo calcolare i relativi autovettori. Utilizzando la relazione $ M * u = 0 $ quindi:

$ ((sqrt(3)/2-\lambda,0,1/2),(0,-i-\lambda,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2-lambda)) $ $\Rightarrow$ matrice M
$((x,y,z)) $ $\Rightarrow$ vettore u

Detto questo, con il primo autovalore ho il seguente sistema:

$\{(z = -2(sqrt(3)/2+i)x,(y = 0),(x = -2(sqrt(3)/2+i):}$

per la quale io trovo il seguente autovettore:
$\vec u = ((1,0,-sqrt(3)+i)) $
mentre nel libro mi dice che l'autovettore corrispondente è:
$\vec u = ((0,1,0)) $

Sinceramente non capisco il perchè. Io so che devo cercare i valori che soddisfano il sistema. Quindi dando a x il valore 1, trovo la soluzione di z. Mentre y è proprio 0; quella proprio mi sembra la cosa più assurda :evil:

Ora io non capisco se sono molto scarso, nel senso che devo rimettermi a risolvere i sistemi :oops: , oppure se ho un qualche altro problema....

Ringrazio tutti per l'aiuto che vorrete e potete darmi.

Risposte
ralf86
credo che ci sia qualcosa che non va con la risoluzione dell'ultimo sistema lineare omogeneo.
Non ho fatto tutti i conti ma ad esempio noto che:
se sostituisci il primo autovalore in M, la sua seconda colonna diventa nulla, quindi senz'altro (0,1,0) è un autovettore associato al primo autovalore

SassoMuschioso
Già... la seconda riga diventa tutta uguale a zero. E questo mi da le perplessità, il libro associa l'autovalore
$\lambda_1 = -i$ all'autovettore $vec u_1 =((0,1,0))$ e non capisco il perchè.
C'è da dire che anche gli altri autovettori mi danno sbagliati. (Adesso omessi perchè il mio primo passetto è capire il perchè di questo).

ralf86
"SassoMuschioso":
Già... la seconda riga diventa tutta uguale a zero. E questo mi da le perplessità, il libro associa l'autovalore
$\lambda_1 = -i$ all'autovettore $vec u_1 =((0,1,0))$ e non capisco il perchè.


Non capisco cosa c'è che non va.

Vediamo un po':

per trovare gli autovettori associati all'autovalore $\lambda_1 = -i$ devi per prima cosa sostituire $\lambda_1 = -i$ nella matrice

$ ((sqrt(3)/2-\lambda,0,1/2),(0,-i-\lambda,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2-lambda)) $

che quindi diventa

$ ((sqrt(3)/2+i,0,1/2),(0,0,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2+i)) $

e a questo punto devi trovare tutte le soluzioni non nulle di

$ ((sqrt(3)/2+i,0,1/2),(0,0,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2+i))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $

anche solo guardandola, a causa della colonna centrale nulla, mi sembra evidente che

$((x),(y),(z))=((0),(1),(0)) $

è una possibile soluzione. Su questo sei d'accordo?

Poi visto che hai tre autovalori distinti e la matrice è 3x3 allora sarà anche l'unica soluzione del sistema, i.e. l'unico autovettore associato all'autovalore $-i$
Stesso procedimento per gli altri autovettori

ralf86
"SassoMuschioso":
il libro associa l'autovalore ... all'autovettore...

In genere si associa l'autovettore all'autovalore e non viceversa.

SassoMuschioso
"ralf86":
In genere si associa l'autovettore all'autovalore e non viceversa.


Sinceramente pensavo il contrario visto che prima calcolo gli autovalori.

Per quanto riguarda il sistema omogeneo...

$ ((sqrt(3)/2+i,0,1/2),(0,0,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2+i))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $

scrivo i conti cosi almeno capisco se sono estremamente pollo, perché è su quello che non sono in accordo :(

Appena moltiplico ottengo:

$\{((sqrt(3)/2 + i)x + z/2 = 0),(-x/2 + (sqrt(3)/2+i)z = 0):}$

due perchè la seconda colonna ha tutti zeri. E quindi non dovrebbe essere che y=0??? Anzi in realtà poichè sarebbe $0y=0$ posso dargli ogni valore $j epsilon RR $

Per l'altre due avrò

$ x = 2(sqrt(3)/2 + i)z $

e quindi se do valore 0 a z ottengo 0 per x.
Però visto che già y è 0 (per me) perche nn dargli 1 a zeta....

Non capisco questo XD XD

ralf86
"SassoMuschioso":
cosi almeno capisco se sono estremamente pollo

confermo :-D

$ ((sqrt(3)/2+i,0,1/2),(0,0,0),(-1/2,0,sqrt(3)/2+i))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $


$\{((sqrt(3)/2 + i)x + z/2 = 0),(0*y=0),(-x/2 + (sqrt(3)/2+i)z = 0):}$

cioè

$\{((sqrt(3)/2 + i)x + z/2 = 0),(0y=0),(x= 2(sqrt(3)/2+i)z ):}$

$\{((sqrt(3)/2 + i)2(sqrt(3)/2+i)z + z/2 = 0),(0y=0),(x= 2(sqrt(3)/2+i)z ):}$

$\{([(sqrt(3)/2 + i)2(sqrt(3)/2+i)+1/2]z = 0),(0y=0),(x= 2(sqrt(3)/2+i)z ):}$

$\{(z = 0),(0y=0),(x= 2(sqrt(3)/2+i)*0 ):}$

$\{(z = 0),(0y=0),(x=0 ):}$

come vedi le soluzioni sono tutte e sole del tipo (0,c,0) con c complesso qualunque anche nullo, noi però stiamo cercando soluzioni non nulle (vedi definizione di autovettore), e ad esempio di modulo unitario, quindi va bene (0,1,0).
andrebbe benissimo anche (0,93,0) ma è solo più "brutta"

Il tuo errore sta nel fatto che di due equazioni del sistema (la prima e l'ultima) ne hai fatto la somma, e da solo questa poi non era evidente (e non lo è) che x e z dovevano essere nulle, dimenticandoti di sfruttare entrambe le equazioni

SassoMuschioso
Azz....mi hai acceso la luce. Ora ho capito.

Essenzialmente sono un pollo. Sono talmente abituato a fare i conti saltando passaggi che automaticamente mi perdevo parte dei passaggi logici nel sistema; quindi mi fermavo prima....è mi inventavo cose strane.....un tonto.

Ho capito, adesso dovrei essere in grado di calcolarmi gli altri, basta che ci metto molta più attenzione...Peccato che ora devo andare in facoltà, ma per stanotte me li calcolo e ti farò sapere :D :D :D

Per il resto grazie infinite....

SassoMuschioso
Tutto ok....grande....

grazie infinite

ralf86
bene!
Sapessi quanti dubbi da pollo ho anch'io... :D
ciao e alla prossima

PS benvenuto nel forum

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